Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Dipl.-Phys. M. v. Kurnatowski ...

Modul9: Quantenmechanik
WS2012
(h)
(
H = ¯hω b † b+ 1 )
2
Damit ist das Problem auf die Analyse der Eigenwertgleichung von b † b zurückgeführt.Sei
|λ〉 Eigenvektorvon b † b zumEigenwert λ.
〈
〉
∣
λ∣b † ∣
b∣λ
= 〈λ| λ|λ〉 = λ〈λ|λ〉 = 〈bλ|bλ〉 ⇒ λ ≥ 0
} {{ } } {{ }
≥0 ≥0
Damit sind dieEigenwerte ¯hω(λ+ 1 /2) von H allepositiv.
Man zeigt nun weiterhin, dass b|λ〉 auch Eigenvektor von b † b zum Eigenwert
λ−1istunddassb † |λ〉auchEigenvektorvonb † bzumEigenwert λ+1ist,wenn
die Norm von b|λ〉 bzw. b † |λ〉 nicht verschwindet. Es lässt sich nun zeigen, dass
die Norm von b † |λ〉 immer ungleich null ist, während die b|λ〉 ungleich null ist,
solange λ ̸= 0. Wenn man also durch sukzessive Anwendung von b auf |λ〉 den
Eigenwertimmerumeinsverringernkann,dieEigenwerteaberpositivodernull
seinmüssen,somüssensieganzzahligseinweilmansonstEigenvektorenmitnegativemEigenwerterzeugenkönnte.DieEigenwertevonb
† bsindalsodienatürlichen
Zahlen (inklusivederNull).
(i) Die Energieeigenwertesind durch
gegebenmit n = 1,2,3,....
E n = − E ion
n 2 = − me4 1
8ε 2 0 h2 n 2 = −13.6eV n 2
Bei festem n kann die Drehimpulsquantenzahl l die Werte l = 0,...,n −1 annehmen.
Die Magnetquantenzahl m kann die Werte m = −l,...,0,...,l annehmen,dassind2l+1verschiedeneWerte.DieWellenfunktionhängtvonallendrei
Quantenzahlenab,dieEnergienurvonderHauptquantenzahln.DerEntartungsgrad
von E n istdamit n 2 ohne Spin (und 2n 2 mitSpin):
n−1
∑
l=0
(2l+1) =
n
∑
l=1
(2l−1) = 2 n(n+1) −n = n 2 .
2
Ein äußeres, homogenes Magnetfeld hebt die Kugelsymmetrie des Problems und
damitdie m-Entartung auf(normalerZeemann-Effekt).
E n,m = − E ion
n 2 + ¯hω Lm
Bei festem n gibt es wegen 0 ≤ l ≤ n−1 n verschiedene mögliche l-Werte. Andererseits
muss auch gelten −l ≤ m ≤ l, d.h., bei festem m ist l auf die Werte
m,m+1,...n−1eingeschränkt,fallsmpositivist,undauf−m,−m+1,...n−1,
fallsmnegativist.Dassindjedesmaln−|m|Werte.DerEntartungsgraddesNiveaus
E n,m istalson−|m|.Wirkönnenauchleichtüberprüfen,dassdieGesamtzahl
der Eigenzustände zu einem Wert n mit diesen Entartungsgraden den üblichen
Wert hat:
n−1
∑
m=−n+1
(n−|m|) = n+2
n−1
∑
m=1
(n−m) =
n−1
n+2 ∑
k=n−m k=1
k = n+2× 1 2 n(n−1) = n2 .
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