Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

Als Variablen setzen wir mindestens x von der Sorte m voraus. Schließlich gehen wir
von nur einer Regel aus, die folgendes Aussehen hat:
(1) f(x, x) → x
Bei diesem Termersetzungssystem sind mehrere Ersetzungswege zu einer Eingabe
möglich. Für den Term f(f(a, a), f(a, a)) bekommt man beispielsweise das nachfolgende
Berechnungsdiagramm:
f(f(a, a), f(a, a))
❍
� ❍❍❥
�✠
f(a, f(a, a)) f(f(a, a), a)
❅ �
❅❘ ❄
f(a, a) �✠
❄
a
Etwa gilt für die obere mittlere Ersetzung z = ε und σ(x) = f(a, a). Für die obere
rechte Ersetzung verwendet man die Stelle z = 2 und die Substitution σ(x) = a.
c) Im folgenden sei die Signatur die von Beispiel 2.3.2.a mit nat, zero und succ, wobei
wir, wie schon in a), die gewohnte 0 statt zero schreiben, erweitert um ein Funktionsymbol
add : nat, nat → nat. Die Variablenmenge enthalte x und y, beide von der
Sorte nat. Als Regeln des Termersetzungssystem habe man schließlich:
(1) add(x, 0) → x
(2) add(x, succ(y)) → succ(add(x, y))
(3) add(x, y) → add(y, x)
Eine Beispielrechnung (mit Markierung der Übergänge durch die verwendeten Regeln)
sieht dann wie folgt aus:
add(0, succ(0))
�
�
� �✠
add(succ(0), 0)
❅
❅❅❘ (2)
succ(add(0, 0))
❅ �
(1) (1)
❅❅❘
�
��✠
succ(0)
���✒
(3) (3)
✻
(3)
Die Kommutativitätsregel (3) läßt also nicht nur Verzweigungen in den Textersetzungsberechnungen
zu, sondern zerstört auch die Terminierung des Termersetzungssystems.
Entfernt man die Termersetzungsregel (3), so gilt offensichtlich
add(succ n (0), succ m (0)) ∗ ⇒ succ n+m (0),
wobei succ k (0) für den Term succ(succ(. . .succ(0) . . .)) mit k Anwendungen von succ
steht. Das Termersetzungssystem mit den beiden Regeln (1) und (2) realisiert somit
die Addition von natürlichen Zahlen. �
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