218 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

wobei hier in Bezug auf das Lebesgue-Maß auf ξ integriert wird. Die entscheidende
Frage ist, ob und unter welchen Voraussetzungen man aus der Radon-Transformierten
ˆf (·) nun wieder f (·) rekonstruieren kann. Der Fall n = 2, d = 1 geht auf
eine zunächst eher unbeachtete Arbeit von Radon aus dem Jahr 1917 zurück und
gab der Transformation ihren Namen. Der Satz von Schwartz und der Satz von
Paley-Wiener besagen nun, dass auf den ”
richtigen“ Funktionenklassen die Abbildung
f → ˆf eineindeutig und eine Rekonstruktion daher prinzipiell möglich
ist. Die praktische Rekonstruktion gelingt schließlich unter Verwendung des Laplace-Operators
∑ i ∂ 2 i .
Die Radon-Transformation besitzt eine natürliche duale Transformation, die jeder
Funktion φ : G(d,n) → R auf der affinen Grassmann-Mannigfaltigkeit das Integral
Z
ˇφ = φ(ξ)dξ
zuweist, wobei hier in Bezug auf das Haarsche Maß integriert wird. Auch diese
Transformation lässt sich auf geeigneten Funktionenklassen invertieren. Von Interesse
ist in beiden Fällen die Bestimmung der maximalen Funktionenklassen,
auf denen eine Rekonstruktion möglich ist.
In der Praxis am bedeutendsten ist der Fall der Radon-Transformation im R 3
mit d = 1, der Röntgen-Transformation. Der Nutzen dieser Transformation für
die Tomographie hat die Medizin revolutioniert, Cormack und Hounsfield haben
für ihre grundlegenden Arbeiten dazu den Nobelpreis erhalten. Die Arbeit
von Radon ist ein Musterbeispiel dafür, dass anscheinend obskure und unbeachtete
mathematische Arbeiten sich nach Jahrzehnten als in der Praxis hochbedeutend
herausstellen können; dies könnte manchen Ranking-Fans bei Forschungsförderungsinstitutionen
als Warnbeispiel dienen.
In den Kapiteln II bis VI wird die Untersuchung der ”
anschaulichen“ Radon-
Transformation des R n und der ihr zugeordneten dualen Transformation auf allgemeinere
homogene Räume erweitert, z.B. Räumen konstanter Krümmung, geeignete
Riemannsche Mannigfaltigkeiten, etc. Kapitel IV ist der Röntgen-Transformation
auf symmetrischen Räumen gewidmet. Angestrebt wird stets die Bestimmung
der maximalen Funktionenklassen, auf denen eine Rekonstruktion möglich
ist, und explizite Umkehrformeln.
Noch ein paar praktische Bemerkungen: Jedes Kapitel endet mit zahlreichen Bemerkungen
wissenschaftlicher und bibliographischer Art und mehreren sorfältig
ausgewählten Beispielen. Die nötigen Grundlagen (Fouriertransformation, Distributionen,
Lie Gruppen, symmetrische Räume, . . . ) werden in den Kapiteln VII bis
IX zur Verfügung gestellt, sodass dem Leser tatsächlich eine in sich geschlossene
Abhandlung der Radon-Transformation vorliegt.
Dieses sehr gut geschriebene Buch über eine der vielleicht wichtigsten Transformationen
in der angewandten Mathematik kann interessierten Studenten und
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