1. ¨Ubungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) - Aufgaben

Institut für Mathematik
Universität Hannover
Dr. H. Köditz
Aufgabe 36 (10 Punkte)
Im R 3 sei ω die Differentialform
10. Übungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise)
ω = 2xz dy ∧ dz + dz ∧ dx − (z 2 + e x ) dx ∧ dy .
Man zeige dω = 0 und bestimme eine 1-Form η mit ω = dη.
Die 1-Form η = a dx + b dy + c dz hat das Differential
dω = div(2xz, 1, −z 2 − e x ) dx ∧ dy ∧ dz = 0 .
dη = (cy − bz) dydz + (az − cx) dzdx + (bx − ay) dxdy .
Hannover, den 12. Januar 2004
Da die Kooefizienten von ω die Variable y nicht enthalten, suchen wir a, b, c mit derselben Eigenschaft. Also:
bz = −2xz ⇒ b = −2xz 2 + c(x) , bx = −z 2 − e x ⇒ b = −xz 2 − e x + d(z) .
b = −2xz 2 − e x leistet dieses. Um az − cx = 1 zu genügen, wählen wir a = z, c = 0,
also η = z dx − (xz 2 + e x ) dy ✷.
Aufgabe 37 (5 Punkte)
Im R 2 sei die 2-Form ω := dx∧dy und die Funktion h : R 2 → R 2 , h(u, v) = (x, y) t := ((u+1) 2 −v 2 , 2(u+1)v) t
gegeben. Ferner sei U := B1(0). Man berechne h∗ �
ω und
h(U)
ω und interpretiere das Ergebnis!
h ∗ ω = d((u+1) 2 −v 2 )∧d(2(u+1)v) = (2(u+1) du−2v dv)∧(2v du+2(u+1) dv = 2(u+1) 2 du∧dv−2v 2 dv∧du =
4((u + 1) 2 + v 2 ) du ∧ dv. Also mit Polarkoordinaten u = r cos ϕ, v = r sin ϕ:
�
h(U)
�
ω =
B1(0)
h ∗ �
ω = 4
B1(0)
((u + 1) 2 + v 2 ) dudv = 4
� 2π � 1
0
0
(r 2 + 2r cos ϕ + 1) r drdϕ = 6π .
Berechnet haben wir den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter der Abbildung h (einer
Kardioide).
Aufgabe 38 (10 Punkte)
Für R > 0 sei h : U := (0, 2π) × (0, π) ⊂ R 2 → R 3 , h(u, v) := R (cos u sin v, sin u sin v, cos v) t . Gegeben sei
ferner im R 3 \ {0} die 2-Form
ω :=
−x
� x 2 + y 2 + z 2
dy ∧ dz +
−y
� x 2 + y 2 + z 2
1
dz ∧ dx +
−z
� x 2 + y 2 + z 2
dx ∧ dy .