Landau Niveaus in topologischen Oberflächenzuständen

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Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Quantenmechanische Betrachtung 8 2.1 Ein freies Elektron im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . 8 2.2 Hamiltonian linear in k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Hamiltonian quadratisch in k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Hamiltonian kubisch in k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Semiklassische Betrachtung 22 4 Zusammenfassung und Ausblick 26 Literatur 28 1
1 Einleitung 1 Einleitung Ein wichtiges Prinzip zur Beschreibung von Phasenübergängen ist das Konzept der spontanen Symmetriebrechung (Landau-Theorie). Beim Phasenübergang von einer Flüssigkeit zum Kristall wird zum Beispiel die Translationssymmetrie gebrochen. Seit der Entdeckung des Quanten-Hall-Effekts (QH-Effekts) im Jahre 1980 sind jedoch Zustände bekannt, welche sich nicht durch ihre Symmetrien klassifizieren lassen. Aufgrund dessen entwickelte man ein anderes Klassifizierungsschema, welches die Tatsache berücksichtigt, dass die QH-Zustände Eigenschaften haben, die bei leichter Materialparameteränderung (was einer Änderung des Hamiltonians des Systems gleichkommt) unverändert bleiben. Eine solche invariante Eigenschaft ist zum Beispiel der gequantelte Wert des Hallwiderstandes, der nur als ganzzahliges Vielfaches von e 2 /h vorkommt 1 [1, 2]. Dieses Verhalten lässt sich mathematisch durch topologische Invarianten beschreiben, welche zur Klassifizierung von geometrischen Objekten herangezogen werden. In zwei Dimensionen bleibt zum Beispiel die Anzahl der Löcher in einer Fläche bei topologischen Äquivalenzumformungen konstant. In diesem Sinne ist eine Kugel einem Ellipsoid äquivalent, da sich beide durch Verschieben der Oberflächen ineinander überführen lassen, ohne dass dabei Löcher entstehen würden [2, 3]. Die so neu entstandene Klassifizierung basiert nun auf einer topologischen Ordnung, während in der Landau-Theorie der Ordnungsparameter die Symmetrie ist. Die QH-Zustände gehören damit einer bestimmten topologischen Klasse an und haben gewisse Eigenschaften (z.B. den Hallwiderstand), die sich nur bei topologischen Phasenübergängen ändern können. Um die topologische Äquivalenz von Zuständen zu veranschaulichen, folgt hier nun ein erklärendes Beispiel. Bei einem Isolator trennt eine Energielücke das Valenzband vom Leitungsband (vgl. Abb.1). Das Fermi-Niveau liegt in dieser Bandlücke, womit das Valenzband mit Elektronen vollbesetzt, das Leitungsband dagegen leer ist. Die Elektronen können sich nicht frei bewegen, da ihre thermische Energie bei Raumtemperatur (∼1/40 eV) nicht ausreicht um die Bandlücke zu überwinden Auch Halbleiter haben eine Bandlücke. Diese unterscheidet sich von der in einem Isolator lediglich in der Größe, wobei die Lücke der Halbleiter kleiner ist. Typische Bandlückenwerte bei 300 K sind etwa: 0,66 eV (Germanium) und 1,12 eV (Silizium) für Halbleiter oder 5,47 eV (Diamant) für Isolatoren (Bandlückenwerte aus [4]). Man kann den Hamiltonoperator, welcher so ein System beschreibt, leicht modifizieren, so dass die Energielücke in ihrer Größe variiert, ohne dass sich selbige schließt. Letzteres würde den Übergang zu einem Leiter darstellen. Eine solche Änderung des Hamiltonoperators beschreibt nun eine topologische Äquivalenz zwischen verschiedenen, nichtleitenden Zuständen. Die Invariante ist 1 In diesem Fall spricht man vom ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt 2
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Seite 29: Literatur Literatur [1] M. Z. Hasan

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