Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater 

Datenmengen - deskriptiv 

Prof. Kück / R. Bernitz / Dr. Ricabal 

Lehrstuhl Statistik 

Lage- und Streuungsparameter II 

1 

Bibliografie 

‣ Prof. Dr. Kück; 

Statistik, Vorlesungsskript 

Abschnitt 6.1.1 

‣ Bleymüller/Gehlert/Gülicher; 

Statistik für Wirtschaftswissenschaftler 

Verlag Vahlen 

‣ Bleymüller/Gehlert; 

Formeln, Tabellen und Programme 

Verlag Vahlen 




2 

1

Typen von Mittelwerten 

Die im Abschnitt 6.1.1 vermittelten Mittelwerte sind: 

‣Häufigster Wert (Modus) 

‣Zentralwert (Median) 

‣Arithmetisches Mittel 

‣Harmonisches Mittel 

‣Chronologisches Mittel 

‣Geometrisches Mittel 




3 

Arithmetisches Mittel - Beispiel 

Beispiel: Aus den Erwerbsquoten der fünf Bundesländer soll die Erwerbsquote für 

Norddeutschland berechnet werden (Klausuraufgabe 3 vom Februar 2003). 

Bundesland Bevölkerungsanteil 

(%) 

Erwerbstätige 

(Tsd.) 

Erwerbsquote 

(%) 

BIP 

(Mrd.€) 

Bremen 4,8 385 53,5 23,4 

Hamburg 11,6 1.048 60,2 75,5 

Mecklenburg-V. 11,8 730 41,2 29,7 

Niedersachsen 53,0 3.482 43,8 180,4 

Schleswig-Holst. 18,8 1.230 43,6 66,0 

k 

µ = ∑ x 

if 

i= 

1 

i 

µ = 53,5 ⋅ 0,048 + 60,2 ⋅ 0,116 + 41,2 ⋅ 0,118 + 43,8 ⋅ 0,53 + 43,6 ⋅ 0,188 

µ = 45,82 

Die Erwerbsquote für Norddeutschland beträgt 45,82 %. 

Für diese Berechnung benötigt man die Länderwerte des Merkmals 

(Erwerbsquote) und die Länderanteile (Bevölkerungsanteil) als Gewichte. 




4 

2

Eigenschaften des arithmetischen Mittels 

Null-Eigenschaft: Die Summe der Abweichungen der 

Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel ist Null. 

Quadratische Minimumeigenschaft: Die Summe der 

quadrierten Abweichungen zwischen Beobachtungswerten 

und einem beliebigen Wert erreicht das Minimum für das 

arithmetische Mittel. 

Die Lineare Transformation der Beobachtungswerte 

bewirkt die analoge Transformation des arithmetischen 

Mittels. 

Das arithmetische Mittel einer Gesamtmasse aggregiert die 

arithmetischen Mittel von Teilmassen in gewogener Form. 




5 

Null-Eigenschaft des arithmetischen Mittels 

Die Summe der Abweichungen der Beobachtungswerte vom 

arithmetischen Mittel ist Null. 

N 

∑ 

i= 

1 

(a 

i 

− µ) = 0 

mit 

µ 

= 

N 

∑ 

i = 1 

N 

a 

i 

Beweis: 

N 

N 

N 

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 

(a 

i 

− µ) = a 

i 

− µ = a 

i 

− N⋅ 

µ = a 

i 

− a 

i 

= 0 

i= 1 

i= 

1 i= 

1 i= 1 

i= 

1 

N 

N 

N 

∑ 

i= 

1 




6 

3

Null-Eigenschaft des arithmetischen Mittels 

-Beispiel- 

Beispiel: Körpergewicht in kg von 10 Personen. 

Das arithmetische Mittel des Gewichtes der 10 betrachteten Personen beträgt 65 kg. 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

µ 

Lisa 

Anna 

Antje 

Marie 

Dörte 

Sven 

Uwe 

Kai 

Jan 

Nils 

Einige Abweichungen der Einzelwerte zum arithmetischen Mittel sind positiv 

die anderen negativ. Ihre Summe ist gleich null. 




7 

Quadratische Minimumeigenschaft 

des arithmetischen Mittels 

SQ(x) = 

Beweis: 

N 

∑ 

i= 

1 

(a i 

− x) 

2 

erreicht ein Minimum an der Stelle x=µ 

dSQ(x) 

dx 

N 

= −2 

N 

∑ 

i= 

1 

− 2∑(a 

i 

− x) = 0 

N 

∑ 

i= 

1 

i= 

1 

(a 

i 

− x) = 0 

(a i 

− x) 

Erste Ableitung der Funktion SQ(x) 

Notwendige Bedingung 

N 

∑ 

i= 

1 

a 

i 

− N⋅ 

x = 0 

x = 

N 

∑ 

i= 

1 

N 

a 

i 

= µ 

2 

d SQ(x) 

= + 2 > 0 

SQ(x) hat ein Minimum an der Stelle x= µ 

2 

dx 




8 

4

Quadratische Minimumeigenschaft des 

arithmetischen Mittels - Beispiel 

Beispiel: Vergleich der Abweichungsquadrate beim arithmetischen Mittel 

65 kg und zwei anderen Werten (75, 55) : 

(44-65)² (44-75)² (44-55)² 

+ (46-65)² + (46-75)² + (46-55)² 

+ (50-65)² + (50-75)² + (50-55)² 

+ (54-65)² + (54-75)² + (54-55)² 

+ (56-65)² + (56-75)² + (56-55)² 

+ (69-65)² + (69-75)² + (69-55)² 

+ (72-65)² + (72-75)² + (72-55)² 

+ (78-65)² + (78-75)² + (78-55)² 

+ (80-65)² + (80-75)² + (80-55)² 

+ (101-65)² + (101-75)² + (101-55)² 

= 2.984 = 3.984 = 3.984 




9 

Lineare Eigenschaft des arithmetischen Mittels 

Sei µ 1 

das arithmetische Mittel der N Beobachtungen eines Merkmals X. 

Sei Y eine lineare Transformation von X, d. h. 

y 

= ax b für alle i=1, 2, . . . , N 

i i 

+ 

Dann gilt für das arithmetische Mittel µ 2 

von Y: µ 2 

=aµ 1 

+b 

Beweis: 

N 

∑ 

N 

∑ 

y 

i 

ax 

i 

+ b a x 

i 

+ N⋅ 

b 

i= 

1 i= 

1 

i= 

1 

µ = = = 

= aµ 

1 

N N 

N 

2 

+ 

N 

∑ 

b 




10 

5

Lineare Eigenschaft des arithmetischen Mittel 

-Beispiel - 

Beispiel: Wäre das Gewicht aller erfassten Personen in Pfund statt in Kilogramm 

angegeben, würde sich das arithmetische Mittel entsprechend verdoppeln. Das 

arithmetische Mittel ist äquivariant gegenüber dieser Transformation. 

Gewicht 

200 

175 

150 

125 

100 

75 

50 

25 

0 

Lisa 

Anna 



Lineare Transformation 

Andje 

Marie 

Dörte 

Sven 

Uwe 

Kai 

Jan 

Nils 

Kilogramm 

Pfund 


Mittelwert aus 

transformierten Daten 

Y=2X (Gewicht in Pfund) 

µ y 

= 130 

Mittelwert aus 

ursprünglichen Daten 

X (Gewicht in kg) 

µ x 

= 65 

µ = 2 ⋅ 

y 

µ x 

11 

Aggregierbarkeit des arithmetischen Mittels 

Seien T 1 , T 2 , …, T k k Teilgesamtheiten jeweils mit 

N 1 , N 2 , …, N k Merkmalsträgern. Seien µ 1 , µ 2 , …, µ k 

die entsprechenden arithmetischen Mittel in der 

Teilgesamtheiten. Für das arithmetische Mittel µ der 

Grundgesamtheit G gilt: 

µ k 

N k 

µ 2 

µ 1 N 2 

N 1 

N1 

N 

2 

µ = ⋅ µ 

1+ 

⋅ µ 

2 

+ L+ 

N N 

N 

k 

N 

⋅ µ 

k 

= 

k 

∑ 

i= 

1 

N 

i 

N 

⋅µ 

i 

mit 

N = N L+ 

1+ 

N 

2 

+ N 

k 




12 

6

µ 


-Beweis- 

= 

k 

∑ 

i= 

i 

N 

i 

⋅µ 

i 

N 

und 



µ k 

N k 

µ 2 

µ 1 N 2 

N 1 

folgen: 

N 

∑ 

j= 

1 

N 

∑ 

j= 

1 

N 

x 

x 

Aus 

= 


j 

j 

N 

∑ 

j= 

1 

µ 

i 

= 

N 

i 

∑ 

+ 

j= 

1 

x 

j 

⇒ N 

i⋅ 

µ 

i 

= 

N 

i 

und 

1 N 

N 

x 

j 

2 

∑ 

j= 

1 

N1⋅ 

µ 

1 

N 

2⋅ 

µ 

2 

N 

k 

⋅µ 

µ = + + L+ 

N N N 

N 

x 

k 

j 

+ L+ 

x 

j 

x 

j 

= 

j= 

1 j= 

1 

+ 

N N 

+ L+ 

= 

k 

∑ 

i= 

i 

N 

i 

∑ 

j= 

1 

k 

∑ 

j= 

1 

1 N2 

Nk 

∑ 

∑ 

∑ 

j= 

1 

N 

13 

x 

x 

x 

N 

i 

⋅ µ 

i 

N 

j 

j 

j 


-Beispiel - 

Beispiel: Für die 250 nach Karosserieform gruppierten 

Autos ergeben sich folgende Mittelwerte: 

Karosserieform 

Großraumlimousine 

Kombi 

Schräghecklimousine 

Stufenhecklimousine 

Mittelwert 

108,06 

110,15 

93,97 

169,25 

Gruppenumfang 

16 

20 

117 

97 

µ 

µ 

Gesamt 

Gesamt 

16 

= 108,06 ⋅ + 110,15⋅ 

250 

= 125,37 PS 

20 

250 

117 

+ 93,97 ⋅ + 169,25⋅ 

250 

97 

250 




14 

7

Beurteilung des arithmetischen Mittels 

‣ Das arithmetische Mittel ist der in der Praxis am 

häufigsten verwendete Mittelwert. 

‣ Für Verteilungen, die stärker von den 

Eigenschaften der Symmetrie und Eingipfeligkeit 

abweichen, eignet sich das arithmetische Mittel 

nicht, da der berechnete Mittelwert nicht das 

Zentrum der Verteilung repräsentiert. 




15 

Beurteilung des arithmetischen Mittels -Beispiel 

Es sei folgende empirische Häufigkeitsverteilung gegeben: 

f(x i 

) 

Der numerische Wert für das arithmetische Mittel ist „richtig“. 

Sachlich ist dieser Mittelwert jedoch ungeeignet, da er eine falsche 

Vorstellung vom Zentrum der Verteilung vermittelt. Denken sie an die Kuh! 

x i 




16 

8

Geometrisches Mittel 

Das geometrische Mittel ist dann anzuwenden, wenn 

Wachstumsfaktoren, Indexzahlen, die für mehrere 

Zeitperioden vorliegen, gemittelt werden sollen. 

Für eine Reihe einzelner Werte (Wachstumsfaktoren, 

Indexzahlen) a 1 , a 2 , . . . a N ermittelt man das ungewogene 

geometrische Mittel G wie folgt: 

Anzahl der multiplikativ 

verknüpften Faktoren 

G 

= 

N 

a 

1⋅ 

a 

2⋅... 

⋅ a 

N 

Wachstumsfaktor, Indexzahl 

als Verhältnis zweier 

Bestandsdaten 




17 

Geometrisches Mittel - Beispiel 

Beispiel: Der Zinsplan einer 5-jährigen Festgeldanlage sieht folgende 

Verzinsung vor: 

Im 1. Jahr: 4,5% 

Im 2. Jahr: 5,0% 

Im 3. Jahr: 5,5% 

Im 4. Jahr: 6,0% 

Im 5. Jahr: 6,5% 

Wie hoch ist die durchschnittliche Verzinsung G der 5 Jahre Verwenden Sie in 

der Formel die Indexzahlen und nicht die ausgewiesenen Prozentwerte! 

G = 

N 

a 

1⋅ 

a 

2⋅... 

⋅ a 

N 

G = 

5 

G = 1,055 

1,045⋅1,05⋅1,055⋅1,06 

⋅1,065 

Verzinsung durchschnittlich 

pro Jahr 5,5% 




18 

9

Geometrisches Mittel - Beispiel 

Beispiel: Der Zinsplan einer 5-jährigen Festgeldanlage A sieht folgende Verzinsung 

vor: 

Im 1. Jahr: 4,5% Im 4. Jahr: 6,0% 

Im 2. Jahr: 5,0% Im 5. Jahr: 6,5% 

Im 3. Jahr: 5,5% 

Wie hoch ist die durchschnittliche Verzinsung G der 5 Jahre Verwenden Sie in der 

Formel die Indexzahlen und nicht die ausgewiesenen Prozentwerte! 

Lösung: 

Nach 5 Jahren hat die Anlage einen Wert von: 

Wenn G die durchschnittliche Verzinsung der 5 Jahre ist, dann muss folgendes gelten: 

5 

G⋅ 

G⋅ 

G⋅ 

G⋅ 

G⋅ 

A = G ⋅ A = 1,045⋅1,05⋅1,055⋅1,06 

⋅1,065⋅ 

A 

Daraus folgt: 

G = 

5 1,045⋅1,05⋅1,055⋅1,06 

⋅1,065 

= 1,055 




1,045⋅1,05⋅1,055⋅1,06 

⋅1,065⋅ 

A 

Verzinsung 

durchschnittlich 

pro Jahr 5,5% 

19 

Geometrisches Mittel für gehäufte Daten 

Treten Wachstumsfaktoren gehäuft auf, so gilt: 

Wachstumsfaktor h(a i ) 

a 1 

h 1 

a 2 h 2 

. 

. 

. 

. 

G 

= 

N 

Wachstumsfaktor 

a 

h 

1 

1 2 

⋅ a ⋅... 

⋅ a 

h 

2 

h 

k 

k 

. 

a k 

Summe 

. 

h k 

N 

Anzahl des Auftretens des 

jeweiligen Wachstumsfaktors 




20 

10

Geometrisches Mittel für gehäufte Daten 

-Beispiel - 

Beispiel: Berechnen Sie den durchschnittlichen Wachstumsfaktor 

Wachstumsfaktoren 

1,10 

1,15 

1,20 

1,25 

1,30 

1,35 

Summe 

h(a i ) 

4 

1 

3 

2 

5 

3 

18 

6 

h(a i 

) 

4 

2 

0 

1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 

G = 

= 

18 

1,10 

1 3 

⋅1,15 

⋅1,20 

41,528898 = 1,23 

⋅1,25 

⋅1,30 

⋅1,35 

18 4 

2 5 3 




21 

Geometrisches Mittel für gehäufte Daten - Beispiel 

Beispiel: Russlands Präsident Putin hat angekündigt, Russland werde den 

wirtschaftlichen Output binnen 10 Jahre verdoppeln. Mit welcher Rate muss das 

Inlandsprodukt durchschnittlich pro Jahr wachsen, damit das Ziel erreicht wird 

Für die Entwicklung des Inlandsproduktes (Bestandsdaten B 0 

) nach 

10 Jahren mit durchschnittlichem Wachstum G pro Jahr gelten: 

B 

G 

= 2 ⋅ 

10 

B 0 

10 

⋅ B 



0 

= 2 ⋅ B 

0 


G = 

10 2 

G = 1,0718 

Soll das ehrgeizige Ziel erreicht werden, muss das Inlandsprodukt im Durchschnitt 

um 7,18% p. a. steigen. 

Es gilt für die Entwicklung des Inlandsproduktes (Bestandsdaten B 0 

) in den 

Perioden 0,1,…,N 

B N 

= B 0 

* G N 

22 

11

Beurteilung des geometrischen Mittels 

‣ Das geometrische Mittel ist das Analog0n zum 

arithmetischen Mittel, bei dem jede Rechenoperation um 

eine Stufe erhöht ist. 

‣ Abweichend zum arithmetischen Mittel müssen zur 

Anwendung des geometrischen Mittels ausschließlich 

positive Merkmalswerte vorliegen. 

‣ Aussage des geometrischen Mittels: Würde eine Größe mit 

dem geometrischen Mittel wachsen, so käme der selbe 

Endwert zustande, wenn die Größe um die jeweiligen 

Wachstumsfaktoren wachsen würde. 

In diesem Sinne ist das geometrische Mittel der 

durchschnittliche Wachstumsfaktor. 




23 

Eigenschaften des geometrischen Mittels 

‣ Das geometrische Mittel hat anstelle der Null- 

Eigenschaft die Eins-Eigenschaft. Es gilt: 

N 

∏ 

a 

i 

G 

= 1 

i= 1 


Das Produkt der Verhältniszahlen zwischen 

Einzelwerten und geometrischem Mittel ist Eins. 

‣Der Logarithmus des geometrischen Mittels ist das 

arithmetische Mittel der logarithmierten Einzelwerte. 

G = 

N 

a 

1⋅ 

a 

2⋅... 

⋅ a 

N 

lnG = 

N 

∑ 

i= 

1 

lna 

N 

i 




24 

12

Eins-Eigenschaften des geometrischen Mittels 

- Beweis - 

N 

∏ 

i= 

1 

a 

i 

G 

= 1 

Das Produkt der Verhältniszahlen zwischen 

Einzelwerten und geometrischem Mittel ist Eins. 


N 

∏ 

i= 

1 

a 

i 

G 

a1 

a 

2 

a 

N 

a 

= ⋅ L = 

G G G 

= 

a 

1 

⋅ a 

La 

( 

N 

a ⋅ a La 

) 

1 

2 

2 

N 

N 

N 

1 

⋅ a 

= 

2 

N 

G 

a 

a 

La 

1 

1 

⋅ a 

⋅ a 

2 

2 

N 

La 

La 

N 

N 

= 1 




25 

Harmonisches Mittel 

Das harmonische Mittel wird angewendet, wenn die 

Merkmalsausprägungen als Quotienten gegeben sind, deren 

Nennergrößen nicht vorliegen. 

Man unterscheidet: 

1.) Ungewogenes harmonisches Mittel 

2.) Gewogenes harmonisches Mittel. 

Ungewogenes harmonisches Mittel: 

= N 1 

H = 

N 

1 1 

N 

∑ 

∑ 

1 

i= 

1 a 

i 

N i= 

1 a 

i 

Quotient, über dessen Zähler Angaben 

vorliegen, über dessen Nenner jedoch nicht. 




26 

13

Ungewogenes harmonisches Mittel - Beispiel 

Beispiel: Ein Fahrzeug fährt auf vier gleich langen Teilstrecken folgende 

Geschwindigkeiten: 

1.) v 1 

=40 km/h → t 1 

=L/v 1 

2.) v 2 

=50 km/h → t 2 

=L/v 2 

3.) v 3 

=80 km/h → t 3 

=L/v 3 

4.) v 4 

=100 km/h → t 4 

=L/v 4 

Ein falsches Ergebnis liefert die einfache arithmetische Mittelung 

der vier Geschwindigkeiten. Dieser Mittelwert beträgt 67,5 km/h. 



L 


L 

L 

L 

t 1 t 2 

t 3 

t 4 

Der Zähler des Verhältnisses, die Länge der Strecke, ist ausreichend spezifiziert 

(gleichlange Teilstrecken), über den Nenner, die dafür benötigte Zeit, liegen keine 

direkten Angaben vor. Die Zeit für die jeweiligen Teilstrecken lässt sich aus der 

Geschwindigkeit und der Länge der Strecke berechen. 

Weg 

4 L 

4 

Durchschni tt_V = = 

= 

= 59,26km/h 

Fahrzeit L L L L 1 1 1 1 

+ + + + + + 

40 50 80 100 40 50 80 100 

27 

Ungewogenes harmonisches Mittel - Beispiel 

Erweitern wir das Beispiel und nehmen an, dass jede Teilstrecke 10 km lang ist. 

Dann ergibt sich eine Gesamtstrecke von 40 km, eine Gesamtfahrzeit von 0,675 

Stunden und eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 59,26 km/h. 

L L L L 

t 1 t 2 

t 3 

t 4 

10 + 10 + 10 + 10 

V = 

= 59,26 km/h 

0,25 + 0,20 + 0,125 + 0,10 

Im Nenner des harmonischen Mittels wird die zurückgelegte Fahrzeit 

ausgewiesen. Sie wird aus dem Verhältnis Weg/Geschwindigkeit berechnet. 

Man erhält das gleiche Ergebnis. Das heißt, die Durchschnittgeschwindigkeit 

ist vom konkreten Wert der Strecke unabhängig. 




28 

14

Gewogenes harmonisches Mittel 

Das harmonische Mittel ist unter Verwendung 

gehäufter bzw. klassierter Daten zu berechnen: 

H 

= k 

∑ 

i= 

1 

Klassenanzahl 

1 

1 

x 

i 

f 

i 

Relative Häufigkeit des Merkmals 

Merkmal (Verhältnis), über dessen Zähler Angaben 

vorliegen, über dessen Nenner jedoch nicht 




29 

Gewogenes harmonisches Mittel - Beispiel 

Beispiel: Es liegen die Arbeitslosenquoten nach Gebieten vor, aus denen die 

Arbeitslosenquote für Deutschland gesamt berechnet werden soll: 

Neue Länder 

Alte Länder 

Deutschland 

Anzahl der Arbeitslosen 

1.047.015 

2.564.906 

3.611.921 

Arbeitslosenquote in % 

14,9 

9,3 

Aus den Zahlen der Arbeitslosen wird die relative Häufigkeit f i 

ermittelt: 

1.047.015 2.564.906 = 0,28988 

= 0,71012 

3.611.921 

3.611.921 

1 

H 1 

H = 

= 10,44% 

1 

1 

1 

∑ f 

i 

⋅ 0,28988 + ⋅ 0,71012 

x 

14,9 9,3 

= k 

i= 

1 

i 




30 

15

Beurteilung des harmonischen Mittels 

‣ Analog zum arithmetischen Mittel setzt die Ermittlung ebenfalls 

kardinalskalierte Merkmale voraus. 

‣ Eine zweite Anwendungsvoraussetzung sind positive 

Merkmalswerte. 

‣ Das harmonische Mittel wird für Fälle umgekehrter 

Proportionalität verwendet. 

‣ Bedeutung hat das harmonische Mittel, wenn die Einzelwerte 

Verhältniszahlen sind. 

‣ Bei der Gewichtung der Verhältniszahlen ist nicht die Nenner-, 

sondern die Zählergröße zu verwenden. 




31 

Das chronologische Mittel ist eine spezielle Maßzahl, welche zur statistischen 

Beschreibung von Beständen (B) gebraucht wird. Aus methodischer Sicht ist 

die Unterscheidung von Bestands-, Bewegungs- und korrespondierenden 

Massen notwendig (Abschnitt 2.1.2). Bestandsmassen verweilen über einen 

bestimmten Zeitraum hinweg, sie werden zu diskreten Zeitpunkten gemessen. 

1 

= ⎢ ∑ − 0 

k ⎣ 

i= 

k 1 

⎡ 

⎤ 

( ; t ) 0,5 ⋅ B + B + 0,5 ⋅ B ⎥ ⎦ 

B t 

Chronologisches Mittel 

Liegen Bestandsmessungen zu möglichst äquidistanten Zeitpunkten vor, dann 

liefert das chronologische Mittel eine Aussage über den Durchschnittsbestand 

für einen Zeitraum. Es verwendet dazu die mittleren Bestände aller 

Zeitintervalle k. Es gilt: 

a 

e 

Durch die Verwendung der mittleren Bestände je Zeitintervall [t i 

, t i+1 

] gehen 

die Randwerte nur mit halbem Gewicht in die Durchschnittsberechnung ein. 

1 

i 

k 




32 

16

Chronologisches Mittel 

Beispiel: Aus folgenden Stichtagsbeständen je Zeitintervall (Monat) ist der 

Durchschnittsbestand für das erste Quartal zu berechnen: 

Stichtag 

01.01. 

31.01. 

Bevölkerungsbestand 

1000 

1010 


pro Monat 

1005 


pro Quartal 

01.02. 

28.02. 

1010 

1020 

1015 

1015 

01.03. 

31.03. 

1020 

1030 

1025 



( 1000 + 1010) ( 1010 + 1020) ( 1020 1030) 

⎡ + 

⎢ 

+ 

+ 

⎣ 2 

2 

2 

Schrittweise Berechnung: 

3 

500 + 1010 + 1020 + 515 

Direkte Berechnung: 

= 1015 

3 


⎤ 

⎥ 

⎦ 

= 1015 

33 

Beispiel: Für sieben aufeinander folgende Tage weist die Kasse eines 

Unternehmens am Geschäftsschluss (18 Uhr) folgende Bestände auf: 

Werktag 

01.03. 

02.03. 

03.03. 

04.03. 

05.03. 

06.03 

07.03. 

Chronologisches Mittel - Beispiel 

Kassenbestand (€) 

18.00 Uhr 

3.211,56 

2.831,11 

3.760,30 

2.928,89 

2.438,71 

3.461,96 

4.023,44 

4500 

4000 

3500 

3000 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

Durchschnittlicher Kassenbestand 

0 

1 2 3 4 5 6 7 

B = (1605,78 + 15420,97 + 2011,72) / 6 = 3173,08 

Der tagesdurchschnittliche Kassenbestand in der ersten Märzwoche 

beträgt 3.173,08 Euro. 




34 

17

Zusammenfassung Mittelwerte 

‣ Eignung nach Skalierung: 

Kardinalskala 

Ordinalskala 

Nominalskala 

Arithmetisches Mittel 

X 

Median 

X 

X 

Modus 

X 

X 

X 

‣ Der Median und der Modus sind Lageparameter, deren Werte bei 

diskreten Merkmalen i. Allg. mit realen Merkmalsausprägungen 

übereinstimmt. 

‣ Berechnete Mittelwerte sind arithmetisches, geometrisches, 

harmonisches und chronologisches Mittel. Die Eignung des jeweiligen 

Mittelwertes hängt von Spezifika der Daten ab. In jedem Fall müssen 

die Merkmale jedoch kardinalskaliert sein. 




35 


Symmetrieregeln geben die Größenbeziehung 

zwischen den Mittelwerten an. 

Für metrisch skalierte Merkmale können das arithmetische 

Mittel, der Median und der Modus auch dazu verwendet 

werden, um Symmetrie oder Schiefe einer Verteilung 

beurteilen zu können. Der Vergleich der numerischen Werte 

liefert Vorstellungen über die Verteilungsform. 

f(x) 

• Bei symetrischer Verteilung gilt: 

AM=Me=Mo 

bzw. angeschwächt: 

AM~Me~Mo 

µ = Me = Mo 

x 




36 

18


f(x) 

• Bei linkssteiler (rechtsschiefer) 

Verteilung gilt: 

AM>Me>Mo 

Mo 

Me 

µ 

x 

f(x) 

• Bei rechtssteiler (linksschiefer) 

Verteilung gilt: 

AM

Vorsicht bei Mittelwerten! 

„Sollen wir das arithmetische 

Mittel als durchschnittliche 

Körpergröße nehmen und den 

Gegner erschrecken, oder 

wollen wir ihn einlullen und 

nehmen den Median“ 

Entnommen aus Krämer, W. So lügt man mit Statistik. 




39 


Median oder arithmetisches Mittel 

(Aus Krämer: So lügt man mit Statistik) 

...Wenn z.B. der Präsident der Bundesärztekammer vom 

mittleren Einkommen der deutschen Ärzte spricht, meint er 

i.d.R. nicht das arithmetische Mittel sondern den Median. Wann 

immer im deutschen Ärzteblatt von Geld die Rede ist, erinnert 

man sich gern daran, dass es außer dem arithmetische Mittel 

noch andere Mittelwerte gibt. 

Auf der anderen Seite rufen Kritiker, die meinen, deutsche Ärzte 

verdienen viel zu viel, gern das arithmetische Mittel in den 

Zeugenstand. Dieses ist wie bei allen rechtsschiefen Verteilungen 

immer größer als der von den Ärzten bevorzugte Median. 

Z. B. Laborarzt: Arithmetische Mittel: 700.000 DM p.a. 

Median: 500.000 DM p.a. 




40 

20


Das durchschnittliche Einkommen im Sultanat Brunei beträgt nach 

dem arithmetischen Mittel berechnet 54.000 DM, für Deutschland 

dagegen 46.000 DM. 

Zu beachten ist jedoch, dass die Einkommensverteilung in Brunei 

erheblich schiefer ist als die von Deutschland. Lässt man den Sultan, 

der als reichster Mensch der Erde gilt, und seine Familie weg, sieht das 

Bild schon ganz anders aus. 

Solche „Ausreißer“, wie die Statistiker sagen, ziehen das arithmetische 

Mittel an sich heran wie ein Magnet. 

Aus Krämer, W. So lügt man mit Statistik. 




41 

Überlegen Sie selbst! 

Berechnen Sie für die 

ausgewiesenen Jahre die 

durchschnittliche 

Kinderzahl, die 

Akademikerinnen in 

West- und in 

Ostdeutschland haben. 

Wie müsste man vorgehen, 

wenn aus diesen Daten ein 

„Durchschnittswert“ für 

Deutschland über 

Kinderlosigkeit bei 

Akademikerinnen 

ausgewiesen werden soll 

Quelle: http://www.spiegel.de/unispiegel/jobundberuf/0,1518,373449,00.html 


42 



21

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

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