Landau Niveaus in topologischen Oberflächenzuständen

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2 Quantenmechanische Betrachtung Abbildung 12: Das Diagramm zeigt die Energien E in Abhängigkeit des Parameters η. Für η −→ 0 gehen diese in (47) über. Die Energie E n wird dabei in Einheiten von E 0 angegeben, die Einheit der Abszisse ist beliebig. Abbildung 13: Das Diagramm zeigt die Energien E in Abhängigkeit von 1/η. Für η −→ ∞ gehen diese in die Energien (23) über und sind damit wieder symmetrisch um das Nullniveau angeordnet. Die Energie E wird dabei in Einheiten von E 0 /η angegeben, die Einheit der Abszisse ist beliebig. 19
2 Quantenmechanische Betrachtung 2.4 Hamiltonian kubisch in k Nun nehmen wir den kubischen Term aus (1) in unsere Betrachtungen mit auf. Dieser kann die schneeflockenartige Verformung der Fermifläche erklären. Es gilt H 1 = λ 2 (k3 + + k 3 −)σ z , (49) wobei k + = k x + ik y und k − = k x − ik y ist. Der Parameter λ gibt dabei die Stärke der Verformung an. Eine kurze Rechung ergibt ( a H 1 = i˜λ 3 − a + ) 3 0 0 a +3 − a 3 (50) mit ˜λ = √ 2λ/l 3 B. Der Vorfaktor ist dabei rein imaginär, mit (a 3 ) + = (a + ) 3 und [(a + ) 3 ] + = a 3 lässt sich aber leicht die Hermitezität des Hamiltonoperators nachweisen. Somit sind seine Eigenwerte, also unsere gesuchten Energien reell, also physikalisch auch sinnvoll. Im weiteren Verlauf setzen wir ( a H 0 = H(k 2 ) = E + a + 1 ηa + ) 2 0 ηa a + a − 1 . (51) 2 Die Eigenfunktionen von H 0 sind auf dem zweidimensionalen Hilbertraum H definiert, der durch die Vektoren ( ) ( ) |n〉 0 und 0 |n−1〉 aufgespannt wird. Die Schrödingergleichungen konnten bis jetzt exakt gelöst werden, da der Hamiltonoperator angewandt auf die Wellenfunktion sich wieder in dieser Basis darstellen ließ. Für H 1 ist dies aber nicht mehr der Fall. Deshalb werden wir die Energiewerte mit Hilfe der zeitunabhängigen, nicht-entarteten Störungstheorie nach [14] berechnen. Hierzu setzen wir H(k 3 ) = H 0 + H 1 , wobei H 0 |n, α〉 = ε n,α |n, α〉 das ungestörte Eigenwertproblem sei. Die Energiekorrektur erster Ordnung ist der Erwartungswert des Störoperators. Eine kurze Rechnung ergibt E (1) n = 〈n, α|H 1 |n, α〉 = 0. (52) In erster Ordung gibt es kein Überlappen der Wellenfunktionen und somit verschwindet die Energiekorrektur. Die Korrektur zweiter Ordnung ist E (2) n = ∞∑ m,m≠n |〈n|H 1 |m〉| 2 ε n − ε m . (53) 20
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Seite 7 und 8: 1 Einleitung Abbildung 5: Abbildung
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Seite 25 und 26: 3 Semiklassische Betrachtung Abbild
Seite 27 und 28: 4 Zusammenfassung und Ausblick Abbi
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