Übungsblatt 2

Zusatzaufgabe:
a) Die Reihe
∞
∞
∑
k=
1
die Reihe ∑ ( xk
)² konvergiert.
k=
1
x
k
sei konvergent und es gelte x
k
> 0 für alle k ∈ N . Zeige, dass dann auch
b) Zeige, dass die Aussage aus a) ohne die Voraussetzung x
k
> 0 im Allgemeinen falsch ist.
a) Bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich erstmal festzustellen, was man überhaupt weiß
(Voraussetzungen) und was man überhaupt zeigen soll:
Voraussetzungen:
∞
Die Reihe ∑ xk
ist konvergent mit x
k
> 0 für alle k ∈ N .
k=
1
Zu zeigen:
Die Reihe
∞
∑
k=
1
( x )²
k
konvergiert ebenfalls.
∞
Dass die Reihe ∑ xk
konvergiert, bedeutet, dass die Summanden nach dem Trivialkriterium
k=
1
eine Nullfolge bilden (dies ist ja ein notwendiges Kriterium). Da nun x
k
> 0 , gibt es zu jedem
ε : = 1 ein k0
∈N so, dass 0 < xk
< 1 ∀k ≥ k0
.
Also ist (ab k 0 ) die Reihe ∑ xk
eine konvergente Majorante der Reihe ∑ x k
² .
Mit dem Majorantenkriterium folgt die Konvergenz der Reihe ∑ x k
² .
b) Diese Aufgabe ist wieder einfacher. Denn hier müssen wir nur ein Gegenbeispiel angeben.
( −1) k
Betrachten wir also die Reihe ∑ . Es gilt auf keinen Fall x
k
> 0 , da die Folge
k
k
( −1)
a k
: = alternierend ist. Nun gilt aber
k
harmonische Reihe.
∑
k
( −1) 1
( )² = ∑ und dies ist die divergente
k k