Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

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5.1 Einige allgemeine und historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 Datenabstraktion in ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3 Objektorientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.4 Umsetzung des Ansatzes in ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.5 Ergänzung: Signaturen, Strukturen und Funktoren . . . . . . . . . . . . . . 171 6 Grundkonzepte imperativer Programmierung 185 6.1 Grundlegendes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.2 Elementare Datenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.3 Variablen und Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 Betrachtungen zu Semantik und Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.5 Die Benutzung des Java-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6 Ergänzung: Datenabstraktion in Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7 Einige abschließende Bemerkungen 231 v
1 Einige mathematische Grundbegriffe Informatik stützt sich wie jede moderne Ingenieur- und Naturwissenschaft auf mathematische Notationen und Schlußweisen. Dies gilt insbesondere für die theoretische Informatik. Im folgenden stellen wir die grundlegendsten Begriffe der Mathematik vor, die wir immer wieder benutzen werden. Speziellere Begriffe werden später an den Stellen eingeführt, an denen sie erstmals benötigt werden. 1.1 Relationen und Funktionen Im folgenden setzen wir den in den mathematischen Anfängervorlesungen benutzten naiven Mengenbegriff voraus. Eine Menge ist also eine Zusammenfassung von wohlunterscheidbaren Objekten (Dingen), den Elementen. Weiterhin verwenden wir die folgende Symbolik (wobei ” :⇐⇒“ heißt ” ist wahrheitsäquivalent definiert mittels“): x ∈ M :⇐⇒ x ist ein Element der Menge M x �∈ M :⇐⇒ x ist kein Element der Menge M Die Angabe einer Menge kann in mehreren Arten erfolgen. Wir benötigen am Anfang zwei Darstellungen: a) Explizite Darstellung: Hier zählt man die Elemente auf und klammert sie mit den Mengenklammern ” {“ und ” }“. Dabei können bei unendlichen Mengen auch die berühmten drei Punkte ” . . .“ verwendet werden, wenn das Bildungsgesetz klar erkennbar ist. b) Deskriptive Darstellung: Ist P eine Eigenschaft (ein Prädikat oder eine Formel), so bezeichnen wir die Menge aller Objekte, für die P gilt, mit { x : P(x) }. Beim Hinschreiben von Prädikaten und Formeln verwenden wir dabei die ” üblichen“ logischen Symbole, genannt Quantoren (erste Spalte) bzw. Junktoren (restliche Spalten) mit den folgenden sprachlichen Bedeutungen und kürzen {x : x ∈ M ∧ P(x)} zur besser lesbaren Form {x ∈ M : P(x)} ab. ∀ für alle ∧ und (Konjunktion) → impliziert ¬ nicht ∃ es existiert ∨ oder (Disjunktion) ↔ äquivalent Wir gehen dabei aber nicht nach einer strengen Syntax wie in der mathematischen Logik vor, sondern lassen oft auch umgangssprachliche Redewendungen zur Vereinfachung und zum besseren Verständnis zu. Die Bedeutung des Allquantors ∀, des Existenzquantors ∃, des Konjunktionssymbols ∧ und des Negationssymbols ¬ ergibt sich direkt aus den wörtlichen Umschreibungen. Bei dem Disjunktionssymbol ∨ gilt A ∨ B genau dann, wenn mindestens eine 1
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Seite 3 und 4: und top-down-orientierten Standpunk
Seite 5: Inhaltsverzeichnis 1 Einige mathema
Seite 9 und 10: 1.1.2 Definition (Grundoperationen
Seite 11 und 12: d) Das Produkt (oder die Kompositio
Seite 13 und 14: Als ein zweites Beispiel befassen w
Seite 15 und 16: c) Eine Folge (mi)i∈N heißt eine
Seite 17 und 18: Im Falle der Ordnung (N, ≤) ist 0
Seite 19 und 20: (1) Die Potenzfunktion pow : N × N
Seite 21 und 22: wir mit einem Beispiel zur vollstä
Seite 23 und 24: Induktionsbeginn: Wir haben die Beh
Seite 25 und 26: ietet sich an, statt (1) die folgen
Seite 27 und 28: Aus diesem Satz (bei dem A ∗ als
Seite 29 und 30: • Man notiert Zeichenreihen in de
Seite 31 und 32: 2.1.7 Satz (Lexikographische Ordnun
Seite 33 und 34: Sind die beiden Punkte a) und b) er
Seite 35 und 36: wobei die letzten drei Schritte nur
Seite 37 und 38: ) Nun betrachten wir Zeichenreihen
Seite 39 und 40: 2.3.5 Beispiele (für Termdarstellu
Seite 41 und 42: a) Für alle Konstantensymbole c
Seite 43 und 44: Im Gegensatz zu einer Belegung ordn
Seite 45 und 46: Indexbereich leer ist. Die reflexiv
Seite 47 und 48: Neben den bisherigen Systemen mit R
Seite 49 und 50: c) Bei einem terminierenden Algorit
Seite 51 und 52: die Eingabe, nur eine endliche Anza
Seite 53 und 54: Gestalten (1) l → r (2) l →•
Seite 55 und 56: Im Gegensatz zum ersten Verfahren i
Seite 57 und 58:
3 Grundkonzepte funktionaler Progra
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Mit Hilfe der eben bewiesenen vier
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Das erste Beispiel 3.1.1, der Test,
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3.2.2 Datenstruktur der Wahrheitswe
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die Operationfloor, durch die der N
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Syntaktisch deklariert man eine Rec
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die Fakultät von n und terminiert
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zu beginnen, so kommt in ihrem Rump
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Im Induktionsschluß n �= 0 wird
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3.4.1 Erklärung: Expandieren und K
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Wir betrachten den Aufruf F(1,0) un
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Nun hat man bei 2 k als zweitem Arg
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) Es gilt die Fixpunkt-Eigenschaft
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Resultat impliziert. Daher rührt d
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geführt. Nachfolgend berechnen wir
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Den Induktionsbeginn n = 0 zeigt ma
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Beweis: Gegeben sei ein k-Tupel 〈
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a) Der Aufruf F(e1, . . .,ek) termi
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Es sei nun n ∈ Z mit n > 0 (Vorbe
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3.5 Die Benutzung des SML97-Systems
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auszuwerten. Es ist aber auch mögl
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nach der Definition von sub, und di
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Infix-Operation von N × N nach B u
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die Vorkommen eines Zeichens in ein
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4 Vertiefung der funktionalen Progr
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einem sogenannten Diskriminator ver
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x und y von Vektoren bestimmt. In M
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4.2.1 Beispiele (für rekursive Dat
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a b c 〈a,〈b,〈c,〈d, e〉〉
Seite 115 und 116:
Wir iterieren nun, beginnend mit de
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Insbesondere hat man für k = 0 die
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jedoch die sogenannten Funktionsabs
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Als nächste Verwendung funktionale
Seite 123 und 124:
In der Literatur wird (β) die β-K
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Ein weiteres Beispiel, bei der die
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4.4.2 Beispiel (für eine parametri
Seite 129 und 130:
Durch sie ist es möglich, das Enth
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ekommt 120 zugeordnet. In der dritt
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der obigen Form (A) mit k > 1 Dekla
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von Beispiel 4.5.4, bei dem jedes V
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Diese Rechenvorschrift ist jedoch s
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erhalten wir die folgende ML-Rechen
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Konstruktoren, etwa rekursiven Date
Seite 143 und 144:
Nun setzen wir eine polymorphe reku
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4.6.4 Beispiel (für die Realisieru
Seite 147 und 148:
daß sie von oben nach unten immer
Seite 149 und 150:
ei dem Zeichen si als beginnend ang
Seite 151 und 152:
Das zweite Resultat dieser Rechenvo
Seite 153 und 154:
da die Liste 〈2〉 für n = 1 all
Seite 155 und 156:
In Definition 2.3.15 hatten wir die
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4.7.6 ML-Implementierungen des Erre
Seite 159 und 160:
Dabei realisiert arcinsert das Einf
Seite 161 und 162:
werden, die tatsächlichen Realisie
Seite 163 und 164:
5.2.2 Beispiel (für einen abstrakt
Seite 165 und 166:
Bei einer Verwendung der Struktur N
Seite 167 und 168:
mit zwei Signaturen A1 und A2 und e
Seite 169 und 170:
Der Zugriff auf eine Komponente der
Seite 171 und 172:
Kann die Ausführung einer in der K
Seite 173 und 174:
c) Modifikation: Es sei x nochmals
Seite 175 und 176:
5.4.4 Realisierung von Klassen und
Seite 177 und 178:
die Konstruktion eines ” Studiere
Seite 179 und 180:
und delete geschieht (vergl. Geheim
Seite 181 und 182:
Der zweite Schritt bei der Integrat
Seite 183 und 184:
Die Struktur des Rumpfes von MkGrap
Seite 185 und 186:
5.5.6 Beispiel (Erreichbarkeit) Zur
Seite 187 und 188:
Beim Test auf Enthaltensein ist der
Seite 189 und 190:
Weiterhin betrachten wir die nachst
Seite 191 und 192:
6 Grundkonzepte imperativer Program
Seite 193 und 194:
einer Ausgabe-Anweisung in der Synt
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vorgestellt. Seit dieser Zeit biete
Seite 197 und 198:
6.1.5 Beispiel (Weiterführung der
Seite 199 und 200:
verwendet werden kann, ohne daß vo
Seite 201 und 202:
Für reelle Zahlen gibt es zwei Jav
Seite 203 und 204:
Zeichenreihen "Die Fakultaet der Za
Seite 205 und 206:
entsprechenden Pfeil. Gleiches gilt
Seite 207 und 208:
zugeordnete Speicherzelle zu dem si
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Besteht s aus einer Anweisung, die
Seite 211 und 212:
Wir können also von der obigen Zuw
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zur folgenden Darstellung von H, wo
Seite 215 und 216:
Bei der axiomatischen Semantik hat
Seite 217 und 218:
Zum Beweis von (∗) führen wir ei
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von ξ, so gilt dies auch für ϕ a
Seite 221 und 222:
wird und alle vorkommenden Anwendun
Seite 223 und 224:
ϕ : Vorbedingung (was sind die Vor
Seite 225 und 226:
erweiterten Signatur zur Berechnung
Seite 227 und 228:
public static void main (String[] a
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6.5.1 Allgemeines Um die derzeit ak
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6.6 Ergänzung: Datenabstraktion in
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6.6.3 Beispiel (Generische Implemen
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Integer einzuengen, wird die gleich
Seite 237 und 238:
7 Einige abschließende Bemerkungen
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