Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

Deklaration verwendet. Diese Rechenvorschrift isempty testet mittels einer verborgenen
Hilfsrechenvorschrift ise, ob eine Menge leer ist. Auch die zuletzt deklarierte Rechenvorschrift
elem verwendet eine Hilfsrechenvorschrift. Sie realisiert die Auswahl eines Knotens
aus einer nichtleeren Menge, wie sie in (R5) für z vorausgesetzt wird, in deterministischer
Weise. Es wird der kleinste in der Menge liegende Knoten abgeliefert.
Im dritten Schritt haben wir nun Graphen zu implementieren. Wir stellen den vorausgesetzten
Graphen g = (V, R) dar durch eine Funktion, die jedem Knoten die Menge seiner
Nachfolger zuordnet. Dies führt in ML zur nachfolgenden Deklaration:
type graph = node->nodeset;
Damit wird im Prinzip jedem Knoten eine Nachfolgermenge zugeordnet. Natürlich sind wir
bei dem speziellen Objekt g des Typs graph, das den vorausgesetzten Graphen g = (V, R)
beschreibt, nur an den Werten von g bei Argumenten zwischen 1 und N interessiert.
Aufbauend auf den Typ graph der Funktionen von den Knoten in die Knotenmengen
erhalten wir auch eine äußerst einfache Realisierung der Nachfolgerfunktion succ wie folgt:
fun succ (g : graph, x : node) : nodeset = g(x);
Nach diesen Vorbereitungen können wir nun die obigen Rekursionen (R1) bis (R5) direkt
nach ML übertragen. Wir erhalten die folgende Rechenvorschrift:
fun reach (g : graph, x : node) : nodeset =
let fun succs (s : nodeset) : nodeset =
if isempty(s)
then s
else let val y : node = elem(s);
in union(succ(g,y),succs(delete(s,y))) end;
fun F (k : int) : nodeset =
if k = 0 then insert(empty,x)
else insert(succs(F(k-1)),x)
in F(N-1) end;
Im Vergleich zu den Funktionen reach, F und succs von oben sind in der Rechenvorschrift
reach die Rechenvorschriften F und succs lokal deklariert. Durch diese Unterordnung ist
es möglich, in F und succs jeweils mit einem Parameter auszukommen.
Bei der oben angegebenen einfachen Implementierung von Mengen und Graphen durch
Funktionstypen stellt sich natürlich das Problem, einen konkreten Graphen aufzubauen
und das Resultat einer Algorithmenanwendung zu visualisieren. Das erste Problem kann
etwa gelöst werden durch die zwei nachfolgenden Rechenvorschriften:
fun arcinsert (g : graph, x : node, y : node) : graph =
fn (u : node) => if u = x then insert(succ(g,u),y)
else succ(g,u);
fun create (w : node list) : graph =
if null(w) then fn (u : node) => empty
else arcinsert(create(tl(tl(w))),hd(w),hd(tl(w)));
152