Landau Niveaus in topologischen Oberflächenzuständen

2 Quantenmechanische Betrachtung
Abbildung 11: Die Zustandsdichte D(E) des Hamiltonians linearer Dispersion
aufgetragen gegen die Energie E. Die Graphik wurde mit schmalen Gaußkurven
statt mit den δ-Funktionen aus (25) geplottet. Dies erklärt die endliche Höhe der
Peaks.
Dies lässt sich in
(
) ( )
|n〉
tan θ|n〉
= ±
tan θ|n − 1〉 |n − 1〉
(28)
umformen und wir erhalten schließlich
tan θ = ±1 = α =⇒ θ = θ α = π 4 + zπ 2
mit z ∈ Z. (29)
Damit sind die Eigenfunktionen eindeutig bestimmt:
|n, α〉 =
( )
sin θα |n〉
cos θ α |n − 1〉
mit tan θ α = ±1. (30)
Diese hängen von Ket-Vektoren ab, die auf einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum
H definiert sind.
Eine analoge aber einfachere Darstellung der Eigenfunktionen erhält man, wenn
man diese in einem zweidimensionalen Unterraum von H, der durch die Basisvektoren
|1〉 = ( ) ( )
|n〉
0 und |2〉 = 0
|n−1〉 aufgespannt wird, berechnet. Dazu geben
wir die Matrixelemente des Hamiltonians an:
〈1|H|1〉 = 〈2|H|2〉 = 0
〈1|H|2〉 = 〈2|H|1〉 = ε √ n.
(31a)
(31b)
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