üBER DAS VERHALTNIS DES ARISTOTELES ZUR ...

Verhältnis des Aristoteles zur Dynamislehre der griech. Mathematiker 45
diese Quadrate ein gemeinsames Flächenmaß haben, sind die zu
vergleichenden Strecken ,,(J'lJVaflu crvflflITeOL"25).
Nun gibt es Strecken, die sowohl "der Größe" als auch
"dem Vermögen nach" kommensurabel sind: es sind die Strekken,
die ein gemeinsames Längenmaß haben und deren Quadrate
sich wie Quadratzahlen zueinander verhalten (Eucl. EI. X, Prop.
9). Und alle Strecken, die der Größe nach kommensurabel sind,
sind es auch "dem Vermögen nach" (Eucl. EI. X, Coroll. zu
Prop. 9). Aber es gibt auch Strecken, die nur "dem Vermögen
nach" kommensurabel sind: dies sind Strecken, die kein gemeinsames
Längenmaß haben (fl'l]"SL acrvflflITem) und deren Quadrate
sich nicht wie Quadratzahlen zueinander verhalten, sondern nur
wie natürliche Zahlen (Eucl. EI. X, Prop. 9). Diese Unterscheidung
zwischen Strecken, die "der Größe nach", und solchen,
die nur "demVermögen nach" kommensurabel sind, ist wichtig:
sie ermöglicht eine Erweiterung des Bereichs des Kommensurablen (eine
Erweiterung, die - wie sich zeigen wird - es ermöglicht, auch
Quadratdiagonale und -seite als kommensurabel zu bezeichnen).
Strecken, die "der Größe nach" und zugleich "dem Vermögen
nach", und solche, die nur "dem Vermögen nach" kommensurabel
sind, werden "rational" (errrat) genannt, solche aber, die
nicht einmal "demVermögen nach" kommensurabel sind, heißen
"irrational" (äAOyOL) (Eucl. EI. X, Def. 3).
Die dreizehn einfachen Arten des Irrationalen werden in
Eucl. EI. X behandelt. Wir brauchen uns hier damit nicht zu befassen.
Von Belang ist hier nur I) der Wortgebrauch von ,,