Übungsblatt 2

Aufgabe 6:
∞
1
Konvergiert die Reihe ∑ ?
k = 1 k( k + 1)
Nein, tut sie nicht. Aber wie begründen wir das?
∞
1 1 1 1
1
Es gilt > = = . Und
k( k + 1) ( k + 1)( k + 1) ( k + 1)² k +
∑ ist bekanntlich divergent
1
k = 1 k + 1
(harmonische Reihe). Also haben wir eine divergente Minorante gefunden und die Divergenz
∞
1
der Reihe ∑ gezeigt.
k = 1 k( k + 1)
Aufgabe 7:
x
Bestimme die Taylorentwicklung von f ( x ) = − ln(1 − ) um den Entwicklungspunkt x
0
= 0 .
2
Das ist der zweite Aufgabentyp von Taylorentwicklungen.
x
Bestimme die Taylorentwicklung von f ( x ) = − ln(1 − ) um den Entwicklungspunkt x
0
= 0 .
2
Hier bestimmen wir zunächst ein paar Ableitungen, um eine Gesetzmäßigkeit für die k-te
Ableitung zu entdecken:
x
f ( x) = − ln(1 − )
2
1 1 1 1 1 1
f '( x) = − • ( − ) = = =
x
1
2 2 x x
− 1− 2(1 − )
2 − x
2 2 2
1 1
f ''( x) = − • ( − 1) =
(2 − x)² (2 − x)²
1 2
f '''( x) = − 2 • ( − 1) =
(2 − x)³ (2 − x)³
Na, wer sieht schon was? Vielleicht nich die vierte Ableitung:
f
f
(4)
( k )
1 6
( x) = − 6 • ( − 1) =
4
(2 − x) (2 − x)
( k −1)!
( x)
=
k
(2 − x)
4
Wie sieht also die k-te Ableitung aus?
Dies müssten wir nun noch mit vollständiger Induktion beweisen. Wir verzichten hier aber
auf den sehr einfachen Induktionsbeweis und überlassen dies dem Leser als Übungsaufgabe
zur vollständigen Induktion.
Das Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt x
0
= 0 lautet damit:
k
( k −1)!
x
f ( x)
= =
!• 2 k • 2
∞
∞
k
∑ x
k ∑
k = 1 k
k = 1
k
Und die Restgliedabschätzung nach Lagrange würde
n 1
ξ + n+
1
n+ 1( ) = ( −
1 0)
n+
R x x x
( n + 1)2
lauten.