Informatik I - Institut für Informatik - Christian-Albrechts-Universität zu ...

gilt und gerade und ungerade Zahlen nicht vergleichbar sind. Dies führt zu einer noetherschen
Ordnung, wir nennen sie �, um Verwechslungen mit der üblichen Ordnung ≤ auszuschließen,
mit den beiden minimalen Elementen 0 und 1. Es ist eine einfache Übungsaufgabe,
die Ordnung � als Teilmenge von N × N formal zu beschreiben.
Wir wollen nun die gewünschte Implikation zeigen, indem wir N auf diese (etwas ungewöhnliche)
Art noethersch anordnen.
Induktionsbeginn: Wir haben die Behauptung für die minimalen Elemente bezüglich �
zu zeigen, also für 0 und 1. Dies haben wir aber im letzten Beispiel schon erleding.
Induktionsschluß: Nun sei n ∈ N nicht minimal, also ungleich 0 und 1. Außerdem gelte
die Behauptung für alle echt kleineren Zahlen bezüglich der oben eingeführten noetherschen
Ordnung �. Dann haben wir:
even(n) = tt ⇐⇒ even(n − 2) = tt =⇒ even(n − 2 + 1) = ff ⇐⇒ even(n + 1) = ff
Dabei benutzen wir im ersten Schritt die Definition von even und n �= 0, 1 im zweiten
Schritt die Induktionshypothese (da n − 2 ≺ n) und im dritten Schritt wiederum die
Definition von even und n �= 0, 1. �
Bei allen bisherigen Beispielen arbeiteten wir direkt mit dem gegebenen Prädikat. Es gibt
aber Situationen, wo man zum Induktionsbeweis einer Aussage mit dieser als Induktionsprädikat
nicht direkt zum Ziel kommt. Dann hilft es oft, die Aussage zu verallgemeinern
(zu generalisieren) oder Hilfsaussagen einzuführen. Wir wollen den ersten Fall an einem
Beispiel demonstrieren.
1.3.4 Beispiel (für Induktion mit Generalisieren)
Wir betrachten die Funktion f : N3 −→ N, die wie folgt beschrieben ist:
�
m : n = 0
f(x, n, m) =
f(x, n − 1, m ∗ x) : n �= 0
Unsere Aufgabe ist, für alle x, n ∈ N die folgende Gleichung zu zeigen:
f(x, n, 1) = x n
Versucht man dies direkt durch vollständige Induktion nach n, so schafft man zwar den
Induktionsbeginn mit f(x, 0, 1) = 1 = x 0 . Beim Induktionsschluß ergeben sich hingegen
Schwierigkeiten, weil nach den Schritten f(x, n + 1, 1) = f(x, n + 1 − 1, 1 ∗ x) = f(x, n, x)
wegen dem dritten Argument x in f(x, n, x) die Induktionshypothese nicht anwendbar ist.
Diese verlangt nämlich die spezielle Zahl 1 als drittes Argument.
Es ist an dieser Stelle sinnvoll, sich klar zu machen, was die Funktion f eigentlich berechnet.
Wegen der (nicht formalen) Rechnung
f(x, n, m) = f(x, n − 1, m ∗ x) = . . . = f(x, n − n, m ∗ x n ) = m ∗ x n
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