FUNKTIONENTHEORIE - D-MATH - ETH Zürich

2.2. BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN 27
Nach Satz 2.15 (iii) ist die Funktion
f := p
q
: Ω → C
holomorph. Jede solche Funktion heisst rational. Insbesondere ist jede Möbiustransformation
holomorph (siehe auch Beispiel 2.5).
Beispiel 2.19. Es folgt aus Beispiel 2.6 dass die Exponentialabbildung auf
ganz C holomorph ist.
Beispiel 2.20. Die Funktionen Cosinus und Sinus lassen sich auf die
gesamte komplexe Ebene erweitern und sind dort durch
cos(z) := eiz +e −iz
2
, sin(z) := eiz −e −iz
definiert (siehe Gleichung (1.22) für z = θ ∈ R). Nach Satz 2.15 sind diese
Funktionen holomorph und erfüllen die Gleichungen
sin ′ = cos, cos ′ = −sin, cos 2 +sin 2 = 1.
Beispiel 2.21. Der hyperbolische Cosinus und der hyperbolische Sinus
sind die durch
cosh(z) := ez +e −z
2
2i
, sinh(z) := ez −e −z
definierten Funktionen auf der komplexen Ebene. Sie sind holomorph und
erfüllen die Gleichungen
sinh ′ = cosh, cosh ′ = sinh, cosh 2 −sinh 2 = 1.
2.2 Biholomorphe Abbildungen
Seien Ω,Ω ′ ⊂ C zwei offene Mengen. Eine bijektive Abbildung f : Ω → Ω ′
heisst biholomorph oder holomorpher Diffeomorphismus wenn f und
f −1 holomorph sind. Nach Satz 2.15 (iv) mit g = f −1 : Ω ′ → Ω ist die
Ableitung einer biholomorphen Abbildung überall ungleich Null und die
Ableitung der Umkehrabbildung ist durch die Formel
(f −1 ) ′ (w) =
1
f ′ (f −1 (w))
2
(2.11)
für w ∈ Ω ′ gegeben. Eine biholomorphe Abbildung von Ω auf sich selbst
nennen wir auch einen (holomorphen) Automorphismus von Ω.