Landau Niveaus in topologischen Oberflächenzuständen

2 Quantenmechanische Betrachtung
Wir berechnen zunächst 〈n|H 1 |m〉:
(
) ( )
sin θm,α |m〉 sin θm,α [A|m − 3〉 − B|m + 3〉]
H 1 |m〉 = H 1 = i˜λ
cos θ m,α |m − 1〉 cos θ m,α [C|n + 2〉 − D|n − 4〉]
(54)
mit den Vorfaktoren
√
A = A(m) = m(m − 1)(m − 2)
√
B = B(m) = (m + 1)(m + 2)(m + 3)
C = C(m) =
D = D(m) =
Hieraus folgt nun der längliche Term
√
m(m + 1)(m + 2)
√
(m − 1)(m − 2)(m − 3).
〈n, α|H 1 |m, α〉 = [sin 2 θ n,m,α (A〈n|m − 3〉 − B〈n|m + 3〉)+
+ cos 2 θ n,m,α (C〈n − 1|m + 2〉 − D〈n − 1|m − 4〉)], (55)
wobei die abkürzende Schreibweise sin 2 θ n,m,α = sin θ n,α sin θ m,α und analog für
den Kosinus verwendet wurde. Diesen Term können wir vereinfachen, da die Oszillatoreigenfunktionen
orthonormal sind, 〈n|m〉 = δ n,m . Damit liefert der obige
Erwartungswert nur für m ∈ {n + 3, n − 3} einen Beitrag. Von der Summe in (53)
beleiben also nur die zwei Terme
E (2)
n = |〈n|H 1|n + 3〉| 2
ε n − ε n+3
+ |〈n|H 1|n − 3〉| 2
ε n − ε n−3
. (56)
Durch einfaches Einsetzen in die Vorfaktoren ergibt sich
Wir erhalten demnach für m = n + 3
und für m = n − 3
A(n + 3) = B(n)
D(n + 3) = C(n)
B(n − 3) = A(n)
C(n − 3) = D(n).
M ≡ i˜λ[sin θ n,n+3,α A(n + 3) − cos θ n,n+3,α D(n + 3)] (57)
N ≡ i˜λ[− sin θ n,n−3,α B(n − 3) + cos θ n,n−3,α C(n − 3)] (58)
und können die Energiekorrektur zweiter Ordnung in die übersichtlichere Form
E n (2) (α) = |M|2 |N |2
+ (59)
ε n − ε n+3 ε n − ε n−3
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