Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen
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Kapitel 2<br />
<strong>Die</strong> <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> im<br />
euklidischen Raum<br />
In diesem Kapitel wird die <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> im euklidischen Raum Ê Ò der Dimension<br />
Ò � bewiesen. Dabei beschränkt man sich <strong>auf</strong> Gebiete, die einen mindestens<br />
stetig differenzierbaren Rand haben. Während das <strong>isoperimetrische</strong> Problem im zweidimensionalen<br />
Fall relativ einfach zugänglich ist, ist die Verallgemeinerung <strong>auf</strong> größere Dimensionen<br />
mit deutlich mehr Aufwand verbunden.<br />
2.1 <strong>Die</strong> <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> in der Ebene<br />
<strong>Die</strong> zwei wesentlichen Bestandteile des Beweises der <strong>isoperimetrische</strong>n <strong>Ungleichung</strong> im Ê<br />
sind der Divergenzsatz von Gauß und die <strong>Ungleichung</strong> von Wirtinger. Letztere wird mit der<br />
Hilfe einer Fourierreihenentwicklung der gegebenen stetig differenzierbaren Ä-periodischen<br />
Funktion und deren Ableitung bewiesen.<br />
Im Folgenden sei �¡� ¡� � Ê Ò ¢ Ê Ò � Ê das Standardskalarprodukt <strong>auf</strong> dem Ê Ò .<br />
Lemma 2.1.1 (<strong>Ungleichung</strong> von Wirtinger). Ist � � Ê � � eine stetig differenzierbare,<br />
Ä-periodische Funktion mit<br />
so gilt<br />
�Ä � Ø �Ø � �<br />
�Ä ��<br />
�� � Ø �Ø �<br />
Ä<br />
�Ä ��� Ø �Ø� (2.1)<br />
Dabei tritt Gleichheit genau dann ein, wenn es Konstanten � und � in � derart gibt, dass<br />
gilt.<br />
� Ø �� � ��Ø�Ä<br />
� � ��Ø�Ä
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