FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

1.4. DIE RIEMANNSCHE ZAHLENKUGEL 17
Übung 1.24. Wir bezeichnen die offene Einheitskreisscheibe und die offene
obere Halbebene mit
D := {z ∈ C| |z| < 1}, H := {ζ ∈ C|Imζ > 0}. (1.31)
Sei f : C → C die Möbiustransformation
f(z) := i 1+z
1−z .
Zeigen Sie, dass f die Einheitskreisscheibe bijektiv auf die obere Halbebene
abbildet. Finden Sie eine Formel für die Umkehrabbildung f −1 : H → D.
Bestimmen Sie die Bildmenge f −1 (R).
Übung 1.25. Jede Möbiustransformation bildet die reelle Achse auf eine
Gerade oder einen Kreis ab. Hinweis: Seien a,b,c,d ∈ C so gewählt dass
φ −1 (w) = aw+b
cw +d .
Die Menge φ(R) ist eine Gerade falls a¯c = āc. Andernfalls ist φ(R ∪{∞})
der Kreis �
���
w − ād−¯cb
�
�
�
āc−¯ca � =
� �
�
�
ad−bc�
�
�āc−¯ca
� .
Übung 1.26 (Doppelverhältnis). Seien z0,z1,z2 ∈ C drei verschiedene
Punkte auf der Riemannschen Zahlenkugel. Dann gibt es genau eine Möbiustransformation
φ : C → C so dass
φ(z0) = 0, φ(z1) = 1, φ(z2) = ∞.
Für z3 ∈ C nennen wir die Zahl φ(z3) ∈ C das Doppelverhältnis der vier
Punkte z0,z1,z2,z3. Es ist durch die Formel
w(z0,z1,z2,z3) = (z1 −z2)(z3 −z0)
(z0 −z1)(z2 −z3)
(1.32)
gegeben. Dieser Ausdruck ist wohldefiniert solange unter den zi nicht drei
gleiche Punkte sind.
Übung 1.27. Ist ψ : C → C eine Möbiustransformation so gilt
w(ψ(z0),ψ(z1),ψ(z2),ψ(z3)) = w(z0,z1,z2,z3)
für alle z0,z1,z2,z3 ∈ C von denen jeweils höchstens zwei übereinstimmen.