Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

Kapitel 3
Die isoperimetrische Ungleichung auf
Modellräumen
Zu Beginn dieses Kapitels werden die benötigten Begriffe aus der Differentialgeometrie vorgestellt
und einige Vorbereitungen getroffen, um anschließend die isoperimetrische Ungleichung
auf einfach zusammenhängenden, vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten
mit konstanter Schnittkrümmung, auch Modellräume genannt, beweisen zu können. Dabei
benutzt man die Technik der sogenannten Symmetrisierung. Bei diesem Verfahren wird einer
Menge � eine andere Menge � � zugeordnet, die bestimmte Symmetrieeigenschafen aufweist.
Insbesondere wird beim Symmetrisieren das Volumen der Menge � nicht verändert,
was im Beweis eine wichtige Rolle einnimmt.
Grundkenntnisse über Riemannsche Mannigfaltigkeiten, wie man sie beispielsweise in
[Sak96] findet, werden vorausgesetzt. Einige davon werden im Folgenden kurz in Erinnerung
gerufen.
Sei Å eine Ò-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik �. Das Tangentialbündel
von Å wird mit ÌÅ, der Tangentialraum von Å in Ü Å wird mit ÌÜÅ bezeichnet.
� Å bezeichnet die Menge aller glatten Vektorfelder auf Å. SeiÖ � � Å ¢
� Å � � Å der Levi-Civita-Zusammenhang auf Å. DannistderRiemannsche Krümmungstensor
Ê für die Vektorfelder Í� Î� Ï � Å gegeben durch
Ê Í� Î Ï � ÖÍÖÎ Ï ÖÎ ÖÍÏ Ö �Í�Î ℄Ï� (3.1)
Für Ü Å und einer Ebene �Ü � ÌÜÅ definiert man die Riemannsche Schnittkrümmung
von Å in �Ü als
�Ü �Ü � � ÊÜ Ù �Ù Ù �Ù
�Ù � �Ù � � Ù �Ù
wobei �Ù �Ù � ÌÜÅ eine Basis von �Ü ist und �Ù�� � � Ù��Ù� � � � � gilt.
Mit der Riemannschen Metrik � auf Å ist eine Integrationstheorie auf Å assoziiert. Für
einen Atlas �Ü« � Í« � Ê Ò �« Á von Å und eine untergeordnete Zerlegung der Eins � «�« Á
ist nämlich das Volumen, beziehungsweise das Maß einer Borelmenge � � Å durch
� � Õ
ÎÓÐ � �
��Ø ��� «�Ü «����Ü Ò «� (3.2)
gegeben. Dabei ist ��� « � � Ü� � �
« Ü« der Karte Ü«.
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Ü« Í«
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¡ die Koordinatendarstellung der Metrik � bezüglich