Kurze Einführung in die Informatik

Zum Beispiel ist das Rucksachproblem und das Problem des Handelsreisenden so ein Fall.
Könnte man das Problem des Handlesreisenden effizient lösen, kann man dieselbe Algorithmusidee
für das Rucksackproblem verwenden und für viele andere Problem mehr.
Weiter gibt es noch solch widerborstigen Probleme, wo weder gezeigt werden kann,
dass sie NP-vollständig sind, noch ist bis jetzt ein effizienter Algorithmus bekannt. So ein
Problem ist das
Faktorisierungsproblem
Gegeben sei eine Nichtprimzahl N, und gesucht sind 2 Primzahlen (natürliche Zahlen, die
nur durch sich selbst und 1 teilbar sind) p und q mit N = p ∗ q.
Bemerkung: Bis jetzt war die Eingabe n die Anzahl von Elementen, z.B. Städte, oder
Waren. Beim Faktorisierungsproblem oder weiter unten beim Primzahlproblem ist die Eingabe
eine Zahl. Das Schwierige des Problems hängt von der Größe der natürlichen Zahl
ab. Die Größe der Zahl wird umgerechnet in die Anzahl der Bits (0 und 1), die die Zahl in
Binärdarstellung an Speicher in Anspruch nimmt. Diese Anzahl ist nun die Eingabegröße.
Ein ähnlich schweres Problem war das Primzahlproblem, dessen Komplexität lange
offen war.
Primzahlproblem
Für eine gegebene natürliche Zahl soll festgestellt werden, ob sie eine Primzahl ist oder
nicht. Ein ineffizienter, sehr alter und berühmter Algorithmus ist das Sieb des Eratosthemes:
• Beginnend bei 2 streicht man jede zweite der 2 folgenden natürlichen Zahlen.
• Danach streicht man ab der 3 jede dritte Zahl,
• ab der 5 jede fünfte Zahl (die 4 wurde schon gestrichen, als man jede zweite Zahl der
2 folgend wegstrich) und immer so weiter.
Am Ende bleibt eine Folge von Primzahlen übrig. Die Laufzeit dieses Algorithmus ist superpolynomial,
also ineffizient. Primzahlen sind z.B. in der Kryptografie sehr wichtig, wie
wir im nächsten Abschnitt sehen werden. Zahlen testet man auf die Primzahleigenschaft
11