Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

durch. Dabei schreiben wir abkürzend pa statt prefix a.
conc(〈A, N〉, 〈A, N〉) = conc(pA(pN(〈〉)), 〈A, N〉) Erzeugungsprinzip
= pA(conc(pN(〈〉), 〈A, N〉)) nach (2)
= pA(pN(conc(〈〉, 〈A, N〉))) nach (2)
= pA(pN(〈A, N〉)) nach (1)
= pA(〈N, A, N〉) Erzeugungsprinzip
= 〈A, N, A, N〉 Erzeugungsprinzip
Nun führen wir einen Beweis durch Induktion. Wir zeigen, daß die Konkatenation assoziativ
ist, d.h. die Eigenschaft
∀ u, v, w ∈ A ∗ : conc(conc(u, v), w) = conc(u, conc(v, w))
gilt. Der Beweis erfolgt durch strukturelle Induktion mit dem nachfolgenden Prädikat 3 :
P(u) :⇐⇒ ∀ v, w ∈ A ∗ : conc(conc(u, v), w) = conc(u, conc(v, w))
Im Vergleich zum Beispiel der Potenzfunktion führen wir ihn aber in der normalerweise
in der Mathematik üblicheren Form, d.h. mit Gleichungsketten und im umgebenden Text
erwähnten Allquantoren, statt mit Umformungen zwischen allquantifizierten Formeln.
Induktionsbeginn: Zum Beweis von P(〈〉) seien v, w ∈ A ∗ beliebig vorgegeben. Dann
bekommen wir:
conc(conc(〈〉, v), w) = conc(v, w) nach (1)
= conc(〈〉, conc(v, w)) nach (1)
Induktionsschluß: Wir haben zu zeigen, daß für ein beliebiges a ∈ A die Eigenschaft
P(pa(u)) aus der Induktionshypothese P(u) folgt, wobei pa wieder als Abkürzung für
prefix a steht. Es seien also a ∈ A und v, w ∈ A ∗ beliebig gewählt. Dann gilt:
conc(conc(pa(u), v), w) = conc(pa(conc(u, v)), w) nach (2)
= pa(conc(conc(u, v), w)) nach (2)
= pa(conc(u, conc(v, w))) wegen P(u)
= conc(pa(u), conc(v, w)) nach (2)
Also ist auch P(pa(u)) gültig.
Das Gesetz (1) besagt, daß das leere Tupel 〈〉 linksneutral ist. Es gilt auch die Rechtsneutralität
conc(w1, 〈〉) = w1
des leeren Tupels bezüglich der Konkatenation, was man analog zum Beweis der Assoziativität
leicht durch strukturelle Induktion zeigt. �
Die bisherigen Bezeichnungen bei Zeichenreihen sind etwas schwerfällig und auch sehr
buchstabenreich. Deshalb haben sich in der Literatur einfachere Schreibweisen etabliert.
Wir zählen sie im folgenden auf:
3 Man beachte, daß ∀ u ∈ A ∗ : P(u) genau die Assoziativität der Konkatenation ist
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