Die isoperimetrische Ungleichung auf ... - Universität Tübingen
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Kapitel 4.2 Das <strong>isoperimetrische</strong> Vergleichstheorem 49<br />
(3) �ÜÔ �� �Ë� � Ë � ª��.<br />
(4) Sei � � � Ë � � � Ë das von Ë eingeschränkte Einheitsnormalenvektorfeld und Î �<br />
�ÜÔ �� �Ë � Å. Weiterhin sei die glatte Funktion � � Î <strong>auf</strong> Î durch<br />
� Æ �ÜÔ � � �� ��� für � �� �Ë definiert. Sie gibt den Abstand eines Punktes<br />
Õ Î von �Ë an. Man wählt � so klein, dass der Gradient �Ö�� � von � entlang<br />
ª � Î in das Innere von ª zeigt.<br />
(5) <strong>Die</strong> mittlere Krümmung der Hyperfläche � Ü bezüglich des Einheitsvektorfeldes<br />
�Ö�� � erfüllt À � Ü � für alle Ü �� � .<br />
Jetzt betrachtet man die Variation ¨ � Å ¢ � �Æ � Å von ª � Î mit Variationsrichtung<br />
� � �¨<br />
�Ø<br />
¬<br />
¬ Ø� � � Æ � �Ö�� � .Für passend gewähltes � � �� � erhält man die<br />
Familie �ªØ�Ø� � �¨ ª � Î�Ø �Ø� mit den gewünschten Eigenschaften (i) - (iv).Ist� �<br />
und ×ÙÔÔ � � �� �℄ für � � � �, dannist�ªØ�Ø� eine Familie von Gebieten mit<br />
� -Rand und die ersten zwei Bedingungen (i) und (ii) sind erfüllt. Damit �ªØ�Ø� auch den<br />
letzten zwei Bedingungen genügt, ist eine detailliertere Definition von � notwendig.<br />
Dazu wählt man ein Ü �� � ,sodassÎÓÐÒ ª � � Ü �� Ü � � für � �<br />
gilt. Sei jetzt � � fest und � � �� � mit � � und ×ÙÔÔ � � �� Ü � .<br />
Außerdem sei � gegeben durch<br />
� Ü �<br />
� � Ü � � Ü �� Ü ℄<br />
� Ü � � Ü Ü �Ü �℄�<br />
<strong>Die</strong> Ableitung von � sei für alle Ü �� � nichtpositiv, also � Ü � . Insbesondere gelte<br />
� Ü � Ñ�Ü � Ò � � für Ü �� Ü ℄� (4.20)<br />
wobei � alle Hauptkrümmungen der Hyperflächen � Ü � Ü �� � durchläuft und � �<br />
das Maximum aller ��� ist.<br />
Mit der ersten Variation des Volumens (Satz 4.1.1) erhält man mit � ª � Î<br />
�<br />
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¬ Ø�<br />
ÎÓÐ ªØ �<br />
�<br />
�� �� � ª ÚÓÐ � �<br />
die Bedingung (iii). Bezeichnet � � ¢ � �Æ � Å� � Ô� Ø Ô�¨Ô� Ø die zugehörige Variation<br />
des Randes , dann gilt mit Ø � � �Ø und Â� Ø � ��Ø �Ø ��� Ô ��Ø ���<br />
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Â� Ø ÚÓÐ �<br />
Es muss also noch � ¬ Â� Ø berechnet werden. Sei dazu Õ � Ü � ª und � ������Ò<br />
�<br />
ÌÕ � Ü<br />
�Ø<br />
eine Orthonormalbasis von Hauptkrümmungsrichtungen mit zugehörenden Hauptkrümmungen<br />
� ������Ò bezüglich der Normalen �Ö�� � .Mansetzt�Ò��Ö�� � und<br />
�Ò � � � Õ .
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