Übungsblatt 2

Induktionsschritt: Wir müssen nun zeigen, dass a n + 1
1 2 1 2
−
Induktionsvoraussetzung (IV), dass ≤1− 2 n für ein n bewiesen ist.
a
a n
| cos an
| −n
| cos an
|
= a + ≤
1− 2 +
2 − n 2
n+ 1 n n+ 1 n+
1
an≤1−
2
− ( n+ 1) −n−1
≤ − = − unter der
Nun weiß man noch aufgrund des Kurvenverlaufs des Kosinus, dass | cos an
| ≤ 1 . Also gilt:
| cos an
| | cos an
| 1
an+ 1
= an + ≤
1 1− 2 + ≤1− 2 + = 1− 2 + 2 = 1− 2 = 1−
2
n+ n+ 1 n+
1
2 − n 2 2
an
≤1−
2
1 1
= − = − < −
2 2
− (2n+
1)
1 2 1 1
2n+ 1 n+
1
Damit ist die Beschränktheit gezeigt.
−n −n −n −n−1 −n−n−1 −2n−1
Wir müssen noch zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, also a
1
> a ⇔ a
1
− a > 0
n+ n n+
n
| cos a | | cos a |
a a a a a n
2 2
n
n
n 1
1
0, da 0 | cos | 1 und 2 +
n+ −
n
=
n
+ − 0 .
n+ 1 n
= > ≤
n+
1
n
≤ > ∀
Nun ist alles gezeigt. Aus Monotonie und Beschränktheit folgt die Konvergenz der Folge.
Aufgabe 3:
1−
1 − x²
Berechne den Grenzwert lim
x→0
.
x≠0
x²
1− 1 − x² (1 − 1 − x²)(1 + 1 − x²) 1− 1 + x²
lim
x→0 = limx→0 = lim
x→0
x≠0 x² x≠0 x²(1 + 1 − x²) x≠0
x²(1 + 1 − x²)
x² 1 1
= lim
x→0 = lim
x→0
=
x≠0 x²(1 + 1 − x²) x≠0
1+ 1 − x²
2
Aufgabe 4:
Zeige die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f ( x)
=
1
1 + x²
.
Wir schätzen zunächst | f ( x) − f ( y) | < ε ab und formulieren dann den endgültigen Beweis.
1 1 1 + y² − 1 + x² ( 1 + y² − 1 + x²)( 1 + y² + 1 + x²)
| f ( x) − f ( y) | = | − | = | | = | |
1 + x² 1 + y² 1 + x² 1 + y² 1 + x² 1 + y²( 1 + y² + 1 + x²)
1 + y² −1 − x² y² − x² ( y − x)( y + x)
= | | = | | = | |
1 + x² 1 + y²( 1 + y² + 1 + x²) 1 + x² 1 + y²( 1 + y² + 1 + x²) 1 + x² 1 + y²( 1 + y² + 1 + x²)
=
| y − x || y + x |
< | x − y | < δ : = ε
1 + x² 1 + y²( 1+ y² + 1 + x²)
Wir wählen also einfach δ : = ε und haben mit obiger Abschätzung dann die gleichmäßige
Stetigkeit gezeigt, denn ist δ jetzt, wie es auch sein sollte, vom x 0 unabhängig.