Kurze EinfÃ¼hrung in die Informatik

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3 Ineffiziente berechenbare Probleme Für viele Probleme findet man, so sehr man sich auch anstrengt, nur sehr lang rechnende (in Abhängigkeit von der Eingabegröße) Algorithmen. Oftmals braucht der Rechner für die Lösung solcher Probleme länger, als unser Universum existiert (das Universum existiert ca. 10 10 Jahre = 365 ∗ 10 11 Tage = 876 ∗ 10 12 Stunden = 5256 ∗ 10 13 Minuten = 31536 ∗ 10 13 Sekunden, was ca. 3∗10 17 Sekunden sind). So viel Zeit hat niemand, und es scheint nutzlos zu sein, den Rechner überhaupt zu bemühen. Man könnte sich auf die Suche nach einem praktikableren, also schnelleren Algorithmus machen. Aber bei einer bestimmten Art von Problemen scheint das einfach nicht zu gelingen. Das läßt allerdings nicht die Schlussfolgerung zu, es gäbe nicht doch einen schnelleren Algorithmus, aber aus irgendwelchen Gründen ist es der Menschheit bis heute nicht gelungen, einen effizienten Algorithmus zu finden oder zu beweisen, dass es keinen Zweck hat, nach einem zu suchen, weil es ihn nicht gibt. Manchmal ist man aber auch froh, dass es bis jetzt keinen effizienten Algorithmus gibt, z.B. zum Entschlüsseln unserer Online-Banking-Daten. Da wiederum wäre es wohltuend zu wissen, dass niemand im stillen Kämmerlein einen effizienten Entschlüsselungsalgorithmus gefunden hat und am Werke ist, in dieser Minute unser Geld abzuheben. Problem Handelssreisender Stellen wir uns vor, wir wollen 20 Städte in Deutschland so bereisen, dass wir den kürzesten Weg zwischen den Städten insgesamt fahren und am Ende wieder zu Hause ankommen. Für dieses Problem ist kein viel besserer Algorithmus bis heute bekannt, als alle Verbindungsmöglichkeiten entfernungsmäßig auszurechnen und dann die kürzeste Strecke aus diesen einzelnen Entfernungssummen zu suchen. Bei 20 Städten gäbe es 20!/2 = 20 ∗ 19 ∗ 18∗...∗2∗1/2 verschiedene Verbindungsmöglichkeiten (man teilt durch 2, weil es bei einer gefundenen Reise egal ist, wie rum man sie fährt) und damit genauso viele Entfernungen, was 2432900000000000000/2 Möglichkeiten entspricht. Nehmen wir an, dass unser Rechner für eine Berechnung 10 −9 Sekunden braucht dann, würde dieses Programm immer noch 1216450000 Sekunden brauchen, was ungefähr 40000000 Minunten = 660000 Stunden = 27500 Tage = 75 Jahre wären. Hier kann uns auch ein 10 mal schnellerer Rechner nicht viel glücklicher machen. So lange will niemand warten, um sich die garantiert kürzeste Strecke zwischen 20 Städten berechnen zu lassen. Es gibt einige sehr clevere Algorithmen, 6
die relativ vernünftig bis zu 2000 Städten arbeiten, aber um Telefonnetze u.ä. zu berechnen ist eine Eingabengröße von 2000 viel zu wenig, um wirklich für die Praxis nützlich zu sein. Eine Anwendung für das gleiche Problem: Stellen wir uns vor, ein Bohrer soll Lötlöcher auf einer Leiterplatte bohren, wobei wir natürlich gerne hätten, dass der Bohrer so wenig Zeit wie möglich verschwendet, um sich von Bohrposition zu Bohrposition zu bewegen. Da kommt schnell eine Bohrlochzahl von mehreren Tausenden zusammen. Man behilft sich in solchen Fällen mit Approximationsalgorithmen, mit denen man gute Näherungslösungen berechnet. Diese sind weit besser, als wenn man zufällig die nächste Position des Bohrers auswählt. Bei diesen Approximationsalgorithmen haben wir aber eben keine Garantie, dass sie die beste Lösung berechnet. Es ist möglich, dass eine bessere Reihenfolge für die Bohrungen gefunden werden kann. Problem Rucksackpackungen Ein Dieb bricht in ein Kaufhaus mit 1000 Waren ein. Er hat sich einen sehr großen Rucksack mitgebracht von einer bestimmten Größe. Er will nun in diesen Rucksack Diebesware von maximalem Wert einpacken. Er muss also aus den 1000 Waren welche auswählen, so dass sie insgesamt in seinen Rucksack passen, dass aber der Wert der Waren auch hübsch hoch ist, um nicht zu sagen, so hoch wie möglich. Sicher kann er erst mal auf alle Waren verzichten, die sowieso nicht in seinen Rucksack passen, danach bleiben vielleicht noch 500 Waren übrig. Welche wählt er aus? Er könnte vorher zu Hause ein Programm laufen lassen, dass diese Waren für ihn auswählt. Aber hier muss er mit Enttäuschung feststellen, dass das Programm sehr lange braucht, und das Kaufhaus bis dahin vielleicht schon pleite ist. Der ineffiziente Algorithmus würde einfach alle Möglichkeiten für Warenkombinationen durchprobieren. Also eine der 500 Waren beliebig wählen und aus den Waren, die noch in den Rucksack passen würden, zufällig weitere wählen und jeweils den Gesamtwert berechnen. Das wirkt ähnlich aufwendig wie das Handelsreisendenproblem. Programmierbar ist dieser Algorithmus ohne Frage, aber man hätte nur Lust, auf Ergebnisse für ein sehr kleines Kaufhaus zu warten. 7
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