Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Dipl.-Phys. M. v. Kurnatowski ...

Modul9: Quantenmechanik
WS2012
(e) An einem endlichen Potentialsprung müssen die Wellenfunktion und ihre erste
Ortsableitung stetigsein(ψ und ψ ′ ).
(f) Sei λ Eigenwert des hermiteschen Operators A und |ϕ〉 eine zugehörige Eigenfunktion,also
A|ϕ〉 = λ|ϕ〉 .
Wir können |ϕ〉 aufeins normiertwählen. Dann gilt
λ = 〈ϕ| λ|ϕ〉 = 〈ϕ|A|ϕ〉 = 〈Aϕ| ϕ〉 = λ ∗ 〈ϕ| ϕ〉 = λ ∗
Damit ist gezeigt, dass λ reell sein muss. (Wir haben verwendet, dass ein Eigenwert
sich auch als Erwartungswert schreiben lässt.) Diese Eigenschaft ist von
physikalischerBedeutung,weildieErgebnisseidealerMessungenEigenwerteder
dengemessenenObservablenzugeordnetenOperatorensind.DaMessungenreelle
Messwerte liefern, sollten Observablen durch Operatoren beschrieben werden,
die nur reelle Eigenwerte haben. Diese Eigenschaft haben hermitesche Operatoren.
(Darüberhinaus besitzen sie ein vollständiges orthonormales Eigensystem.
Diese zweite Eigenschaft ist ebenfalls wichtig, um sinnvoll Wahrscheinlichkeiten
fürMessungendefinierenzukönnen.DieOrthogonalitätistwichtig,damitWahrscheinlichkeitsamplituden
durch einfache Skalarproduktbildung bestimmt werden
können, die Vollständigkeit ist notwendig, um jeden möglichen Systemzustand
aus der Observablen zugeordneten Eigenfunktionen aufbauen zu können.
Denn im Prinzip kann man die Observable in jedem Systemzustand messen und
die Quantenmechanik muss die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Messwerte
in jedem liefern. Daher die Hermitezitätsforderung, die stärker ist als die bloße
Forderung nach reellenEigenwerten.)
Seien nun |ϕ 1 〉 und |ϕ 2 〉 Eigenfunktionen von A zu verschiedenen Eigenwerten
λ 1 und λ 2 .Dann gilt:
also
〈ϕ 1 |A|ϕ 2 〉 = 〈ϕ 1 |λ 2 ϕ 2 〉 = λ 2 〈ϕ 1 | ϕ 2 〉
〈ϕ 1 |A|ϕ 2 〉 = 〈Aϕ 1 | ϕ 2 〉 = 〈λ 1 ϕ 1 | ϕ 2 〉 = λ ∗ 1〈ϕ 1 | ϕ 2 〉 = λ 1 〈ϕ 1 | ϕ 2 〉
λ 1 〈ϕ 1 | ϕ 2 〉 = λ 2 〈ϕ 1 | ϕ 2 〉 ⇒ (λ 1 − λ 2 )〈ϕ 1 | ϕ 2 〉 = 0
und mit derVoraussetzung λ 1 ̸= λ 2 folgt 〈ϕ 1 | ϕ 2 〉 = 0.
(g) Durch die Messung kollabiert die Wellenfunktion des Systems in eine der Eigenfunktionen
|a n 〉 von A. Die möglichen Messwerte sind dann die Eigenwerte a n .
Man kanndenAusgangszustand |ψ〉 nach den |a n 〉 entwickeln:
|ψ〉 = ∑c n |a n 〉 .
n
Die Wahrscheinlichkeit, a n als Messwert zu erhalten ist |c n | 2 . Die Entwicklungskoeffizienten
c n entsprechen der Projektion von |ψ〉 auf den entsprechenden Eigenvektor:
c n = 〈a n |ψ〉 .
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