Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

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Typen von Mittelwerten Die im Abschnitt 6.1.1 vermittelten Mittelwerte sind: ‣Häufigster Wert (Modus) ‣Zentralwert (Median) ‣Arithmetisches Mittel ‣Harmonisches Mittel ‣Chronologisches Mittel ‣Geometrisches Mittel Prof. Kück / R. Bernitz / Dr. Ricabal Lehrstuhl Statistik Lage- und Streuungsparameter II 3 Arithmetisches Mittel - Beispiel Beispiel: Aus den Erwerbsquoten der fünf Bundesländer soll die Erwerbsquote für Norddeutschland berechnet werden (Klausuraufgabe 3 vom Februar 2003). Bundesland Bevölkerungsanteil (%) Erwerbstätige (Tsd.) Erwerbsquote (%) BIP (Mrd.€) Bremen 4,8 385 53,5 23,4 Hamburg 11,6 1.048 60,2 75,5 Mecklenburg-V. 11,8 730 41,2 29,7 Niedersachsen 53,0 3.482 43,8 180,4 Schleswig-Holst. 18,8 1.230 43,6 66,0 k µ = ∑ x if i= 1 i µ = 53,5 ⋅ 0,048 + 60,2 ⋅ 0,116 + 41,2 ⋅ 0,118 + 43,8 ⋅ 0,53 + 43,6 ⋅ 0,188 µ = 45,82 Die Erwerbsquote für Norddeutschland beträgt 45,82 %. Für diese Berechnung benötigt man die Länderwerte des Merkmals (Erwerbsquote) und die Länderanteile (Bevölkerungsanteil) als Gewichte. Prof. Kück / R. Bernitz / Dr. Ricabal Lehrstuhl Statistik Lage- und Streuungsparameter II 4 2
Eigenschaften des arithmetischen Mittels Null-Eigenschaft: Die Summe der Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel ist Null. Quadratische Minimumeigenschaft: Die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen Beobachtungswerten und einem beliebigen Wert erreicht das Minimum für das arithmetische Mittel. Die Lineare Transformation der Beobachtungswerte bewirkt die analoge Transformation des arithmetischen Mittels. Das arithmetische Mittel einer Gesamtmasse aggregiert die arithmetischen Mittel von Teilmassen in gewogener Form. Prof. Kück / R. Bernitz / Dr. Ricabal Lehrstuhl Statistik Lage- und Streuungsparameter II 5 Null-Eigenschaft des arithmetischen Mittels Die Summe der Abweichungen der Beobachtungswerte vom arithmetischen Mittel ist Null. N ∑ i= 1 (a i − µ) = 0 mit µ = N ∑ i = 1 N a i Beweis: N N N ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (a i − µ) = a i − µ = a i − N⋅ µ = a i − a i = 0 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 N N N ∑ i= 1 Prof. Kück / R. Bernitz / Dr. Ricabal Lehrstuhl Statistik Lage- und Streuungsparameter II 6 3
Seite 1: Auswertung univariater Datenmengen
Seite 5 und 6: Quadratische Minimumeigenschaft des
Seite 7 und 8: µ Aggregierbarkeit des arithmetisc
Seite 9 und 10: Geometrisches Mittel Das geometrisc
Seite 11 und 12: Geometrisches Mittel für gehäufte
Seite 13 und 14: Eins-Eigenschaften des geometrische
Seite 15 und 16: Gewogenes harmonisches Mittel Das h
Seite 17 und 18: Chronologisches Mittel Beispiel: Au
Seite 19 und 20: Zusammenfassung Mittelwerte f(x)
Seite 21: Vorsicht bei Mittelwerten! Das durc

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