Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

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Kapitel 4.1 Vorbereitungen 33 Für die Ableitung von Â� Ø erhält man folglich Ø ¬ ¬ Ø� Â� Ø � Ô ��Ø �� Ø �� Ð ¬ �Ø �Ð Ø Ø� � � �Ð � ¡ ¡� ��Ô �Ö �� Ð ��Ô �Ö �� Ð � � �Ð � � � �«Ð « Ü� � �Ð � �¬� ¬ ÜÐ � � � � � Ü� �Ð ÜÐ � ¡ � � Ö� �� Ö � � � Ö� � � Ø�Ò� ¡ � � � � �Ö � � � ¡ � � ��Ú � Ø�Ò� � � �Ö � �� ¡ ��Ú � Ø�Ò� �Ò � � � �� ¡ ��Ú � Ø�Ò� �� À Ô � �� Ú � Ø�Ò� � wobei ��Ð die inverse Matrix zu ��Ð bezeichnet. Diese Ergebnisse und das Divergenztheorem (4.2) liefern die gewünschte Gleichung � �Ø ¬ ¬ Ø� ÎÓÐÒ Ø � � À Ô �� Ú � Ø�Ò� ¡ ÚÓÐ � � ¬ � � �� À ÚÓÐ � Ist ¨ � Å ¢ �� Å eine volumenerhaltende Variation von ª � Å, alsoÎÓÐ ªØ � ÎÓÐ ª für alle Ø �� und somit auch � ¬ ÎÓÐ ªØ � , und ist ÎÓÐÒ ª ein �Ø Ø� lokales Minimum der Variation, so folgt mit den ersten Variationsformeln für Volumen und Oberfläche, dass die mittlere Krümmung À von ª konstant sein muss. Sie nimmt die Rolle des Lagrange Parameters ein, da sich die erste Variation des Volumens und der Oberfläche gerade um den konstanten Faktor À unterscheiden. 4.1.2 Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen Eine lineare elliptische Differentialgleichung in Divergenzform besitzt die allgemeine Form ÄÙ �� Ü ��Ù � � Ü Ù ¬ � Ü ��Ù � Ü Ù � �� wobei die Koeffizienten � �� für alle �� Ò messbare Funktionen auf ein Gebiet Í � Ê Ò darstellen. Man bezeichnet den Operator Ä als gleichmäßig elliptisch, falls die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind. (i) Es existiert eine positive Zahl �, sodass� �� Ü �� für alle Ü Í und alle � Ê Ò . (ii) Die Koeffizienten von Ä sind beschränkt, das heißt, es existieren Konstanten � und , so dass für alle Ü Í � �� Ü � � � und � � �� Ü � � � Ü � � �� Ü �� gilt.
Kapitel 4.1 Vorbereitungen 34 Sind die Funktionen � �� Ù � � Ù� � ��Ù �Ù für � � � �� Ò und � lokal integriebar auf Í, so heißt eine schwach differenzierbare Funktion Ù eine schwache Lösung von ÄÙ � � in Í, wennfür alle Funktionen Ú � Í � Í � �� Ù � � Ù ��Ú ist. Es gilt das folgende Regularitätstheorem. � ��Ù �Ù Ú ¡ �Î � � Í �Ú �Î Theorem 4.1.3. Sei Ä gleichmäßig elliptisch auf Í � Ê Ò und Ù Ï � Í eine schwache Lösung der Differentialgleichung ÄÙ � � auf Í mit � Ï �� Í . Ferner seien die Koeffizientenbedingungen (i) � �� Í , (ii) � �� Í für � � auf Í erfüllt. Für jede relativ kompakte Menge Í �� Í ist dann Ù Ï � � Í und es gilt �Ù� Ï � � Í � � �Ù� Ï � Í �� Ï �� Í mit der Konstanten � � � Ò� �� Ã� � �� . Dabei bezeichnet Ã �Ñ�Ü�� Í � � � �� Í � und � � � Í � Í . Beweis. Siehe [GiTr98, Theorem 8.10]. Hier sind zwar die Koeffizienten � �� Í vorausgesetzt, aber für die Regularität reicht es � �� Ï �� Í vorauszusetzen, wie man dem Beweis entnehmen kann. 4.1.3 Weitere Resultate Eine Isometrie × Ô auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Å, die den Punkt Ô Å festhält und �× Ô Ô � ��ÌÔÅ erfüllt, heißt geodätische Symmetrie in Ô. Existiert für alle Ô Å eine geodätische Symmetrie in Ô, so bezeichnet man Å als symmetrischen Raum. Für jede Geodäte , die in Ô startet, ist auch × Ô Æ eine in Ô startende Geodäte mit × Ô Ø � Ø . Ist Å ein symmetrischer Raum, so ist der Riemannsche Krümmungstensor Ê parallel, also ÖÊ � . Umgekehrt heißt Å lokal symmetrisch, wennÖÊ � ist. Unter dem Rang eines symmetrischen Raumes Å versteht man die Dimension der größtmöglichen, flachen, total geodätischen Untermannigfaltigkeit von Å. So sind die Modellräume � Ò � Ë Ò und À Ò symmetrische Räume und Ë Ò sowie À Ò haben Rang eins. Auf symmetrischen Räumen gilt das folgende Starrheitsresultat von Schroeder und Ziller [ScZi90, Theorem 7]. Theorem 4.1.4. Sei Å eine Ò-dimensionale, Ò � , vollständige Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung � � . Ferner sei ª eine kompakte, einfach zusammenhängende, konvexe Menge in Å und Í eine Umgebung von ª. Ist die Metrik auf ÍÒª lokal symmetrisch vom Rang eins und ist das Maximum der Schnittkrümmung auf Í gleich , so ist die Metrik auf ª lokal symmetrisch vom Rang eins.
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