FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

3.1. KURVENINTEGRALE 43
Lemma 3.6. Seien f und γ wie in Definition 3.5. Ist φ : [α,β] → [a,b] eine
C 1 -Abbildung mit
φ(α) = a, φ(β) = b
so gilt �
f(z)dz =
γ◦φ
�
γ
f(z)dz.
Beweis. Definiere h : [a,b] → C und H : [a,b] → C durch
� t
h(t) := f(γ(t))˙γ(t), H(t) := h(s)ds
für a ≤ t ≤ b. Dann ist H stetig differenzierbar und dH/dt = h, nach dem
Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung [6]. Daraus folgt
�
γ
f(z)dz =
� b
h(t)dt
a
= H(b)−H(a)
= H(φ(β))−H(φ(α))
� β d
=
α ds H(φ(s))ds
� β
= h(φ(s)) ˙ φ(s)ds
=
=
=
Damit ist das Lemma bewiesen.
α
� β
f(γ(φ(s)))˙γ(φ(s)) ˙ φ(s)ds
α
� β
�
α
γ◦φ
f(γ ◦φ(s)) d
(γ ◦φ)(s)ds
ds
f(z)dz.
Übung 3.7. Seien f und γ wie in Definition 3.5. Ist φ : [α,β] → [a,b] eine
C 1 -Abbildung mit
φ(α) = b, φ(β) = a
so gilt �
�
f(z)dz = −
γ◦φ
γ
a
f(z)dz.