Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

Kapitel 4.2 Das isoperimetrische Vergleichstheorem 41
eine glatte, orientierte Hyperfläche mit Ë � ª��Ô� und liegt ª auf der selben Seite von Ë,
wie das Normalenvektorfeld von Ë in einer Umgebung von Ô, dann nennt man Ë � Å eine
Trägerhyperfläche von ª in Ô. Die Menge aller Trägerhyperflächen von ª in Ô bezeichnet
man mit Ë ª�Ô . Diese ist nicht leer für mindestens ein Ô ª. Bezeichnet ÀË Ô die mittlere
Krümmung der Trägerhyperfläche Ë Ë ª�Ô in Ô, sodefiniert
die mittlere Krümmung der Menge ª.
À ª � ×ÙÔ�ÀË Ô � Ô ª�Ë Ë ª�Ô ��
Ist ª � Å kompakt mit � -Rand ª, dannistÀ ª gerade das Maximum der mittleren
Krümmung von ª, weilÀ ª Ô � ÀË Ô für alle Ô ª und alle Ë Ë ª�Ô .
Der folgende Satz ist der wichtigste geometrische Bestandteil für den Beweis des angestrebten
Theorems 4.2.1. Zur Definition des Hausdorff-Maßes auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten
siehe Anhang B.
Satz 4.2.9. Sei ª � Å eine kompakte, nichtleere Menge. Die Funktion À� � � � �
ordne jedem � � die mittlere Krümmung der geodätischen Sphäre aus Å � zu, die
das zweidimensionale Volumen � hat. Es gilt dann
À ª � À� À ª
wobei À das zweidimensionale Hausdorff-Maß bezeichnet und ª der topologische Rand
von ª ist. Ist À ª � À� À ª ,soistª isometrisch zum geodätischen Ball � � Å � mit
ÎÓÐ � �À ª .
Beweis. Ist ª konvex mit � -Rand ª, dannist ª homöomorph zu der Sphäre Ë .Für
ein Ô ªÒ ª ist die Funktion � � Ë � ÌÔÅ � ª� � �� �ÜÔ Ô Ö� ¡ � , wobei Ö� jedem
� eine positive reelle Zahl Ö� zuordnet, wegen der Konvexität von ª und der Eindeutigkeit
der Geodäten zwischen zwei Punkten aus Å, nämlich ein Homöomorphismus. Mit Lemma
4.2.5 und der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel folgt nun
�
� ��À �
ª
�� � �à ª � ÚÓÐ ª �
�
ª
�
ª
��Àª �
� ÚÓÐ ª
�
� ÎÓÐ ª � (4.9)
Andererseits ist die mittlere Krümmung einer geodätischen Sphäre aus Å � konstant und die
Hauptkrümmungen sind gleich, woraus sich mit (4.9)
�� À� ÎÓÐ ª �
ergibt, und damit auch
�
� ÎÓÐ ª � �� �
À� ÎÓÐ ª � À ª�
�� � Àª
�
� ÎÓÐ ª
Ist ª keine konvexe Menge, dann betrachtet man den Abschluss der konvexen Hülle � von
ª. DiekonvexeHülle der Menge ª ist die kleinste konvexe Menge, die ª enthält. � ist
wiederum konvex und kompakt. Sei �Ö � �Ô Å � � Ô� � � Ö� und �Ö � �Ö für alle