Prof. Dr. K. Kassner Dr. V. Becker Dipl.-Phys. M. v. Kurnatowski ...

Modul9: Quantenmechanik
WS2012
Nur zwei Termemüssen nochbearbeitetwerden.
( )
4○ = bb †2 = 1+b † b b † = b † +b † (1+ N) = 2b † +b † N
5○ = bb † b = (1+ N)b
Jetztrechnen wiralleszusammen.
( )3
¯h
x 3 2
=
[b 3 +2b † +b † N+2Nb+2b+b+ Nb+b †3 +2b † N+b †]
2mω
( )3
¯h
2 [
]
= b 3 +b †3 +3(N+1)b+3b † (N+1)
2mω
(c) Wir kennen die Wirkung der Operatoren auf die Eigenzustände des ungestörten
Problems:
b|m〉 = √ m|m−1〉 ,
b † |m〉 = √ m+1|m+1〉 ,
N|m〉 = m|m〉 .
Wir machen uns zunächst klar, dass Terme mit Potenzen b † hier keinen Beitrag
geben. Denn wir brauchen Matrixelemente der Form 〈 0 ∣ ∣H S∣ ∣m 〉 . Die Summanden
von H S , die aus reinen Potenzen von b † bestehen, sowie die der Form b † N
erzeugenMatrixelementederForm〈0|m+n〉.nisthierbeidiePotenzvonb † und
wegen n > 0 müsste dann m < 0 sein, damit es einen Beitrag gibt. Negative
Quantenzahlen treten aber beim harmonischen Oszillator nicht auf. Also haben
wirkeineBeiträgeausTermenmitPotenzen b † .(SolcheTermewürdenabereinen
Beitrag geben, wenn wir uns für die Energiekorrektur eines angeregten Zustands
interessierten!) Unter Verwendung von (4.2) folgt sofort das gewünschte Matrixelement:
〈 ∣
0 x 3∣ ∣m 〉 ( )3
¯h
2
=
[√m(m−1)(m−2) δ 0,m−3 +3m √ ]
m δ 0,m−1
2mω
( )3
¯h
2 [√ ]
= 6 δm,3 +3 δ m,1 .
2mω
Alternativ:
〈
∣ 〉 〈
∣ 〉
∣
0∣(b+b † ) 3 ∣∣m ∣
= 1∣(b+b † ) 2 ∣∣m
= √ 〈
∣ 〈
∣ 〉
∣
2 2∣b+b † ∣∣m ∣
〉+ 0∣b+b † ∣∣m
= √ 6〈3|m〉+2〈1|m〉+〈1|m〉
= √ 6 δ m,3 +3 δ m,1 .
Damitsehenwirsofort,dassdieKorrekturderEnergiedesGrundzustandswegen
δ 0,3 = δ 0,1 = 0inersterOrdnung verschwindet.
〈
∣ 〉
E (1) ∣
0
= 0∣H S ∣∣0
= 0.
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