4. Textalgorithmen Arten von String-Matching-Problemen ...

4. Textalgorithmen Positionsbäume
Lemma 4.11.
Jeder String s$ hat einen eindeutigen Positionsbaum.
4. Textalgorithmen String-Matching mit Positionsbäumen
String-Matching mit Hilfe von Positionsbäumen
Beweis.
• Für jede Position i gibt es einen eindeutigen Positionsidentifikator
p(i).
• Man braucht nun nur den Trie zu p(1), . . . , p(n + 1) aufzubauen.
• Die Eindeutigkeit folgt aus der Minimalität des Baumes.
✷
Korollar 4.12. Ein Positionsbaum für s$ mit |s| = n hat n + 1 Blätter.
Beweis. Folgt direkt aus Lemma 4.11. ✷
• Gegeben sei der Positionsbaum für text$.
• Es sei pat = p 1 , . . . , p m .
• Steige im Positionsbaum ab gemäß pat, d.h.
– wähle zunächst die von der Wurzel ausgehende und mit p 1 markierte
Kante,
– dann die mit p 2 markierte Kante, usw.
• Es treten nun verschiedene Fälle auf, die den Abstieg beenden.
Information Retrieval — FH Bonn-Rhein-Sieg, SS 06 250
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4. Textalgorithmen Positionsbäume
Lemma 4.13. Es sei s ≠ ɛ. Dann hat jedes Blatt im Positionsbaum von
s$ mindestens einen Bruder.
Beweis.
• p(i) = ya, y ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ
• Falls y = ɛ, so hat das mit i markierte Blatt einen Bruder, weil es
noch mindestens eine weitere Position im Baum gibt.
• Also sei |y| ≥ 1.
4. Textalgorithmen String-Matching mit Positionsbäumen
Der Abstieg terminiert, falls:
(1) pat erschöpft und zwar
(1.1) an einem inneren Knoten oder
(1.2) an einem Blatt
(2) pat nicht erschöpft, aber der Positionsbaum ist erschöpft und zwar
(2.1) an einem inneren Knoten oder
(2.2) an einem Blatt
⇒ Dann kommt y noch an anderer Stelle, etwa j ≠ i, im String s vor
(wegen der Minimalität von p(i)).
⇒ Also muß es eine Bruderkante geben, die den Anfang des Weges zu
dem mit j markierten Blatt bildet.
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