FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

1.2. KONJUGATION UND ABSOLUTBETRAG 7
DieDreiecksungleichung zeigt, dassdiekomplexen Zahleneinen normierten
Vektorraum bilden. Dies ist natürlich aus der Analysis-Vorlesung [6] bekannt,
da es sich ja um die Euklidische Norm auf dem R 2 handelt. Insbesondere
bilden also die komplexen Zahlen einen metrischen Raum, so dass alle
topologischen Begriffe wie offene, abgeschlossene, und kompakte Teilmengen
des Raumes der komplexen Zahlen einen Sinn ergeben. Zudem rührt
die Euklidische Norm von einem inneren Produkt auf C her, das durch die
Formel
〈z,w〉 := Re(¯zw) = xu+yv
für z = x+iy und w = u +iv mit x,y,u,v ∈ R gegeben ist. Die Existenz
eines solchen inneren Produktes ist äquivalent zur Parallelogrammidentität.
Bemerkung 1.8. Eine normierte Algebra ist ein Hilbertraum V mit einer
bilineareAbbildungV ×V → V : (u,v) ↦→ uv so dass|uv| = |u||v| ist füralle
u,v ∈ V. Eine solche Struktur existiert nur in den Dimensionen 0, 1 (reelle
Zahlen), 2 (komplexe Zahlen), 4 (Quaternionen), und 8 (Oktonionen).
Lemma 1.9 (Cauchy–Schwarz). Für alle a1,...,an,b1,...,bn ∈ C gilt
� �
� n� �2
�
n�
� �
� aibi�
≤ |ai|
� �
2
�⎛ n�
⎝ |bj| 2
⎞
⎠
i=1
i=1
j=1
Beweis. Wir definieren die Zahlen A,B ∈ R und z ∈ C durch
A :=
n�
|ai| 2 , B :=
i=1
n�
|bj| 2 , z :=
j=1
und nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an dass B �= 0 ist. Dann
gilt für jedes λ ∈ C, dass
0 ≤
=
n� �
�ai −λ¯ �
bi
i=1
n�
i=1
� 2
�
ai −λ¯ ��
bi āi − ¯ �
λbi
= A+|λ| 2 B −2Re( ¯ λz).
Hier haben wir Lemma 1.5 und Lemma 1.6 verwendet. Mit λ := z/B ergibt
sich 0 ≤ A−|z| 2 /B und daraus folgt sofort die Behauptung.
n�
i=1
aibi