Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

Zur Verdeutlichung der bisher zugelassenen Form von Rechenvorschriften geben wir nachfolgend
einige Beispiele an. Dabei zeigen wir auch, wie man rekursive Rechenvorschriften
aus gegebenen Spezifikationen durch mathematische Überlegungen ” herrechnen“ kann.
Auf die formale Semantik von Rechenvorschriften gehen wir jetzt noch nicht ein, sondern
unterstellen ein intuitives termmäßiges Verständnis der Abarbeitung von Rekursion, wie
es durch die beiden einführenden Beispiele 3.1.1 und 3.1.2 und ihre Übertragung nach ML
motiviert wurde.
3.3.2 Beispiele (für ML-Rechenvorschriften)
a) Das Volumen eines Kegelstumpfs mit Höhe h, kleinem Radius r und großem
Radius R berechnet sich nach der Formel
V =
π ∗ h
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∗ (r 2 + r ∗ R + R 2 ).
Aus dieser Formel bekommt man sofort eine nichtrekursive ML-Rechenvorschrift V
zur Berechnung des Volumens, die wie folgt aussieht:
fun V (r : real, R : real, h : real) : real =
1.0472 * h * (r * r + r * R + R * R);
In dieser Rechenvorschrift stellt die im Rumpf verwendete Zahl 1.0472 eine Nähe-
auf vier Stellen nach dem Dezimalpunkt dar.
rung des Bruchs π
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b) Die Fakultät n! einer natürlichen Zahl n ist definiert als n! := �n i=1 i. Die Zahl 1 ist
neutral bezüglich der Multiplikation und damit per Definition gleich jedem Produkt
mit leerer Indexmenge. Im Falle der Fakultät liefert dies die folgende Gleichung:
0! =
0�
i = 1 (F1)
i=1
Nun sei n �= 0. Dann gilt, nach der induktiven Definition des Produktsymbols und
der Definition der Fakultät, die nachfolgende rekursive Beziehung:
n! =
n� n−1 �
i = n ∗ i = n ∗ (n − 1)! (F2)
i=1
i=1
Aus den beiden Gleichungen (F1) und (F2) erhalten wir durch einen Übergang zur
Programmiersprache ML und unter Verwendung der Sorte int der ganzen Zahlen
sofort die folgende ML-Rechenvorschrift:
fun fac (n : int) : int =
if n = 0 then 1
else n * fac(n-1);
Offensichtlich berechnet, eine naive Auswertung durch Termersetzung analog zu Beispiel
3.1.1 vorausgesetzt, diese Rechenvorschrift für ein nichtnegatives Argument n
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