Mathematik/Physik (Schwerpunktfach) - Gymnasium St. Antonius ...

Gymnasium St. Antonius
Appenzell
MATURA 2011
SPF PHYSIK / ANWENDUNGEN MATHEMATIK
Lehrpersonen: H.Sprenger / R.Scholz
BEACHTE:
- saubere und übersichtliche Darstellung
- neue Aufgabe auf neues Blatt (keine Durchmischung)
- Lösungsweg muss klar ersichtlich sein
- CAS kann zur Probe, aber nicht als alternativloser
Lösungsweg verwendet werden.
BEWERTUNG:
- für jede Kurzaufgabe werden 3 Punkte angesetzt
- Aufgaben B und E zu je 9 Punkten
- Aufgaben C und D zu je 10 Punkten
- insgesamt sind also maximal 56 Punkte zu erreichen
- ab 50 Punkten gibt es die Note 6
A Kurzaufgaben
1
In einer Verpackungsmaschine rollen zylindrische Dosen eine geneigte, gerade
Laufbahn hinunter. die Bahn hat eine Länge l = 0.560 m; sie hat gegen die Horizontale
den Neigungswinkel β = 18.0°. Die Dosen haben den Radius r = 4.20 cm und können
in guter Näherung als homogene Zylinder betrachtet werden. Setze bei folgenden
Betrachtungen voraus, dass die Dosenmittelpunkte längs der geneigten Bahn eine
gleichmässig beschleunigte Bewegung durchführen und dass die zwischen den Dosen
und der Bahn wirkende Rollreibung vernachlässigbar klein ist.
Berechne die Winkelbeschleunigung α, welche die Dosen bei ihrer Rotation um ihre
Symmetrieachse erfahren.
2
Mit Hilfe eines Doppelspaltes soll die Wellenlänge des Lichtes bestimmt werden,
welches ein monochromatisches Grünfilter verlässt. Zunächst verwendet man das
monochromatische Laserlicht mit der Wellenlänge λ Laser = 6.33 ⋅ 10 -7 m. Auf einem
hinter dem Doppelspalt angebrachten Schirm beobachtet man, dass das dritte
Beugungsmaximum den Abstand d 3,Laser = 6.0 mm von der Symmetrieachse der
Beugungsfigur hat. Anschliessend wird der Laser durch eine Lampe mit
Beleuchtungsspalt und Grünfilter ersetzt. Auch bei dieser Anordnung trifft das Licht
praktisch als Parallelbündel auf den Doppelspalt. Der Abstand Doppelspalt - Schirm
bleibt unverändert. Beobachtet wird jetzt d 3,grün = 5.2 mm.
Ermittle aus den Versuchsdaten die Wellenlänge λ grün des Grünfilterlichts. Welchen
Abstand a haben die beiden Spalte des Doppelspaltes zueinander, wenn der Schirm
in der Entfernung b = 3.24 m vom Doppelspalt aufgestellt wurde?
3
Das Ausmessen einer Zenerdiode hat folgende Messwerte ergeben:
U z [V] 3 4 5 5.2 5.3 5.5 5.8
I z [mA] 0 0 10 20 40 80 200
Die oben ausgemessene Zenerdiode wird mit einem Widerstand der Grösse R=100 Ω
in Reihe geschaltet und an eine Spannung U = 12 V angeschlossen.
Bestimme grafisch aus der zu erstellenden Kennlinie den Arbeitspunkt A sowie den
differentiellen Innenwiderstand r z der durchgeschalteten Diode.
Hinweis zum Massstab: 1 V 1 cm und 20 mA 1 cm

4
Finde alle Lösungen von
3
z= − 2+ 2i in C - ohne CAS - und stelle sie grafisch dar.
5
Gegeben ist ein Kreis mit x² + y² = r² sowie ein Punkt R mit den Koordinaten x R =c ≠ 0
und x R =0 . A sei ein beliebiger Punkt des gegebenen Kreises und A’ sein
Spiegelpunkt bezüglich der x-Achse. Die Ursprungsgerade durch A’ schneidet eine
weitere Gerade, die durch die Punkte A und R verläuft, im Punkt P(x y ). Der Punkt P
durchwandert einen Kegelschnitt, falls A den gegebenen Kreis durchläuft.
Stelle die allgemeine Gleichung dieses Kegelschnittes auf und bestimme
anschliessend den Wert für c, bei dem der Kegelschnitt eine Parabel wird. Fertige für
den Fall der Parabel eine Zeichnung mit r = 4 LE an.
Kontrollergebnis: (c² - 4r²) x² + c²y² + 4r²cx – r²c² = 0
6
Löse das folgende bestimmte Integral auf zweierlei Art und Weise - ohne CAS:
2
x+
1
∫
2 dx
−1
3−
x
( )
B Wechselstromlehre
Ein Plattenkondensator hat quadratische Platten der Seitenlänge a = 20 cm und den
Plattenabstand d = 2.0 mm. Der Plattenkondensator ist mit einem ohmschen
Widerstand R = 1MΩ in Serie geschaltet. An die Schaltung wird die Wechselspannung
eines Sinusgenerators mit veränderbarer Frequenz angelegt. Die Effektivspannung ist
U = 15.0 V. Die Frequenz soll so eingestellt werden, dass die Effektivspannung U C am
Kondensator gleich der Effektivspannung U R am ohmschen Widerstand ist.
(ε 0 = 8.85 ⋅ 10 -12 A s V -1 m -1 )
a) Berechne die Frequenz f für die oben genannte Bedingung. (Ersatzwert für die
Kapazität des Kondensators c = 2.0 ⋅ 10 -10 F)
b) Wie gross ist die Effektivstromstärke I im Stromkreis? (Ersatzwert für die
Frequenz aus Aufgabe a): f = 900 Hz)
c) Wie gross sind die Effektivspannungen U C und U R ?
d) Ein Mikroamperemeter mit dem Messbereich 100 µA hat für Wechselstrom
einen Innenwiderstand in der Grössenordnung von 10 kΩ. Kann man die unter
b) berechnete Stromstärke mit diesem Messinstrument messen?
e) Ein stromdurchflossenes Voltmeter mit dem Messbereich 30 V hat für
Wechselspannung den Innenwiderstand R i = 30 kΩ. Können die unter c)
berechneten Spannungen mit diesem Voltmeter gemessen werden?
MATURA 2011 SPF PAM GYMNASIUM ST.ANTONIUS Seite 2/4
Appenzell, 09.06.2011

C Relativitätstheorie
Ein Raumschiff fliegt mit der Geschwindigkeit v = 0.5c in der Blickrichtung des
Erdbeobachters A von der Erde weg. Der Raumschiffpassagier B hat seine Kabine mit
blauem Licht der Wellenlänge λ' = 4.2 ⋅ 10 -7 m beleuchtet. In welcher Farbe sieht der
Erdbeobachter A dieses Licht, d.h. welche Wellenlänge λ misst er für das bei ihm
eintreffende Licht?
Gehe bei der Lösung dieser Aufgabe in den folgenden Schritten a) bis f) vor, indem du
zunächst in den Schritten a) bis d) die Lösungen formal, also ohne die gegebenen
Werte einzusetzen, angibst.
a) Betrachte die Lichtwellenzüge der Kabinenbeleuchtung praktisch als unendlich
lange Wellenzüge. Jeder Wellenzugabschnitt mit der Länge einer Wellenlänge
wird als eine "volle Welle" bezeichnet. B stellt für die Aussendung einer vollen
Welle die Zeit ∆t' fest. Gib den Term an für die Zeit ∆t, die A für die Aussendung
einer vollen Welle feststellt.
b) Während der Aussendung einer vollen Welle entfernt sich das Raumschiff vom
Beobachter A. Das Ende der vollen Welle wird daher an einem entfernteren Ort
ausgesandt als der Anfang der vollen Welle. Stelle den Term auf für die Zeit
∆t Licht , die das Licht zum Durchlaufen dieser zusätzlichen Strecke benötigt.
c) Stelle den Term auf für die Gesamtzeit ∆t ges , in welcher eine volle Welle an A
vorüberläuft.
d) Der Teil c) dieser Aufgabe liefert den Zusammenhang zwischen den Zeiten
∆t ges und ∆t'. Ermittle mit Hilfe dieses Zusammenhangs den entsprechenden
Zusammenhang zwischen den Wellenlängen λ und λ'.
e) Setzte jetzt die am Anfang der Aufgabe gegebenen Werte ein und berechne die
Wellenlänge λ. Welche Farbe hat dieses Licht?
f) Zeige: Der unter d) gewonnene Zusammenhang zwischen λ und λ' lässt sich in
c+
v
die folgende Form bringen: λ = λ'
⋅
c− v
.
(Diese Formel beschreibt den im Aufgabentext formulierten Sachverhalt. Dieser
Sachverhalt heisst "longitudinaler Doppler-Effekt")
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D Darstellende und analytische Geometrie
Gegeben sind die zwei Geraden p und q im Vektorraum IR³.
Zunächst werden sie in der nebenstehenden Abbildung in
ihrem Grund- und Aufriss dargestellt. Hierbei liegen die beiden
Punkte A(12.53.5) und B(1.5 2.5 1) auf der Geraden q.
SEITENRISS
AUFRISS
GRUNDRISS
a) Zeige durch entsprechende Seitenriss-Konstruktion, dass p
und q zueinander windschief verlaufen.
Begründe anschliessend diesen Sachverhalt.
⎛3⎞ ⎛ 1 ⎞
b) Nun sei die Gerade p durch die Parametergleichung x =
⎜
1
⎟
r
⎜
3
⎟
+ − ;r∈
beschreibbar.
⎜2⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Weise mit Hilfe der Analytischen Geometrie nach, dass es sich bei p und
q um windschiefe Geraden handelt.
c) Zwischen den oben eindeutig beschriebenen Geraden p und q wird eine
Kugel K platziert, so dass sie minimale Ausmasse annimmt und die
Geraden tangential zu ihr verlaufen. Stelle eine passende Gleichung für K auf.
E Matrizenrechnung
Ein grosses Küchenstudio bietet Küchen in vier Versionen an: V 1 , V 2 , V 3 und V 4 . Die
vier Versionen werden unabhängig von den erforderlichen Elektrogeräten aus
Grundregalen G, Anbauregalen A, Schrankelementen Sr und Schubladenelementen
Sb zusammengesetzt. Zur Herstellung der Elemente werden senkrechte Leitern L,
Böden B, Schübe Sh und Türen T benötigt, die allesamt von einem Zulieferer bezogen
werden müssen. Die anzahlmässigen Anteile gibt die folgende Übersicht wieder:
V 1 : 2G 2A G: 2L 4B 1Sh
V 2 : 1G 1A 1Sr 1Sb A: 1L 4B 1Sh
V 3 : 1G 1A 2Sr Sr: 2L 1B 1Sh 4T
V 4 : 1G 1A 2Sb Sb: 2L 1B 3Sh
a) Beschreibe den zweistufigen Produktionsprozess durch lineare Abbildungen f
und g so, dass zuvor zugehörige Produktionsmatrizen A f und B g aufgestellt
werden. Welche Bedeutung haben die Spalten der aufgestellten Matrizen?
b) Gib eine Rohstoffverbrauchsmatrix an, die die verknüpfte Abbildung beschreibt.
Bestätige den monatlichen Lieferbedarf von 8600L,16000B,6800Sh und 3200T,
wenn in diesem Zeitraum erfahrungsgemäss stets 500 V 1 , 400 V 2 , 200 V 3 und
200 V 4 montiert werden.
c) Durch leichte Beschädigungen bei der Lieferung mussten 160 L, 275 B, 135 Sh
und 60 T aussortiert werden. Es sollen daraus Elemente zweiter Wahl hergestellt
werden, die dannzum Eigenzusammenbau als Sonderangebot verkauft werden.
Welche und wie viele Elemente können angeboten werden?
MATURA 2011 SPF PAM GYMNASIUM ST.ANTONIUS Seite 4/4
Appenzell, 09.06.2011