218 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

Der vorliegende Band enthält eine Fülle von Resultaten (neue und alte), Anwendungen,
Erklärungen und Einsichten in die Wirkungsweise von Sieben; er ist hervorragend
zum Selbststudium geeignet. Es ist von Vorteil, als Zusatz zur Lektüre
ein Buch über analytische Zahlentheorie bei der Hand zu haben (z.B. Davenport,
Montgomery/Vaughan, Iwaniec/Kowalski).
In Kapitel 1–5 werden schrittweise die grundlegenden Definitionen der Siebtheorie
eingeführt (Sieb von Bombieri, Dimension eines Siebes, Komposition von Sieben,
etc.). Kapitel 6 (“The Big Bang”) stellt das kombinatorische Sieb von Brun
vor und stellt es in den Kontext der Iterationen von Buchstab. Kapitel 7 und 8
erklären das Λ 2 -Sieb von Selberg und geben ausgewählte Anwendungen. Insbesondere
wird das Resultat von Goldston-Pintz-Yıldırım über kleine Abstände zwischen
Primzahlen präsentiert. Kapitel 9 (“Intermezzo”) beschreibt das große Sieb
und zeigt eine Verbindung zum Selberg-Sieb auf. Kapitel 10–13 umfassen eine
detaillierte Diskussion des Rosser-Iwaniec-Siebes, und Kapitel 14 beschreibt des
halbdimensionale Sieb. In Kapitel 16 wird das Problem der Parität (“Les Barricades
Mystérieuses”) beschrieben: Siebtheorie ist zu einem großen Teil unfähig,
zwischen Zahlen zu unterscheiden, die eine gerade Anzahl bzw. eine ungerade
Anzahl von Primteilern besitzen. In Kapitel 17 und 18 lernt man, wie man
aus kombinatorischen Identitäten asymptotische Resultate für Primzahlen gewinnt
(z.B. Vaughan-Identität). In Kapitel 23 erfährt man, wie man Abschätzungen für
Primzahlen in kurzen Intervallen erhält. Das Hauptaugenmerk wird dabei vor allem
auf die Methodik gerichtet. In Kapitel 24 (“Phantom of the Opera”) wird der
Satz von Linnik über die Größe der kleinsten Primzahl in einer arithmetischen
Progression mithilfe der Siebtheorie bewiesen.
Dem Mathematiker, der sich mit Sieben auseinandersetzt und diese in seiner Arbeit
verwendet, sei dieses umfassende Buch wärmstens empfohlen.
T. Stoll (Marseille)
S. Helgason: Integral Geometry and Radon Transforms. Springer, New York
2010, xiii+310 S. ISBN 978-1-4419-6054-2 H/b EUR 65,95.
Helgasons Buch The Radon Transform von 1980 kann man inzwischen getrost
als einen Klassiker bezeichnen. Hier kommt nun eine erweiterte Version, die sich
im Gegensatz zum Klassiker vor allem an fortgeschrittene Studierende und jene
Mathematiker wendet, die nicht allzuviel Vorwissen über Integralgeometrische
Transformationen mitbringen.
Dementsprechend beginnt das erste Kapitel eher anschaulich und beschreibt die
Radon-Transformation im R 3 und R n . Gegeben sei eine Funktion f : R n → R und
ein d ∈ {1,...,n}. Für jede d-Ebene ξ im R n , also für jedes Element der affinen
Grassmann-Mannigfaltigkeit G(d,n), wird die Radon-Transformation ˆf definiert
durch
Z
ˆf (ξ) = f (x)dx,
ξ
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