Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Dipl.-Phys. M. v. Kurnatowski ...

Modul9: Quantenmechanik
WS2012
Hinweis:Die folgendenFormelnsind als Hilfestellunggegeben:
√
¯h
(
x = b+b †) , ˆN = b † b, ˆN|m〉 = m|m〉 . (4.3)
2mω
Lösung:
(a) WirbenutzenimFolgendenmehrfachdenKommutator [ b,b †] = 1unddenOperator
N = b † b. Dasˆüber ˆN in der Aufgabenstellung wird hier einfach weggelassen.
bb † = 1+b † b = N+1
Damit berechnenwir x 2 :
(b) Jetztberechnen wir x 3 :
( ¯h
x 3 =
2mω
( ¯h
=
2mω
x 2 = ¯h
2mω
= ¯h
2mω
= ¯h
2mω
( )
b 2 +b †2 +bb † +b † b
(
)
b 2 +b †2 +(1+ N)+ N
( )
b 2 +b †2 +2N+1 .
)3
2 (
b 2 +b †2 +2N+1
)(b+b †)
)3
2 [
] b 3 + }{{}
b 2 b † +b
}{{}
†2 b+b †3 +2Nb+2
}{{}
Nb † +b+b † .
= 1○ = 2○
= 3○
Drei Terme müssennoch bearbeitetwerden:
( )
1○ = bbb † = b 1+b † b = b+bb † b = b+(N+1)b = Nb+2b
2○ = b † b † b = b † N
3○ = b † bb † = b † (N+1) = b † N+b † .
Jetztrechnen wiralleszusammen:
( )3
¯h
x 3 2 [
]
= b 3 + Nb+2b+b † N+b †3 +2Nb+2b † N+2b † +b+b †
2mω
( )3
¯h
2 [
]
= b 3 +b †3 +3(N+1)b+3b † (N+1) .
2mω
Für den letzten Schritt muss man also nur noch alles zusammenfassen um zur
zu zeigenden Darstellung zu gelangen. Diese Darstellung ist kompakt und symmetrisch.
Allerdings kann man auch anders rechnen, als wir das eben gemacht
haben.
Alternativ:(etwaseinfacher) x vonlinks statt vonrechts an x 2 multiplizieren:
( ¯h
x 3 =
2mω
( ¯h
=
2mω
)3
2 (
b+b †)( )
b 2 +b †2 +2N+1
)3
2 [
] b 3 + }{{}
bb †2 +2
}{{}
bN +b+ }{{}
b † b 2 +b †3 +2b † N+b † .
= 4○ = 5○ =Nb
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