Musterlösung zur Klausur
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
∑<br />
Note<br />
Name (in Druckbuchstaben):<br />
Experimentalphysik für Naturwissenschaftler II<br />
Universität Erlangen–Nürnberg<br />
SS 2011<br />
<strong>Klausur</strong> (29.7.2011)<br />
Matrikelnummer:<br />
Studiengang:<br />
Bitte beachten: In die Wertung der <strong>Klausur</strong> gehen nur 8 der 10 gestellten Aufgaben ein. Kennzeichnen Sie<br />
deshalb deutlich vor Abgabe der <strong>Klausur</strong>, welche zwei Aufgaben nicht gewertet werden sollen! Sie müssen dies<br />
entscheiden, sonst werden einfach zwei Aufgaben nach Belieben gestrichen. Mit jeder Aufgabe können 8 Punkte<br />
erreicht werden.<br />
Empfehlung: Sehen Sie sich am Anfang der <strong>Klausur</strong> alle Aufgaben kurz an und entscheiden dann, welche Sie<br />
in welcher Reihenfolge bearbeiten wollen. Sollten Sie eine Teilaufgabe nicht bearbeitet haben, benötigen aber<br />
deren Ergebnis für die nächste Teilaufgabe, so nehmen Sie einfach einen Zahlenwert an, schreiben diesen hin und<br />
rechnen damit weiter.<br />
——————————————————————————<br />
1) Der Schützenfisch<br />
Der in tropischen Gewässern heimische Schützenfisch hat<br />
eine besondere Jagdtechnik entwickelt. Von knapp unterhalb<br />
der Wasseroberfläche "spuckt" er Insekten mit einem<br />
gezielten Wasserstrahl von nahegelegenen Pflanzen, damit<br />
sie ins Wasser fallen. Der Schuss ist dabei präzise genug,<br />
um bis zu vier Meter entfernte Ziele zu treffen.<br />
a) Ein Schützenfisch sieht ein Insekt, das sich auf einem Blatt in einer Höhe von H = 1 m über der Wasseroberfläche<br />
befindet, unter einem Winkel von α = 20 ◦ <strong>zur</strong> Senkrechten. Seine Augen befinden sich dabei<br />
h = 2 cm unterhalb des Wasserspiegels, und deren Abstand <strong>zur</strong> Maulspitze, die sich direkt an der Wasseroberfläche<br />
befindet, beträgt a = 3 cm. Welche horizontale Entfernung hat das Insekt vom Maul des Fischs?<br />
Machen Sie sich die Situation mit einer Skizze klar! (Ersatzlösung: 50 cm)<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
1
Snellius’sches Gesetz:<br />
sin β<br />
sin α = n Wasser<br />
n Luft<br />
( )<br />
nWasser<br />
β = arcsin · sin (α) = 27, 06 ◦<br />
n Luft<br />
horizontale Entfernung Auge-Maul:<br />
horizontaler Abstand Insekt-Auge:<br />
horizontaler Abstand Insekt-Maul:<br />
D AM = h · tan (arccos ( h )) = 2, 2 cm<br />
a<br />
D IA = tan β · H + tan (α) · h = 51, 8 cm<br />
D IM = D IA − D AM = 49, 6 cm<br />
b) In welchem Winkel <strong>zur</strong> Senkrechten muss der Fisch "schießen"? Vernachlässigen Sie hierbei die Wirkung<br />
der Gravitation auf den Wasserstrahl!<br />
2
Lösung (2 Punkte)<br />
γ = arctan ( D IM<br />
) = 26, 37◦<br />
H<br />
Mit der Ersatzlösung ergibt sich γ = 26, 57 ◦<br />
c) Bis zu welchem Blickwinkel <strong>zur</strong> Senkrechten kann der Fisch noch Objekte oberhalb der Wasseroberfläche<br />
sehen? Was sieht er jenseits dieses Winkels?<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Der Fisch kann allerhöchstens noch das Licht von Objekten mit β = 90 ◦ wahrnehmen.<br />
sin 90 ◦<br />
= n Wasser<br />
sin α T n Luft<br />
( )<br />
nLuft<br />
α T = arcsin = 48, 75 ◦<br />
n Wasser<br />
Dieser Winkel ist der Grenzwinkel <strong>zur</strong> Totalreflexion. Bei größeren Winkeln sieht der Fisch nur noch das<br />
Spiegelbild von Objekten unterhalb der Wasseroberfläche.<br />
Hinweise: Der Brechungsindex von Wasser ist: n Wasser = 1, 33.<br />
3
2) Morgentee<br />
Sie kochen sich morgens Tee, indem Sie M = 0, 25 kg Wasser zum Kochen bringen und in eine Tasse mit<br />
dem Teebeutel (Wärmekapazität Tasse + Teebeutel insgesamt C T = 200 J ) füllen. Die Tasse hat anfangs die<br />
K<br />
Temperatur T 0 = 20 ◦ C.<br />
a) Wie groß ist die Wassertemperatur T 1 , wenn das thermische Gleichgewicht erreicht ist? (Ersatzlösung:<br />
T 1 = 90 ◦ C)<br />
Lösung (4 Punkte)<br />
T Sieden = 373 K<br />
von Wasser abgegeben Q ab = c Wasser · M · (T Sieden − T 1 )<br />
von Tasse aufgenommen Q auf = C T · (T 1 − T 0 )<br />
aus Energieerhaltung: Q ab = Q auf<br />
=⇒ T 1 = c WasserM · T Sieden + C T T 0<br />
c Wasser · M + C T<br />
= 360 K = 87 ◦ C<br />
b) Nachdem Sie sich den Schlaf aus den Augen gerieben haben, stellen Sie fest, dass es ein heißer Sommertag<br />
ist und Sie doch lieber Eistee hätten. Sie werfen M E = 100 g Eiswürfel der Temperatur T E = 0 ◦ C in den<br />
Tee. Um wieviel kühlt sich das System Tasse-Tee ab?<br />
Lösung (4 Punkte)<br />
von Tee abgegeben Q ab = (c Wasser · M + C T ) · (T 1 − T 2 )<br />
von Eis aufgenommen Q auf = c Wasser M E · (T 2 − T E ) + s Eis M E<br />
=⇒ T 2 = (−s Eis + c Wasser T E )M E + (c Wasser · M + C T )T 1<br />
c Wasser M E + (c Wasser · M + C T )<br />
Für die Ersatzlösung ergibt sich ∆T = 43 K.<br />
=⇒ ∆T = T 1 − T 2 = 42 K<br />
= 318 K<br />
Hinweise: Vernachlässigen Sie den Wärmeaustausch mit der Umgebung. Die spezifischen Wärmekapazitäten<br />
sind c Eis = 2, 22 J , c gK Wasser = 4, 19 J . Die Schmelzwärme von Eis beträgt s gK Eis = 334 J . g<br />
4
3) Induktionsbremse<br />
Mit Hilfe eines Wagens auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α = 10 ◦ wird eine rechteckige Spule<br />
durch ein scharf begrenztes homogenes Magnetfeld der Flussdichte B = 160 mT bewegt (Feldrichtung senkrecht<br />
<strong>zur</strong> Zeichenebene in die Ebene hinein). Die Masse des Wagens samt Spule beträgt 200 g. Die Spule hat 600 Windungen<br />
und einen Ohmschen Widerstand von 3, 0 Ω. Die Höhe der Spule beträgt h = 5, 0 cm; die Spulenachse<br />
liegt parallel zum Magnetfeld. Jegliche Reibung ist zu vernachlässigen.<br />
a) Durch das Anlegen einer geeigneten Spannung zwischen den Spulenenden ist es möglich, den Wagen in<br />
der Ausgangsstellung (siehe Skizze, d.h. rechtes Ende der Spule taucht gerade in das Magnetfeld ein) zu<br />
halten. Berechnen Sie diese Spannung, und geben Sie ihre Polung an.<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Die Hangabtriebskraft F H muss gegengleich der magnetischen Lorentz-Kraft F m sein. Damit F m die<br />
richtige Richtung hat, muss aufgrund der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (Ursache: Techn. Stromrichtung;<br />
Vermittler: Magnetfeldrichtung; Wirkung: Richtung von F m ) die Spule vom Strom im Gegenuhrzeigersinn<br />
durchflossen werden, d.h. der Pluspol muss am unteren Spulenende liegen.<br />
F H = sin α · F g = sin α · mg ! = NB U R h = NBIh = F M<br />
U =<br />
Rmg sin α<br />
NBh<br />
= 0, 21 V<br />
b) Nun werden die Spulenenden kurzgeschlossen. Die Spule soll ohne Anfangsgeschwindigkeit in das Magnetfeld<br />
eintauchen. Solange sich die Spule noch nicht vollständig im Magnetfeld befindet, ist die Beschleunigung<br />
nicht konstant. Erklären Sie diesen Sachverhalt anhand einer Rechnung.<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Flächenänderung bewirkt Induktionsspannung und damit Induktionsstrom:<br />
|U ind | = N dA<br />
dt<br />
I ind = |U ind|<br />
R<br />
· B = Nh · dx<br />
dt B = NhvB<br />
= NhvB<br />
R<br />
5
Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:<br />
F M = BI ind · Nh = (NBh)2<br />
R<br />
· v<br />
Diese Kraft wirkt der Hangabtriebskraft entgegen:<br />
F ges = mg sin α − (NBh)2<br />
R<br />
a = g sin α − (NBh)2<br />
mR<br />
c) Während des Einfahrens in das Magnetfeld strebt die Geschwindigkeit der Spule gegen einen konstanten<br />
Wert v 0 . Berechnen Sie v 0 .<br />
· v<br />
· v<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit muss gelten: a = 0, also:<br />
g sin α = (NBh)2<br />
mR · v 0<br />
=⇒ v 0 =<br />
Rmg sin α<br />
(NBh) 2<br />
= 44 mm<br />
s<br />
6
4) Kälteeinbruch<br />
Während Sie in der Vorlesung sitzen, kommt es zu einem plötzlichen Kälteeinbruch und die Außentemperatur<br />
sinkt auf 5 ◦ C. Die Raumtemperatur in Ihrem Zimmer zuhause (Luftmasse m = 50 kg, spezifische Wärmekapazität<br />
c Luft = 0, 72 J<br />
gK ) betrug vor dem Kälteeinbruch 20◦ C und Ihre Heizung ist aus.<br />
a) Welcher Wärmestrom fließt anfänglich durch Ihr Fenster der Fläche A = 2 m 2 ? Gehen Sie von einem<br />
Wärmeleitkoeffizienten von k = 2, 20 W<br />
m 2 K aus.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
dQ<br />
dt<br />
= P = kA · ∆T = 66 W<br />
b) Zeigen Sie, dass für die Änderung der Temperaturdifferenz ∆T = T int − T ext (∆T ist die Temperaturdifferenz<br />
zwischen Innen und Außen) in einem infinitesimalen Zeitintervall dt gilt (Hinweis: Überlegen Sie<br />
sich zuerst, ob sich die Außentemperatur T ext überhaupt messbar ändert?):<br />
d(∆T )<br />
∆T<br />
= − kA<br />
c Luft m · dt<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
dQ = P dt = kA · ∆T dt<br />
dT ext = 0, da die Aussenluft als unendliches Wärmereservoir angenommen werden kann.<br />
d(∆T ) = dT int − dT ext = − dQ<br />
c Luft m − 0 = − kA · ∆T dt<br />
c Luft m<br />
=⇒ d(∆T )<br />
∆T<br />
= − kA<br />
c Luft m · dt<br />
c) Ihre Vorlesungen dauern noch 3 Stunden, der Heimweg 15 weitere Minuten. Auf welche Temperatur hat<br />
sich ihr Zimmer bis zu Ihrer Ankunft abgekühlt? Integrieren Sie dazu den Ausdruck für die Änderung von<br />
∆T aus b).<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
∆T 0 = 15K,<br />
τ = 3, 25 h = 11700 s<br />
∫ ∆T1<br />
d(∆T )<br />
∆T 0<br />
∆T<br />
= − kA ∫ τ<br />
c Luft m · dt<br />
0<br />
ln( ∆T 1<br />
∆T 0<br />
) = − kA<br />
c Luft m · τ<br />
7
(<br />
=⇒ ∆T 1 = exp − kA )<br />
c Luft m · τ · ∆T 0 = 3, 59 K<br />
=⇒ T ′<br />
int = T ext + ∆T 1 = 8, 59 ◦ C<br />
Hinweise: Vernachlässigen Sie jeglichen Wärmeaustausch mit der Umgebung (Wände, Möbel, etc.) und nehmen<br />
Sie an, dass die Wärmeleitung durch das Fenster zu jedem Zeitpunkt quasi-stationär erfolgt.<br />
8
5) Hochdruckkammer<br />
Eine Hochdruckkammer sei mit Helium gefüllt. Sie hat das Volumen 1m 3 , die Temperatur 20 ◦ C und unterliegt<br />
anfangs dem Normaldruck p Normal = 10 5 P a. Bei konstanter Temperatur wird nun weiteres Heliumgas in die<br />
Kammer gefüllt. Dabei wird ein Druck von p Hochdruck = 10 7 P a erreicht.<br />
Hinweis: Betrachten Sie Helium als ideales Gas. Ein Heliumatom hat die Masse 4 u. Atomare Masseneinheit<br />
u = 1, 66 · 10 −27 kg, allgemeine Gaskonstante R = 8, 31 J/(K mol), Boltzmann-Konstante k = 1, 38 · 10 −23 J/K<br />
a) Wieviel Mol Helium befinden sich vor und nach der Druckbefüllung in der Kammer?<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
T = 293, 15 K R = 8, 31 J/(mol · K)<br />
pV = nRT ⇒ n = pV<br />
RT<br />
10 5 P a · 1 m 3<br />
⇒ n Normaldruck =<br />
8, 31 J/(mol · K) · 293, 15 K<br />
⇒ n Hochdruck =<br />
= 41, 0 mol<br />
10 7 P a · 1 m 3<br />
8, 31 J/(mol · K) · 293, 15 K = 41, 0 · 102 mol<br />
b) Wie groß ist die mittlere kinetische Energie pro Heliumatom? Ändert sie sich während der Druckbefüllung?<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Da Helium ein Edelgas ist, hat es weder Rotations- noch Schwingungsfreiheitsgrade, die angeregt werden<br />
können. Somit besitzt es drei Translationsfreiheitsgrade. Die mittlere kinetische Energie berechnet sich zu<br />
⟨E kin ⟩ = f 2 kT = 3 2 kT = 3 2 · 1, 38 · 10−23 J/K · 293, 15 K = 6, 07 · 10 −21 J = 0, 038 eV.<br />
Da die mittlere kinetische Energie lediglich von der Temperatur abhängt, ändert sie sich während der<br />
Druckbefüllung nicht.<br />
c) Berechnen Sie die wahrscheinlichste (v w ) sowie mittlere (¯v) Geschwindigkeit der Heliumatome. Warum gilt<br />
v w < ¯v?<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
v w =<br />
¯v =<br />
√<br />
2kT<br />
m<br />
√ √<br />
2kT<br />
= 4u = 2 · 1, 38 · 10 −23 J/K · 293, 15 K<br />
4 · 1, 66 · 10 −27 kg<br />
√ √ √<br />
8kT 8kT<br />
πm = π4u = 8 · 1, 38 · 10 −23 J/K · 293, 15 K<br />
π · 4 · 1, 66 · 10 −27 kg<br />
= 1104 m s<br />
= 1246 m s<br />
9
Die Geschwindigkeit der Heliumatome ist maxwellverteilt. Deswegen gilt v w < ¯v.<br />
10
6) Gekreuzte Felder<br />
Ein Strahl von Elektronen mit einer kinetischen Energie<br />
von E kin = 500 eV gelangt in einen Kondensator<br />
mit Plattenabstand d = 5 cm, an dem eine Spannung<br />
U = 700 V anliegt. Zusätzlich herrscht dort<br />
ein homogenes Magnetfeld B. ⃗ E, ⃗ B und die Elektron-<br />
Flugrichtung stehen paarweise senkrecht aufeinander. ⃗ B wird<br />
so eingestellt, dass der Strahl im Kondensator nicht abgelenkt<br />
wird.<br />
Hinweis: Elektronen haben Masse m e = 9, 11 · 10 −31 kg und<br />
Ladung Q = −e = −1, 602 · 10 −19 C.<br />
a) Welche Geschwindigkeit v haben die Elektronen?<br />
Ersatzlösung: v = 10 7 m/s.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
E kin = 1 2 mv2 = 500 eV = 500 · 1, 602 · 10 −19 J = 8, 01 · 10 −17 J<br />
⇒ v = √ 2E/m = 1, 33 · 10 7 m/s<br />
b) Welche Kräfte wirken im Kondensator auf die Elektronen? Zeichnen Sie die Kräfte in eine Skizze ein!<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
⃗F E = −eE(<br />
⃗ zeigt nach oben.<br />
⃗F L = −e ⃗v × B ⃗ )<br />
muss nach unten zeigen, damit die Gesamtkraft auf die Elektronen verschwindet.<br />
c) In welche Richtung zeigt das Magnetfeld, wenn ⃗ E nach unten gerichtet ist und der Elektronenstrahl nicht abgelenkt<br />
wird? Begründen Sie Ihre Antwort!<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
⃗v × B ⃗ muss entgegengesetzt zu E ⃗ zeigen, also nach oben ⇒ B ⃗ zeigt in das Blatt hinein.<br />
Alternative Lösung: Da es sich um Elektronen handelt und E ⃗ nach unten zeigt, zeigt die elektrische Kraft F ⃗ e nach<br />
oben. Die Lorentz-Kraft F ⃗ L muss also nach unten zeigen und mittels der Rechten-Hand-Regel (und Beachtung<br />
der negativen Ladung der Elektronen) erhält man, dass das Magnetfeld in das Zeichenblatt hineinzeigt.<br />
d) Berechnen Sie die Magnetfeldstärke!<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
∣F ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣<br />
E = FL ⃗ ∣∣ E<br />
⇒ eE = evB ⇒ B =<br />
v = U dv<br />
verwendet wird)<br />
= 1, 06 mT (oder 1,05 mT, falls gerundeter Wert von v<br />
Für Ersatzlösung: 1, 4 mT<br />
11
7) Abbildungen mit dünnen Linsen<br />
Die folgende Skizze zeigt einen Gegenstand G 1 im Abstand g 1 = 14 cm vor einer Sammellinse mit einer<br />
Brennweite von f 1 = 6 cm. Im Abstand L = 19 cm <strong>zur</strong> ersten Sammellinse befindet sich eine zweite Sammellinse<br />
mit einer Brennweite von f 2 = 5 cm.<br />
a) Konstruieren Sie das Bild B 2 des Gegenstandes G 1 in die Zeichnung, das durch das gesamte Linsensystem<br />
erzeugt wird.<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Die Konstruktion ist in unten stehender Skizze eingefügt. Gefragte Größen sind in blau eingezeichnet, nicht<br />
gefragte in grün. Bei den Strahlen genügen je zwei der Strahlen Brennpunktstrahl, Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl.<br />
b) Berechnen Sie die Bildweite b 1 und den Abbildungsmaßstab M 1 des Bildes B 1 des Gegenstandes G 1 , das durch<br />
die linke Linse erzeugt wird. Erklären Sie anhand der Ergebnisse, ob das Bild reell oder virtuell, aufrecht oder<br />
umgedreht und vergrößert oder verkleinert ist.<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Die Bildweite berechnet sich zu<br />
Der Abbildungsmaßstab ist<br />
1<br />
= 1 − 1 = 1<br />
b 1 f 1 g 1 6 cm − 1<br />
14 cm = 2<br />
21 cm ⇒ b 1 = 10, 5 cm<br />
M = − B 1<br />
G 1<br />
= f 1<br />
f 1 − g 1<br />
=<br />
6 cm<br />
−8 cm = −3 4<br />
= −0, 75.<br />
12
Alternativ gilt natürlich auch M = −b 1 /g 1 = −0, 75. Das Bild ist somit (wie in der Skizze) reell (b 1 > 0) und<br />
umgekehrt verkleinert (0 > M > −1).<br />
c) Berechnen Sie ausgehend vom Ergebnis aus b) die Bildweite b 2 und den Abbildungsmaßstab M 2 des Bildes<br />
B 2 des Gegenstandes G 2 (gegeben durch das Bild B 1 ), das durch die rechte Linse erzeugt wird. Falls Sie in b)<br />
keine Lösung errechnet haben, verwenden Sie die Ersatzlösung b 1 = 12 cm und M 1 = −1.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Die Bildweite berechnet sich nun zu<br />
Der Abbildungsmaßstab ist<br />
1<br />
= 1 − 1 = 1<br />
b 2 f 2 g 2 5 cm − 1<br />
19 cm − 10, 5 cm = 7<br />
85 cm ⇒ b 2 = 12, 1 cm<br />
(Mit der Ersatzlösung ergeben sich 17, 5 cm)<br />
M = − B 2<br />
G 2<br />
= f 2<br />
f 2 − g 2<br />
=<br />
5 cm<br />
5 cm − 8, 5 cm<br />
(Mit der Ersatzlösung ergibt sich −2, 5)<br />
= −1, 43<br />
Das Bild ist somit (wie in der Skizze) reell (b 2 > 0) und umgekehrt vergrößert (M < −1) (war jedoch nicht<br />
gefragt).<br />
13
8) Coulomb-Kraft<br />
Gegeben sind zwei räumlich fixierte Punktladungen Q 1 = 4 nC und Q 2 im Abstand von L = 10 cm. Sie üben<br />
eine Kraft von F C = −5 · 10 −6 N aufeinander aus.<br />
Hinweis: Die elektrische Feldkonstante ist ϵ 0 = 8, 854 · 10 −12 A 2 s 4 /(m 3 kg).<br />
a) Berechnen Sie die Ladung Q 2 . Ziehen sich die Ladungen an oder stoßen sie sich ab?<br />
Ersatzlösung: Q 2 = −1 nC<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Coulomb-Kraft zwischen zwei Ladungen:<br />
F C < 0<br />
⇒ anziehend.<br />
F C = 1 Q 1 Q 2<br />
4πϵ 0 L 2<br />
⇒ Q 2 = 4πϵ 0 · L 2 · F C<br />
Q 1<br />
= −1, 4 nC<br />
b) Welche Energie wird frei, wenn beide Ladungen aus unendlicher Entfernung auf den Abstand L gebracht werden?<br />
Lösung (1 Punkt)<br />
Die gesuchte Energie ist nach Definition des elektrischen Potentials ϕ gerade<br />
E = Q 1 ϕ 2 (L) = Q 2 ϕ 1 (L) = 1<br />
4πϵ 0<br />
Q 1 Q 2<br />
L = −5, 0 · 10−7 J.<br />
c) Eine negative Probe-Punktladung q wird entlang der x-Achse verschoben, die Q 1 und Q 2 miteinander verbindet<br />
(siehe Skizze). Skizzieren Sie die Richtungen der beiden Kräfte verursacht durch Q 1 und Q 2 , die jeweils auf q<br />
wirken, für die Bereiche x q < 0, 0 < x q < L sowie x q > L.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
14
Die Richtung der Kraft F qQ1 ist rot, die der Kraft F qQ2 grün eingezeichnet.<br />
d) Bei welcher Position x q wirkt keine Kraft auf q?<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
Kraft von Ladung 1 auf Probeladung: F 1 = 1<br />
4πϵ 0<br />
qQ 1<br />
x 2 ;<br />
Kraft von Ladung 2 auf Probeladung: F 2 = 1 qQ 2<br />
4πϵ 0 (x − L) 2 .<br />
Es soll keine Kraft auf die Probeladung wirken: |F 1 | = |F 2 | und beide Kräfte in entgegengesetzte Richtungen:<br />
⇐⇒<br />
1 |qQ 1 |<br />
4πϵ 0 x 2 q<br />
(<br />
1 − L x q<br />
) 2<br />
=<br />
= 1<br />
4πϵ 0<br />
|qQ 2 |<br />
(x q − L) 2 ⇐⇒ |Q 2 | x 2 q = |Q 1 | (x q − L) 2<br />
∣ Q 2 ∣∣∣<br />
∣ ⇐⇒ x ± q =<br />
Q 1<br />
L<br />
1 ± √ |Q 2 /Q 1 | ≈ L<br />
1 ± 0, 59 .<br />
Die positive Lösung (x + q = 6, 3 cm) scheidet aus, da die Kräfte in die gleiche Richtung wirken.<br />
Es bleibt x q = x − q = 24, 4 cm. Hier sind die Kräfte tatsächlich entgegengesetzt. (Ersatzlösung: x q = 20 cm)<br />
15
9) Carnot-Prozess<br />
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet im Carnot-Kreisprozess mit 25 mol Argon. Es sei als ideales Gas angenommen.<br />
Der Prozess startet am Punkt A bei einem Volumen von 1, 403 m 3 und einer Temperatur von 700 K. Es<br />
erfolgt eine isotherme Expansion auf ein Volumen von 2, 806 m 3 im Punkt B. Danach erfolgt eine adiabatische<br />
Expansion auf 10 m 3 und einer Temperatur von 300 K an Punkt C, bevor das Gas wieder isotherm komprimiert<br />
wird und im Punkt D ein Volumen von 5 m 3 erreicht ist. Eine adiabatische Kompression schließt den Kreis.<br />
Hinweis: Allgemeine Gaskonstante R = 8, 314 J/(K mol)<br />
a) Zeichnen Sie schematisch (nicht maßstabsgetreu) ein P-V-Diagramm.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Siehe Abbildung Carnot<br />
Eigentlich müsste der Punkt D laut Zahlenwert natürlich rechts von B liegen. Wir lassen aber auch das einfache<br />
Schema wie im Bild gelten.<br />
b) Berechnen Sie den Druck an den Eckpunkten.<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Berechnung anhand idealer Gasgleichung<br />
p = n · R · T<br />
V<br />
p A = 103, 7 kP a<br />
p B = 51, 9 kP a<br />
p C = 6, 2 kP a<br />
p D = 12, 5 kP a<br />
c) Berechnen Sie den Wärmestrom und die Änderung der Inneren Energie in den Teilprozessen.<br />
16
Lösung (3 Punkte)<br />
Für Adiabaten:<br />
Für Isothermen:<br />
∆Q = 0<br />
∆U = n · C V · (T E − T A ) = n · 3<br />
2 · R · (T E − T A )<br />
∆U = 0<br />
∆Q = −∆W =<br />
∫ VE<br />
V A<br />
p dV = −n · R · T · ln( V A<br />
V E<br />
)<br />
⇒<br />
∆Q 1 = 100, 8 kJ<br />
∆U 1 = 0<br />
∆Q 2 = 0<br />
∆U 2 = −124, 7 kJ<br />
∆Q 3 = −43, 2 kJ<br />
∆U 3 = 0<br />
∆Q 4 = 0<br />
∆U 4 = 124, 7 kJ<br />
d) Berechnen Sie den Wirkungsgrad (ohne Herleitung).<br />
Lösung (1 Punkt)<br />
η = T 2 − T 1<br />
T 2<br />
= 0, 57<br />
17
10) Widerstandsnetzwerk<br />
Ein Widerstandsnetzwerk (siehe Abbildung) wird an eine Spannungsquelle angeschlossen. Deren Spannung beträgt<br />
12 V. Die mit R bezeichneten Widerstände haben 10 Ω, die mit R ′ bezeichneten 5 Ω .<br />
a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand. (Ersatzlösung 6,5 Ω)<br />
Lösung (3 Punkte)<br />
R Ges =<br />
1<br />
1<br />
+ 1<br />
R R ′ 1<br />
+ 1<br />
R + 1<br />
R ′ +R<br />
= 210<br />
31<br />
+R ′ +R ′<br />
Ω = 6, 774 Ω<br />
b) Berechnen Sie den Gesamtstrom.<br />
Lösung (1 Punkt)<br />
Mit Ersatzlösung: 1,846 A<br />
I Ges = U In<br />
R Ges<br />
= 1, 771 A<br />
c) Berechnen Sie die am Widerstand R* abfallende Spannung. (Ersatzlösung 2,3 V)<br />
Lösung (2 Punkte)<br />
Der Gesamtstrom teilt sich auf in einen Teil, der direkt durch den ersten Widerstand zwischen den Polen der<br />
Spannungsquelle fließt, und dem Teil, der durch den Rest der Schaltung fließt (Parallelschaltung). Dieser fließt<br />
zuerst durch den ersten mit R’ bezeichneten Widerstand, dann durch den rechten Teil der Schaltung und dann<br />
durch die beiden unteren R’ wieder <strong>zur</strong> Spannungsquelle <strong>zur</strong>ück. Dadurch fällt an den drei R’ eine Spannung<br />
ab. Die Spannung an R* ist gleich der Eingangsspannung minus der an den drei R’ abfallenden Spannungen.<br />
(Reihenschaltung)<br />
U R∗ = U In − 3 · U Rside = U In − 3 · R ′ · (I Ges − U In<br />
) = 3, 43 V<br />
R<br />
d) Berechnen Sie den Strom durch den Widerstand R*<br />
Lösung (1 Punkt)<br />
I R∗ = U R∗<br />
R<br />
= 0, 34 A<br />
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Mit der Ersatzlösung für U R∗ aus c) käme ein Strom von 0,23 A heraus.<br />
e) Berechnen Sie die Leistung der Schaltung.<br />
Lösung (1 Punkt)<br />
P Ges = U In · I Ges = 21, 26 W<br />
Mit der Ersatzlösung des Widerstands aus a) kämen 22,15 W heraus.<br />
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