Capital Asset Pricing Model (CAPM) - Burkhard Erke

CAPM 

B. Erke 

Materialien zur Vorlesung 

”Capital Asset Pricing Model (CAPM)” 

Burkhard Erke 

Quellen: Schmidt/Terberger, Kap. 9; Brealey/Myers, Kap.8/9 

April 2003



Lernziele 

Grundidee des CAPM als Gleichgewichtsmodell auf 

vollkommenem Kapitalmarkt 

Messung des Risikos einzelner Aktien (Investitionsprojekte) mittels Beta 

CAPM als pragmatische Lösung des Problems der 

Investitionsentscheidung unter Unsicherheit 

Beta und Verschuldungsgrad



1 Vorbemerkungen 

• Drei Fragen werden nun diskutiert: 

— Wie können unsichere Investitionsprojekte miteinander verglichen werden? 

— Insbesondere: Wie wird das Risiko von Investitionsprojekten gemessen? 

— Welche Bedeutung hat die Einbindung von Unternehmen in einen Kapitalmarkt für die 

Möglichkeit Investitionsprojekte und Finanzierungsvorhaben isoliert zu beurteilen? 

• Antwort ergibt sich aus der Weiterentwicklung der Portfolio-Selektion zu einer Gleichgewichtstheorie 

des Kapitalmarktes: 

— ”Richtige” Erfassung des Risikos 

— Risikoangepaßter Kalkulationszinsfuß 

— Irrelevanztheoreme von MM gelten 

— Separierbarkeit von Investitions- und Finanzierungsentscheidungen 

• Kapitalmarkttheorie ist eine positive Theorie: 

— Aussagen über Sachverhalte und Regelmäßigkeiten in der Realität 

— Vorgehen: 

∗ Annahmen darüber, wie sich Marktteilnehmer verhalten ⇒ Entscheidungstheorie und 

Theorie der Portefeuillebildung: 

· Risikoscheue Anleger 

· teilen Vermögen auf Aktienportefeuille (Punkt D) und risikolose Anlagemöglichkeit 

auf; 

· suchen also einen Punkt auf der Geraden, die durch den Punkt D geht. 

∗ Welche Preise und Renditen stellen sich auf dem Kapitalmarkt ein, wenn sich die 

Marktteilnehme so entscheiden, und wenn der Kapitalmarkt im Gleichgewicht ist?



2 Kapitalmarkttheorie: Gleichgewicht am Kapitalmarkt 

• Annahmen: 

Lernziel 

Grundidee des CAPM als Gleichgewichtsmodell auf 

vollkommenem Kapitalmarkt 

1. alle Anleger sind risikoscheu und beurteilen Portfolios anhand von Erwartungswert und 

Standardabweichung der Rendite 

2. der Planungshorizont beträgt eine Periode 

3. risikolose Geldanlage- und Verschuldungsmöglichkeit zum Zinssatz i f 

4. m verschiedene riskante Wertpapiere; die Anzahl je Sorte ist vorgegeben, 

5. beliebige Teilbarkeit 

6. vollkommener Kapitalmarkt (keine Transaktionskosten, kein Einfluß auf Preise) und 

7. homogene Erwartungen. 

• Konsequenzen der Annahmen: 

— Alle Anleger erwarten dieselbe Efficient Frontier 

— Gültigkeit der Tobin-Separation (Two-Fund-Separation) 

— Individuelle Risikoeinstellung bestimmt die Aufteilung auf Marktportfolio und risikolose 

Anlage

Erwartete Portfoliorendite 



0.22 

Effiziente Portfolios 

0.2 

0.18 

D 

a>1 

A 

0.16 

0.14 

0.12 

a



• Erwartete Rendite des Marktportfolios: 

mX 

E (er m )= x i µ i ; 

i=1 

mX 

x i =1 

i=1 

• Varianz der Rendite des Marktportfolios: 

Var(er m )= 

mX 

i=1 

mX 

x i x k σ i,k = 

— Es gilt allgemein: Cov [ey 1 ;(bey 2 + cey 3 )] = bCov (ey 1 , ey 2 )+cCov (ey 1 , ey 3 ) 

— Also:Var(er m )= m P 

x i 

i=1 k=1 

k=1 

mP P 

x k σ i,k = m P 

x i Cov (er i , er m )= m x i σ i,m 

i=1 

i=1 

— Also: Die Varianz der Rendite des Marktportfolios ist die mit den Portfolioanteilen 

gewichtete durchschnittliche Kovarianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere mit der 

Rendite des Marktportfolios. 

• Beispiel: Coca Cola und Reebok 

Corr (er i , er j )=0, 2 E (er i ) Std(er i ) x i 

Coca Cola 10% 31,5% 0,65 

Reebok 20% 58,5% 0,35 

— Portfoliorisiko allgemein: 

Coca Cola Reebok 

Coca Cola x 2 1Var(er 1 ) x 1 x 2 Cov (er 1 , er 2 ) 

Reebok x 1 x 2 Cov (er 1 , er 2 ) x 2 2Var(er 2 ) 

mX 

i=1 

x i 

m 

X 

k=1 

x k σ i,k



• Beispiel: Coca Cola und Reebok (Fortsetzung) 

— Portfoliorisiko: 

Coca Cola 

Reebok 

Coca Cola 

Reebok 

x 1 x 2 Cov (er 1 , er 2 )= 

x 2 1Var(er 1 )= (0, 65) · (0, 35) 

(0, 65) 2 · (31, 5) 2 ·0, 2 · (31, 5) 

· (58, 5) 

x 1 x 2 Cov (er 1 , er 2 )= 

(0, 65) · (0, 35) x 2 2Var(er 2 )= 

·0, 2 · (31, 5) (0, 35) 2 · (58, 5) 2 

· (58, 5) 

— Beiträge der einzelnen Wertpapiere zum Portfoliorisiko ergeben sich durch Aufaddieren 

der Zeilen: 

Beitrag zum Portfoliorisiko 

Coca Cola x 1 {[x 1 Var(er 1 )] + [x 2 Cov (er 1 , er 2 )]} 

Reebok x 2 {[x 1 Cov (er 1 , er 2 )] + [x 2 Var(er 1 )]} 

— Weil gilt: Var(er 1 ) ≡ Cov (er 1 , er 1 ) 


Coca Cola x 1 {[x 1 Cov (er 1 , er 1 )] + [x 2 Cov (er 1 , er 2 )]} 

Reebok x 2 {[x 1 Cov (er 1 , er 2 )] + [x 2 Cov (er 2 , er 2 )]} 

— Weil gilt: Cov (ey 1 , (bey 2 + cey 3 )) = bCov (ey 1 , ey 2 )+cCov (ey 1 , ey 3 )folgt: 


Coca Cola x 1 {Cov (er Coca Cola , er p )} 

Reebok x 2 {Cov (er Re ebok , er p )}



• Beispiel: Coca Cola und Reebok (Fortsetzung) 

— Damit kann für das Porfoliorisiko geschrieben werden: 

— Ergebnis: 

Var(er p ) = x 1 {Cov (er Coca Cola , er p )} + x 2 {Cov (er Re ebok , er p )} 

2X 

= x i Cov (er i , er p ) 


Coca Cola 0, 65 · ©£ 0, 65 · (31, 5) 2¤ +[0, 35 · 0, 2 · 31, 5 · 58, 5] ª =0, 65 · 774, 0 

Reebok 0, 35 · ©[0, 

65 · 0, 2 · 31, 5 · 58, 5] + £ 0, 35 · (58, 5) 2¤ª =0, 35 · 1437, 3 

Gesamtes Portfolio 1.006, 1 

i=1 

• Der Beitrag einer Aktie zum Risiko des Marktportfolios ist die Kovarianz der Aktienrendite 

mit der Rendite des Marktportfolios! 

Dieser Beitrag kann für einzelne Aktien isoliert angegeben werden! 

• In einem breit diversifizierten Portfolio: 

— Kovarianzrisiko bleibt erhalten,... 

— ...während das restliche Risiko durch Diversifikation verschwindet. 

• Risikodefinition: 

— Kovarianzrisiko: Systematisches Risiko einer Aktie. Dieses Risiko ist linear. Portfoliorisiko 

= gewichteter Durchschnitt der Einzelrisiken. Mißt den Grad an Gleichläufigkeit mit der 

Rendite des Marktportfolios 

— Diversifizierbarer Teil des Risikos: Unsystematisches Risiko.


• Im Gleichgewicht wird 


— für die Übernahme systematischen Risikos wird eine Prämie gezahlt, 

— für die Übernahme unsystematischen Risikos dagegen nicht (warum eigentlich?) 

Beispiele für unsystematisches Risiko 

Technischer Direktor stirbt nach Autounfall 

Agressiver Wettbewerber mit Kostenvorteilen tritt in Markt ein 

Belegschaft tritt in wilden Streik 

Öl wird auf Firmengelände gefunden 

Beispiele für systematisches Risiko 

Ölembargo der OPEC 

Steuererhöhungen 

Zinserhöhungen der EZB 

Aufwertung der EURO 

• Kapitalmarktgleichgewicht: 

— Die Risikoprämie µ i −i f 

σ i,m 

bestimmt die Attraktivität einer Aktie für den Investor. 

— Im Gleichgewicht müssen die Risikoprämie aller Aktien gleich sein. 

— Insbesondere muß auch die Risikoprämien einer jeden Aktie gleich der Risikoprämie des 

Marktportfolios sein: 

— (µ m −i f) 

σ 2 m 

µ i −i f 

σ i,m 

= µ m−i f 

σ 2 m 

⇒ 

µ i = i f +σ i,m 

(µ m −i f ) 

σ 2 m 

: Sharpe-Verhältnis =Risikoprämie pro Einheit Marktrisiko 

(1)



• Gleichung (1) ist eine Version des CAPM. Prognose: Je höher die Kovarianz der Rendite einer 

Aktie mit der Rendite des Marktportfolios, desto höher die erwartete (verlangte) Rendite. 

• Alternativ kann das CAPM folgendermaßen geschrieben werden: 

— Definition β i = σ i,m 

einsetzen in (1) 

σ 2 m 

— Es folgt die berühmte Bewertungsgleichung des CAPM: 

µ i = i f +β i (µ m −i f ) (2) 

Prognose: Je höher das Beta einer Aktie, desto höher die erwartete (verlangte) Rendite. 

• Intuitive Erläuterung zum Verständnis des CAPM in den Versionen (1) und (2): 

— Das Portfolio-Risiko kann nicht diversifiziert werden. 

— Anleger verlangen nur eine Risikoprämie für das Eingehen dieses nicht diversifizierbaren 

Risikos 

— Alle Anleger halten dasselbe Portfolio - das Marktportfolio 

— Der Beitrag einer Aktie zum Risiko des Marktportfolios ist 

∗ die Kovarianz der Aktienrendite mit der Rendite des Marktportfolios (1), bzw. 

∗ das Beta (2) 

— Der Preis des Risikos ist 

∗ das Sharpe-Verhältnis (1) 

Aktienrendite = Risikofreier Zins + Kovarianz ∗ [Sharpe − Verhältnis] 

∗ die Risikoprämie (2) 

Aktienrendite = Risikofreier Zins + Beta ∗ [Risikoprämie]



3 Beta als Risikomaß 

Lernziel 

Messung des Risikos einzelner Aktien (Investitionsprojekte) mittels Beta 

• Interpretation von Gleichung (2) : 

— Die erwartete Rendite einer jeden Aktie entspricht im Gleichgewicht der Summe aus 

risikofreier Verzinsung und einem Risikozuschlag. 

— Der Risikozuschlag ist das Produkt aus der ”Menge” des systematischen Risikos, β i und 

der Prämie pro Einheit des Risikos, (µ m −i f ) . 

• Was ist ”Beta”? 

— Beta einer Aktie mißt das (normierte) systematische Risiko der Aktie 

— Beta ist die einzige unternehmensindividuelle Größe in der Bewertungsgleichung. 

— Beta ist für eine Aktie isoliert angebbar 

— BetadesMarktportfoliosist1 

— Beta einer Aktie kann negativ sein 

— Beta eines Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Betas der einzelnen Aktien: 

β P = 

mX 

x i β i ; 

i=1 

mX 

x i =1 

i=1



K apitalm arktlinie 

W ertpapierm arktlinie 

µ µ 

Bewertung von Portfolios Bewertung Aktien u. 

Portfolios 

µ m 

µ m 

i f 

i f 

Erwartete 

Risikoprämie 

0 

σ m σ β =0 

β m =1 β 

• Kapitalmarktlinie: Bewertung effizienter Portfolios möglich 

• Wertpapiermarktlinie: Bewertung sämtlicher Aktien und Portfolios (sowie einzelner Investitionsprojekte).

Rendite Disney Corp. 97-02) 


• Empirische Bestimmung des Betafaktors mit der Regressionsanalyse: 

— Theorie: 

E (er i ) = µ i = i f +β i (µ m −i f ) 


= i f (1 − β i )+β i µ m 

— Schätzung mit (realisierten) Renditezeitreihen von Aktie i und Aktienindex m: 

— Hypothese: 

— OLS-Schätzer von β ist 

r i = α + β × r m + 

α = i f (1 − β i ); und β = β i 

bβ = σ i,m 

σ 2 m 

— Regressionsgerade br i = bα + b β × r m wird als ”Characteristic Line” bezeichnet. Siehe Graphik. 

Das CAPM am Beispiel der Aktie der Disney Corp. 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

-0.1 

-0.2 

-0.3 

Beta(Disney)= Anstieg der Regressionsgeraden; 

-0.4 

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 

Rendite S&P 500 97-02



4 Empirische Tests des CAPM 

• Zu testen: Steigt die erwartete Rendite von Aktien nur mit dem Betafaktor? 

— Problem: 

∗ erwartete Renditen unbeobachtbar 

∗ realisierte Renditen als Schätzer 

• Der klassische Test von Black, Jensen und Scholes ( 1972): 

— Aus den Aktien der NYSE werden 10 Portfolios mit unterschiedlichen historischen Betas 

werden gebildet. 

— Risikoprämie der 10 Portfolios wird für den Zeitraum 1931-1965 mittels Beta ”erklärt” 

(Regression der Risikoprämie auf die Betas). 

Quelle: Jagannathan/McGrattan (1995) 

— Anstieg der Regressionsgerade: 1,08 (statt 1,42 wie vom CAPM prognostiziert). 

— Schnittpunkt mit der Y-Achse 0,519 (statt 0 wie vom CAPM prognostiziert). 

— Daten zeigen: Erwartete Rendite einer Aktie steigt mit dem Beta.



• Die Studie von Banz (1981): 

— Zwei Portfolios werden gebildet. Beide haben identische Betas. Porfolio aus ”small 

stocks” und ”large-firm portfolio”. 

— Im Zeitraum von 1936-1975 war die Rendite eine Porfolios aus ”small stocks” im Durchschnitt 

1,48% höher als die Rendite eines ”large-firm portfolios”. Statistisch signifikant! 

Quelle: Cochrane (2000) 

— In der Graphik ist die Beta-Durchschnittsrendite-Kombination des ”small-cap portfolio” 

ganz oben rechts zu sehen! 

— Überwältigend sind die Indizien gegen das CAPM noch nicht! 

— Cochrane: ”Would all failed economic theories worked that well!”



• Fama/French (1992): 

— Sortierung aktiennortierter Unternehmen in 100 Portfolios. 

— Kriterien: 10 Unternehmensgrößenklassen und 10 Betaklassen (=100 Portfolios). 

— Ergebnis: Keine Beziehung zwischen durchschnittlicher Portfoliorendite und Portfoliobeta. 

— Graphik: 25 Portfolios. Sortiert nach Unternehmensgröße und Book-to-Market Ratio 

(Buchwert des Eigenkapitals/Marktwert des Eigenkapitals). 

Quelle: Cochrane (1999) 

— ”Value-size puzzle”. Einige Portfolio haben eine 3 x so hohe Durchschnittsrenditen wie 

andere. Hat nichts mit dem Beta zu tun.



• Wieso stimmt das CAPM nicht mehr? 


• InderkurzenFriststimmendieDatenmitdenPrognosendesCAPMnichtüberein. Zusammenhang 

Beta und Durchschnittsrendite zu flach.


• Was folgt hieraus für das Finanzmanagement des Unternehmens? 


— CAPM hat 2 Probleme: 

∗ In der kurzen Frist wird die Beziehung zwischen Beta und Rendite immer flacher! Die 

Prognose des CAPM ist anders. 

∗ Andere erklärende Variablen als das Beta erklären die durchschnittlichen Aktienrenditen 

besser: Unternehmensgröße und Book-to-Market Ratio. Die Prognose des 

CAPM ist: Nur Beta erklärt Durchschnittsrenditen. 

∗ Im Portfolio-Management (Publikumsfonds) ist das CAPM ”out”. 

— Aber: Es gibt keinen Beleg, dass das CAPM langfristig falsch ist. Siehe Graphik. 

— Das CAPM wird in der Investitionsrechnung benötigt, um die EK-Kosten zu ermitteln 

(Siehe weiter unten). Das sind langfristige Entscheidungen. Hier kann das CAPM durchaus 

zur Ableitung der EK-Kosten dienen: 


• Kernproblem für die Unternehmenspraxis: Es gibt (noch) keine Alternative zum CAPM



5 CAPM in der Investitionsrechnung 

• Das CAPM hilft dem Management Investitionsentscheidungen durchzuführen. 

• Hintergrund: 

— Manager soll im Interesse der Anteilseigner investieren. 

— Entscheidungskriterium: Kapitalwert (Was war das noch?) 

— Denn: Positiver Kapitalwert = Vermögensmehrung = Marktwertzuwachs = Zuwachs an 

Konsummöglichkeiten. 

• Anwendung des Kapitalwertverfahren verlangt drei Schritte: 

1. Schätzung und Prognose der zusätzlichen Nettoeinzahlungen, die auf die Investition 

zurückzuführen sind. 

2. Ermittlung des risikoadjustierten Alternativertragssatz (Diskontierungssatz der Börse). 

3. Ermittlung des Kapitalwertes durch Diskontierung aller zukünftigen Zahlungen mit dem 

risikoadjustierten Alternativertragssatz. 

• Nach dem CAPM ist der risikoadjustierte Alternativertragssatz: 

µ Pr ojekt = i f +β Pr ojekt (µ m −i f ) (3) 

— Das Beta des Projektes ist das Maß für das Risiko seines cash flows. Das Beta muß 

geschätzt werden (Siehe oben). 

— Die durchschnittliche (erwartete) Risikoprämie und der risikofreie Zins können ebenfalls 

geschätzt werden. 

— Einsetzen in die Gleichung (3) ergibt den gesuchten Diskontierungssatz.



• Daten für ein Beispiel: Mircrosoft plant die Expansion einer Betriebsstätte: 

— Expansion kostet $ 1Mio. 

— Erwarteter cash flow: $25 Mio. für die nächsten 20 Jahre 

— Beta: 1,2 

— Risikoprämie: 8,6% 

— Risikofreier Zins: 5% 

• Lösung: 

— µ Pr ojekt =0, 05 + 1, 2(0, 086) = 0, 153 = 15, 5% 

— Kapitalwert: 

20X 

t=1 

$25 

t 

− 100 = $53, 92Mio 

(1, 153) 

• Achtung: Man muß zwischen dem Risiko des Unternehmens und dem Risiko des Investitionsprojektes 

unterscheiden. Das Investitionsprojekt hat nur sehr selten dasselbe Beta wie das 

Unternehmen als Ganzes (warum eigentlich?)



6 Beta und Verschuldungsgrad 

Musterbilanz 1 

• 

Assets 100 EK 100 

Lernziel 

Beta und Verschuldungsgrad 

— Gewinn = ∆EK = ∆A und r U EK = ∆EK 

EK 

— β U EK = cov(r EK,r m ) 

σ 2 m 

Musterbilanz 2 

• Assets 100 EK 20 

FK 80 

= cov(r A,r m ) 

σ 2 m 

= β A 

= r A 

— r v EK = ∆EK 

EK 

— β v EK = cov( A 

= ∆A = ∆A A 

= A r EK A EK EK A 

EK r A,r m ) 

σ 2 m 

= A cov(r A ,r m ) 

= A β EK σ 2 m EK A 

• Die Verschuldung verändert den Betafaktor (des Eigenkapitals) 

— β v EK = A β EK A = ¡ ¢ 

1+ FK 

EK β 

U 

EK ⇔ β U 1 

EK = 

(1+ 

EK) FK βv EK 

• Beispiel: Leverage = 0,5 und soll auf 2 gesteigert werden, aktueller Betafaktor = 1,5 

1. Schritt: Transformiere empirisches Beta in ”Beta des unverschuldeten Unternehmens”: 

”Unverschuldetes” Beta = 1 1, 5=1 

(1+0,5) 

2. Schritt: Multipliziere ”Beta des unverschuldeten Unternehmens” mit dem aktuellen Verschuldungsgrad: 

Neues Beta=(1 + 2) 1 = 3



7 Zusammenfassung 

• Anleger agieren auf der Wertpapiermarktlinie. 

• Im Kapitalmarktgleichgewicht wird nur für das systematische Risiko eine Prämie gezahlt. 

• Das systematische Risiko einer Aktie ist ihr Risikobeitrag zum Risiko des Marktportfolios. 

Gemessen als Beta. 

• Im Kapitalmarktgleichgewicht müssen die Risikoprämien pro Risikoeinheit aller Aktien gleich 

sein. 

• Die erwartete Rendite einer Aktie steigt mit ihrem Risiko, dem Beta. 

• Das Beta kann mit Hilfe einer linearen Regression aus dem Anstieg der ”charakteristic line” 

ermittelt werden. 

• Empirisch gibt es starke Zweifel an der Gültigkeit des CAPM. 

• Aber: Langfristig stimmt der Zusammenhang zwischen Beta und Durchschnittsrendite. Ausserdem 

gibt es keine Alternative. 

• Das CAPM kann zur Ableitung des risikoadjustierten Diskontierungssatz eines Investitionsprojektes 

verwendet werden. In der Praxis wird das so gemacht. 

• Je höher der Verschuldungsgrad, desto höher das Beta des EK eines verschuldeten Unternehmens.

Capital Asset Pricing Model (CAPM) - Burkhard Erke

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