FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

1.4. DIE RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL 13
1.4 Die Riemannsche Zahlenkugel
Die Topologie der komplexen Ebene
Wir beginnen mit einigen Erinnerungen aus der Analysis-Vorlesung [6]. Die
Standardmetrik auf der komplexen Ebene ist durch die Formel
d(z,w) := |z −w|
für z,w ∈ C gegeben. (Siehe Anhang B für den Begriff eines metrischen
Raumes.) Die offenen Bälle in dieser Metrik bezeichnen wir mit
Br(z0) := {z ∈ C| |z −z0| < r}
für z0 ∈ C und r > 0. Eine Teilmenge Ω ⊂ C heisst offen wenn es für jeden
Punkt z0 ∈ Ω ein ε > 0 gibt so dass Bε(z0) ⊂ Ω. In etwas anschaulicher
Sprechweise heisstdies, dass dieRandpunkte von Ω nicht selbstzu Ω gehören
(siehe Abbildung 1.4).
z 0
Ω B (z )
Abbildung 1.4: Offene Mengen
Die Gesamtheit der offenen Teilmengen von C bildet eine Topologie. Das
heisst die Mengen Ω = ∅ und Ω = C sind offen, jeder endliche Durchschnitt
offener Mengen ist wieder offen, und jede beliebige (auch unendliche) Vereinigung
offener Mengen ist wieder offen. Eine Teilmenge A ⊂ C heisst abgeschlossen
wenn ihr Komplement C\A offen ist oder, äquivalenterweise,
wenn der Grenzwert einer jeden konvergenten Folge in A auch selbst wieder
in A liegt (siehe Anhang B.1). Eine Teilmenge K ⊂ C heisst kompakt wenn
jede Folge in K eine Teilfolge besitzt, die gegen ein Element von K konvergiert.
Nach Satz C.1 im Anhang C ist dies äquivalent zu der Bedingung,
dass jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Nach Heine–Borel ist eine Teilmenge K ⊂ C genau dann kompakt wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere ist also der gesamte Raum
C nicht kompakt.
ε
0