FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

1.2. KONJUGATION UND ABSOLUTBETRAG 5
Übung 1.4. Sei R[t] der Ring der Polynome mit reellen Koeffizienten in
einer Variablen t und 〈1+t 2 〉 die Teilmenge aller Polynome p ∈ R[t] die sich
in der Form p(t) = (1 + t 2 )q(t) für ein Polynom q ∈ R[t] schreiben lassen.
Dies ist ein Ideal: jedes Produkt eines Elements von 〈1 + t 2 〉 mit einem
beliebigen Polynom ist wieder ein Element von 〈1+t 2 〉. Zeigen Sie, dass der
Quotient R[t]/〈1+t 2 〉 zum Körper der komplexen Zahlen isomorph ist.
1.2 Konjugation und Absolutbetrag
Sei z = x+iy eine komplexe Zahl mit x,y ∈ R. Wir bezeichnen den Realund
Imaginärteil von z mit
Rez := x, Imz := y.
Die komplex Konjugierte von z ergibt sich durch Umkehrung des Vorzeichens
des Imaginärteils und wird mit
¯z := x−iy
bezeichnet. Eine komplexe Zahl z ist also genau dann reell wenn z = ¯z ist
und genau dann rein imaginär wenn z + ¯z = 0 ist. Mit anderen Worten die
Abbildung C → C : z ↦→ ¯z ist eine Involution (das heisst, führt man sie zwei
Mal hintereinanderaussoerhältmandieIdentität) undihreFixpunktmenge
ist die reelle Achse. Die komplexe Konjugation erfüllt folgende Rechenregeln
die sich durch einfaches Nachrechnen beweisen lassen.
Lemma 1.5. Für alle z,w ∈ C gilt
und
Rez :=
z + ¯z
2
z − ¯z
, Imz := , ¯z = z (1.6)
2i
z +w = ¯z + ¯w, zw = ¯z¯w. (1.7)
Die gleichen Rechenregeln gelten natürlich für Differenz und Quotient.
Ebenso folgt aus Lemma 1.5 durch vollständige Induktion, dass
a0z n +a1z n−1 +···+an−1z +an = ā0¯z n +a1¯z n−1 +···+ān−1¯z +ān
füralle a0,a1,...,an,z ∈ C. Insbesondereist die Menge der Nullstellen eines
Polynoms mit reellen Koeffizienten invariant unter komplexer Konjugation.
Der Betrag einer komplexen Zahl z = x+iy mit x,y ∈ R ist definiert
als die Euklidische Norm des Vektors (x,y) ∈ R 2 . Er wird mit
bezeichnet.
|z| := � x 2 +y 2