Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen

Kapitel 3.2 Der hyperbolische Raum 27
wobei �Ü die durch sukzessive Anwendung von � auf Ü entstandene zusammenhängende Menge
ist. Damit erhält man
� Ü � � � �Ü � � � �Ü� � � Ü� �
die Inklusion (3.10). Das Lemma ist hiermit bewiesen.
Die Menge Ë � bezeichnet die Menge aller, durch eine endliche Anzahl von sphärischen
Steiner Symmetrisierungen und Isometrien, aus � entstandenen Mengen. War � kompakt,
so sind alle Mengen aus Ë � ebenfalls kompakt und haben das selbe Volumen.
Lemma 3.2.2. Sei � Å� kompakt, nichtleer und � � � Ë � eine in der Hausdorff-
Metrik gegen � konvergente Folge. Dann ist
und für alle ��� � gilt
ÎÓÐ � �ÎÓÐ �
ÎÓÐ �� � ÎÓÐ �� � (3.11)
Beweis. Wähle � so, dass ÎÓÐ �� � ÎÓÐ �� für alle � � � � � � gilt. Lemma
3.0.2 liefert die Kompaktheit von � .Weil� �� ÎÓÐ � oberhalbstetig ist, erhält man
ÎÓÐ � � Ð�Ñ ×ÙÔ ÎÓÐ �
� �
� � ÎÓÐ � � (3.12)
Jedes � � ist durch eine endliche Anzahl Ñ von Symmetrisierungen und Isometrien aus �
entstanden. Nach einer weiteren Symmetrisierung bzw. Isometrie ��Ñ
ma 3.2.1
ergibt sich mit Lem-
ÎÓÐ � � � �ÎÓÐ ��Ñ � � � � ÎÓÐ ��Ñ � �
��
so dass für alle �
ÎÓÐ �� � ÎÓÐ � � � (3.13)
gilt. Wegen Æ � � �� � für � � , existiert für alle � � � � ein � � ,sodass
�� � � � � gilt. Damit ist ÎÓÐ �� � ÎÓÐ � � � und mit (3.13) erhält man
ÎÓÐ �� � ÎÓÐ �� � ÎÓÐ � �
was für � � � die gewünschte Ungleichung (3.11) impliziert. Durch den Grenzübergang
� � folgt mit (3.12) schließlich die Gleichheit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � .
Die Brunn-Minkowkische Ungleichung auf den Modellräumen kann nun bewiesen werden.
Beweis von Theorem 3.0.4. Sei � eine kompakte nichtleere Menge in �. Dann existiert
eine konvergente Folge � � � Ë � , so dass ihr Grenzwert � einen abgeschlossenen Ball
� mit ÎÓÐ � �ÎÓÐ � enthält [BuZa88]. Somit gilt ÎÓÐ �� � ÎÓÐ �� . Mit Lemma 3.2.2
erhält man
ÎÓÐ � �ÎÓÐ � und ÎÓÐ �� � ÎÓÐ �� �
womit die Aussage des Theorems 3.0.4 bewiesen ist.