Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen
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Kapitel 2.2 <strong>Die</strong> <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> im Ê Ò 7<br />
woraus mit der Cauchy-Schwarzschen <strong>Ungleichung</strong><br />
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resultiert. Nach Parametrisierung von ª nach Bogenlänge gilt für alle Ü � Ü �Ü ª<br />
�Ü� � Ü Ü ÙÒ� �Ü × � � Ü × ¡ Ü × ¡ � �<br />
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass man nach eventueller Verschiebung von ª<br />
ª<br />
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ª<br />
Ü × �× � �<br />
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ª<br />
Ü × �×<br />
erreichen kann, ist es gestattet die Wirtinger <strong>Ungleichung</strong> <strong>auf</strong> die Koordinatenfunktionen<br />
Ü × und Ü × anzuwenden und man erhält mit<br />
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�Ü × � �× � Ä �<br />
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�Ü × � �×<br />
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die gewünschte <strong>Ungleichung</strong> (2.2). Gilt Gleichheit in (2.2), dann muss auch Gleichheit in<br />
der Cauchy-Schwarzschen <strong>Ungleichung</strong> gelten und folglich ist � � Ö ¡ �� Ö Ê £ .Also<br />
ist �Ü� � Ö für alle Ü ª und ª ist ein Kreis mit Radius �Ö�. <strong>Die</strong> letzte <strong>Ungleichung</strong><br />
impliziert Ä � ��Ö� und � � �Ö , was zu erwarten war. Geht man andererseits davon aus,<br />
dass ª ein Kreis ist, dann ist die Gleichheit in (2.2) offensichtlich erfüllt.<br />
2.2 <strong>Die</strong> <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> im Ê Ò<br />
In diesem Kapitel wird die klassische <strong>isoperimetrische</strong> <strong>Ungleichung</strong> im Ê Ò für beschränkte,<br />
� -berandete Gebiete bewiesen. <strong>Die</strong> Idee besteht darin, eine Verbindung zwischen der <strong>isoperimetrische</strong>n<br />
<strong>Ungleichung</strong> und der Sobolev-<strong>Ungleichung</strong> mit der optimalen Konstanten herzustellen,<br />
in dem man zeigt, dass die Konstanten in beiden <strong>Ungleichung</strong>en übereinstimmen.<br />
Aufgrund dieser Tatsache ist es dann ein Leichtes, die Äquivalenz dieser <strong>Ungleichung</strong>en zu<br />
folgern. Der Beweis der Sobolev-<strong>Ungleichung</strong> mit der optimalen Konstanten steht dar<strong>auf</strong>hin<br />
im Vordergrund.<br />
Zuvor benötigt man jedoch einige Grundkenntnisse über Sobolevräume, die nun eingeführt<br />
werden. Im Folgenden bezeichnet �Î Ü oder auch nur �Î das Ò-dimensionale Lebesgue-<br />
Maß und �� das Ò -dimensionale Hausdorff-Maß <strong>auf</strong> dem Ê Ò . Entspechend ist Î ª<br />
das Volumen einer Lebesgue-messbaren Menge ª � Ê Ò und � das Ò -dimensionale<br />
Volumen einer Hausdorff-messbaren Menge � Ê Ò .<br />
Für jede offene Menge ª � Ê Ò und � Ô � definiert man die Funktionenräume<br />
Ä Ô ª � ¨ Ù �ª� Ê� Ù ist Lebesgue-messbar� �Ù�Ô � ©<br />
ª
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