4. Textalgorithmen Arten von String-Matching-Problemen ...

4. Textalgorithmen Trie
a
$
b
c
4. Textalgorithmen Positionsbäume
Positionsidentifikator
7
Beispiel 4.15. [Suffix-Trie] Der
Suffix-Trie für den String abcabc$
sieht folgendermaßen aus:
b
a
b c a
c
a $ b
5
$ b
c
4
c
$
6
$
Definition 4.6. Es seien Σ ein Alphabet, s, u Zeichenreihen (Strings)
∈ Σ ∗ mit s ≠ ɛ und i ∈ IN mit 1 ≤ i ≤ |s|.
Dann heißt u Positionsidentifikator für die Position i in s (Bezeichnung:
u = pid s (i)) genau dann, wenn die folgenden Bedingungen gelten:
(i) ∃y, z mit s = yuz und |y| = i − 1.
3
c
$
(ii) ∀y ′ , z ′ : s = y ′ uz ′ ⇒ y ′ = y und z ′ = z
2
$
(iii) |u| ist minimal unter den Bedingungen (i) und (ii).
1
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4. Textalgorithmen Trie
• Es besteht eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen den Knoten von
ST (s) und den verschiedenen Substrings von s.
• Die Anzahl der Knoten von ST (s) ist u.U. quadratisch in |s|.
• Dies ist z.B. für Strings der Form a m b m $ der Fall. Solche Strings der
Länge 2m + 1 haben m 2 + 4m + 2 verschiedene Substrings.
4. Textalgorithmen Positionsbäume
Bemerkungen:
• u = ɛ erfüllt Bedingung (i) für jedes s ∈ Σ + und jedes i mit 1 ≤ i ≤ |s|.
• Für |s| ≥ 2 erfüllt u = ɛ Bedingung (ii) nicht.
• Nicht für alle s und alle i existiert ein Positionsidentifikator.
☞ Statt einen kompletten Suffix ab Position i in text nimmt man nur
einen String auf, der die Position i in text eindeutig beschreibt.
• Falls für String s und Position i ein Positionsidentifikator existiert, so
ist er eindeutig bestimmt.
Lemma 4.8. Bei Abschluß von s mit einem Sonderzeichen $, das in s
nicht vorkommt, existiert für jede Position von s$ ein Positionsidentifikator.
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