FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

1.3. POLARKOORDINATEN 11
Der Logarithmus
Es folgt aus den genannten Eigenschaften der Exponentialfunktion, dass die
Abbildung
exp : Ω := {w ∈ C| −π < Imw < π} → C\(−∞,0]
bijektivist.DieUmkehrabbildungwirdoftHauptzweig des Logarithmus
genannt und mit log : C\(−∞,0] → C bezeichnet. Sie ist durch
gegeben und es gilt
log(z) = log|z|+iarg(z) (1.23)
log(z1z2) = log(z1)+log(z2)±2πi,
arg(z1z2) = arg(z1)+arg(z2)±2π
(1.24)
für z1,z2 ∈ C so dass keine der drei Zahlen z1, z2 und z1z2 auf der negativen
reellen Achse liegt. Hieraus ergibt sich eine besonders anschauliche geometrische
Darstellung des Produkts in der komplexen Zahlenebene. Sind zwei
komplexe Zahlen z1,z2 in Polarkoordinaten gegeben, das heisst
z1 = r1e iθ1 , z2 = r2e iθ2 ,
so erhält man die Polarkoordinatendarstellung des Produkts z1z2 = re iθ
indem man die Beträge multipliziert und die Argumente addiert, das heisst
(Siehe Abbildung 1.2.)
z z
1
r = r1r2, θ = θ1 +θ2.
z 2
2 θ1+
θ2 i
z +z
Abbildung 1.2: Summe und Produkt geometrisch
Übung 1.17. Zeigen Sie, dass der (Hauptzweig des) Logarithmus folgende
Gleichung erfüllt (siehe Gleichung (1.19)):
1
z
1
1
2
log(z)
lim = 1. (1.25)
z→1 z