Kommentiertes Vorlesungsverzeichnis WS 2010/2011

Abteilung für
Reine Mathematik
WS 2010/11
Vorlesung:
Dozentin:
Zeit/Ort:
Übungen:
Tutorium:
Web-Seite:
Arithmetische Geometrie
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter
Mo, Mi 10–12 Uhr, HS II, Albertstr. 23 b
2std. n.V.
Dr. Matthias Wendt
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithmetischegeometrie/lehre/ws10/arithmie.html
Inhalt:
Arithmetische Geometrie ist Zahlentheorie mit den Mitteln der algebraischen Geometrie.
Der Grundkörper ist also nicht mehr algebraisch abgeschlossen, sondern Q, F p oder gar Z
(also ein Ring). Fragen nach der Lösbarkeit von Gleichungen werden zu Fragen nach der
Existenz von Punkten auf Varietäten.
In dieser zweisemestrigen Vorlesung soll es um die Weil-Vermutungen für Varietäten über
endlichen Körpern gehen. Wir betrachten ein System von Polynomgleichungen über F p . Es
hat über jedem endlichen Körper F p r eine endliche Zahl N r von Lösungen. Diese kodiert
man in die Funktion
Z(t) = exp
( ∞
∑
r=1
N r
t r
r
Erstaunlicherweise ist dies eine rationale Funktion, also ein Element von Q(t)! Sie erfüllt
eine Funktionalgleichung und man kann Aussagen über die Nullstellen und Pole machen.
Als Hilfsmittel benötigen wir Kohomologie von etalen Garben, die uns die meiste Zeit
beschäftigen wird. Irgendwann werden wir auch um den Begriff des Schemas nicht herumkommen.
Literatur:
1.) R. Hartshorne, Algebraic Geometry, GTM 52, Springer Verlag.
2.) E. Freitag, R. Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjecture, Springer Verlag.
3.) P. Deligne, La conjecture de Weil. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 43 (1974),
273–307.
)
Typisches Semester:
ab dem 4. Semester
ECTS-Punkte: 9
Studienschwerpunkt:
Algebraische Geometrie oder Zahlentheorie
Notwendige Vorkenntnisse: Einf. in die alg. Geometrie, Algebra
Folgeveranstaltungen:
Arithmetische Geometrie II, Bachelor-Seminar
Studienleistung:
Übungen
Prüfungsleistung:
mündliche Prüfung
Sprechstunde Dozentin: Mi 11–12 Uhr, Raum 434, Eckerstr. 1
Sprechstunde Assistent: Mi 11–12 Uhr, Raum 436, Eckerstr. 1
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