Aufgaben
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Inhaltsverzeichnis:<br />
Übungsaufgaben zu Kapitel 4 ............................................................................................. 3<br />
Aufgabe 28 .................................................................................................................. 3<br />
Aufgabe 29 .................................................................................................................. 3<br />
Aufgabe 30 .................................................................................................................. 4<br />
Aufgabe 31 .................................................................................................................. 4<br />
Aufgabe 32 .................................................................................................................. 4<br />
Aufgabe 33 .................................................................................................................. 4<br />
Aufgabe 34 .................................................................................................................. 5<br />
Aufgabe 35 .................................................................................................................. 5<br />
Aufgabe 36 .................................................................................................................. 5<br />
Aufgabe 37 .................................................................................................................. 5<br />
Aufgabe 38 .................................................................................................................. 5<br />
Aufgabe 39 .................................................................................................................. 6<br />
Aufgabe 40 .................................................................................................................. 6<br />
Aufgabe 41 .................................................................................................................. 6<br />
Aufgabe 42 .................................................................................................................. 6<br />
Aufgabe 43 .................................................................................................................. 6<br />
Aufgabe 44 .................................................................................................................. 7<br />
Aufgabe 45 .................................................................................................................. 7<br />
Aufgabe 46 .................................................................................................................. 7<br />
Aufgabe 47 .................................................................................................................. 7<br />
Aufgabe 48 .................................................................................................................. 7<br />
Aufgabe 49 .................................................................................................................. 8<br />
Aufgabe 50 .................................................................................................................. 8<br />
Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004): ..................................................................... 8<br />
Aufgabe 52 .................................................................................................................. 8<br />
Aufgabe 53 .................................................................................................................. 8<br />
Aufgabe 54 .................................................................................................................. 9<br />
Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000):........................................................... 9<br />
Aufgabe 56 ................................................................................................................ 10<br />
Aufgabe 57 ................................................................................................................ 10<br />
Aufgabe 58 ................................................................................................................ 10<br />
Aufgabe 59 ................................................................................................................ 10<br />
Aufgabe 60 ................................................................................................................ 11<br />
Aufgabe 61 ................................................................................................................ 11<br />
Aufgabe 62 ................................................................................................................ 11<br />
Aufgabe 63 ................................................................................................................ 12<br />
Aufgabe 64 ................................................................................................................ 12<br />
Aufgabe 65 ................................................................................................................ 12<br />
Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05) .................................................................. 12<br />
Aufgabe 67 ................................................................................................................ 12<br />
Aufgabe 68 ................................................................................................................ 13<br />
Aufgabe 69 ................................................................................................................ 13<br />
Aufgabe 70 ................................................................................................................ 13<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 1 von 22<br />
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Aufgabe 71 ................................................................................................................ 13<br />
Aufgabe 72 ................................................................................................................ 14<br />
Aufgabe 73 ................................................................................................................ 14<br />
Aufgabe 74 ................................................................................................................ 14<br />
Aufgabe 75 ................................................................................................................ 14<br />
Aufgabe 76 ................................................................................................................ 14<br />
Aufgabe 77 ................................................................................................................ 15<br />
Aufgabe 78 ................................................................................................................ 15<br />
Aufgabe 79 ................................................................................................................ 15<br />
Aufgabe 80 ................................................................................................................ 15<br />
Aufgabe 82 ................................................................................................................ 16<br />
Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007) .......................................................... 16<br />
Aufgabe 84 ................................................................................................................ 16<br />
Aufgabe 85 ................................................................................................................ 17<br />
Aufgabe 86 ................................................................................................................ 19<br />
Aufgabe 87 ................................................................................................................ 19<br />
Aufgabe 88 ................................................................................................................ 19<br />
Aufgabe 89 ................................................................................................................ 19<br />
Aufgabe 90 ................................................................................................................ 20<br />
Aufgabe 91 ................................................................................................................ 20<br />
Aufgabe 92 ................................................................................................................ 20<br />
Aufgabe 93 ................................................................................................................ 20<br />
Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) ............................................. 20<br />
Aufgabe 95 ................................................................................................................ 21<br />
Aufgabe 96 ................................................................................................................ 21<br />
Aufgabe 97 ................................................................................................................ 21<br />
Aufgabe 98 ................................................................................................................ 21<br />
Aufgabe 99 ................................................................................................................ 21<br />
Aufgabe 100 .............................................................................................................. 22<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 2 von 22<br />
Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen
Übungsaufgaben zu Kapitel 4<br />
Aufgabe 28<br />
Vervollständigen Sie die Tabelle über Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
mit Beispielen:<br />
Begriff<br />
Zufallsexperiment: ein (prinzipiell) beliebig<br />
oft wiederholbares Experiment, dessen<br />
Ergebnis aufgrund von Zufallseinflüssen<br />
nicht vorhersehbar ist.<br />
Realisierung eines Zufallsexperiments: das<br />
Ergebnis der tatsächlichen Durchführung<br />
eines Zufallsexperiments.<br />
Ergebnisraum Ω : umfasst alle möglichen<br />
Ergebnisse eines Zufallsexperiments.<br />
Ereignis: Teilmenge von Ω , enthält ein<br />
Ergebnis oder mehrere Ergebnisse, oder<br />
auch alle Ergebnisse oder gar kein Ergebnis.<br />
Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses<br />
A: beschreibt, wie groß die Chance des<br />
Eintretens von A ist.<br />
Relative Häufigkeit eines Ereignisses A:<br />
Wird ein Zufallsexperiment n-mal realisiert,<br />
und tritt dabei das Ereignis A genau k-mal<br />
ein, so heißt h n (A) = k/n) die relative<br />
Häufigkeit von A.<br />
Beispiel<br />
Aufgabe 29<br />
a) Aus welchen Elementen besteht die Ergebnismenge Ω, wenn als Zufallsexperiment<br />
ein Würfel geworfen wird und die Augenzahl abgelesen wird.<br />
b) Beschreiben Sie die Ergebnismenge Ω wenn das Zufallsexperiment wie folgt<br />
aussieht: Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe vom Umfang 100<br />
werden gezählt.<br />
c) Bei der samstäglichen Ziehung der Lottozahlen werden 7 aus 49 (von 1 bis 49<br />
durchnummerierten) Kugeln „zufällig“ gezogen und die jeweiligen Nummern<br />
registriert. Jeden Samstag vollzieht sich somit ein Zufallsexperiment. Aus welchen<br />
Elementarergebnissen besteht das Experiment<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 3 von 22<br />
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Aufgabe 30<br />
a) Zufallsexperiment Wurf eines Würfels: Geben Sie die Ereignisse A=Wurf einer<br />
geraden Augenzahl und B=Wurf von Augenzahl 2 an.<br />
b) Zufallsexperiment Zählung der defekten Glühbirnen in einer Stichprobe: Geben Sie<br />
die Ereignisse A=keine defekte Glühbirne und B=höchstens zwei defekte Glühbirnen<br />
an.<br />
c) Zufallsexperiment Wurf von zwei Münzen: Geben Sie die Ergebnismenge Ω, sowie<br />
die Ereignisse A=Wurf von mindestens einem Kopf, B=Wurf von genau einer Zahl an.<br />
Aufgabe 31<br />
In einer Lostrommel befinden sich 4000 Lose, die von 1 bis 4000 durchnummeriert sind.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das erste gezogene Los ein gewinn, wenn<br />
a) jedes Los, das mit einer 1 beginnt gewinnt.<br />
b) Jedes Los, dessen Nummer eine durch 17 teilbare Zahl darstellt gewinnt.<br />
Aufgabe 32<br />
Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer Bücherei 10 Bücher auf ein Regalbrett zu<br />
stellen, wenn<br />
a) alle 10 Bücher verschieden sind<br />
b) es 10 Bücher aus einem dreibändigen Werk sind, und zwar 3-mal der erste Band, 2-<br />
mal der zweite Band und 5-mal der dritte Band (Die verschiedenen Exemplare ein<br />
und desselben Bandes sind nicht zu unterscheiden.)<br />
Aufgabe 33<br />
Beim Fußballtoto (13er-Wette) ist der Ausgang von 13 vorher festgelegten Begegnungen<br />
zu tippen. Für jede Begegnung muss auf dem Wettschein eine „1“ (= Sieg der Heimmannschaft),<br />
eine „2“ (= Sieg der Auswärtsmannschaft) oder eine „0“ (= Unentschieden)<br />
eingetragen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier, den Wettschein (Muster eines<br />
Toto-Spielscheines: siehe Abbildung) auszufüllen<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 4 von 22<br />
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Muster<br />
Aufgabe 34<br />
Ein Passwort kann aus sechs bis acht Zeichen bestehen (Kleinbuchstaben oder Ziffern).<br />
Wie viele mögliche Passwörter gibt es<br />
Aufgabe 35<br />
Bei einer Pferdewette sind die ersten drei Plätze eines Pferderennens zu tippen. Es<br />
nehmen 20 Pferde am Rennen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Wettschein<br />
auszufüllen<br />
Aufgabe 36<br />
Der Vorstand eines Unternehmens besteht aus fünf Personen A, B, C, D, E. Für ein bestimmtes<br />
Projekt soll eine Arbeitsgruppe mit drei Mitgliedern gebildet werden. Wie viele<br />
solcher Arbeitsgruppen sind möglich<br />
Aufgabe 37<br />
Unter den 250 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose. Herr X kauft zu Beginn<br />
der Lotterie gleich 20 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er 5 Gewinnlose<br />
erwischt<br />
Aufgabe 38<br />
Auf wie viele Arten können sich zwei nicht unterscheidbare Spatzen auf vier<br />
Telegraphenleitungen verteilen Schreiben Sie alle Möglichkeiten auf.<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 5 von 22<br />
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Aufgabe 39<br />
Wie viele Autokennzeichen kann eine Zulassungsstelle vergeben, wenn jedes<br />
Kennzeichen nach dem Ortskennzeichen aus 2 Buchstaben und einer vierstelligen Zahl<br />
besteht<br />
Aufgabe 40<br />
Bei einem Festakt wurde ein Tisch für 8 Ehrengäste reserviert. Aus Versehen wurden die<br />
Tischkarten mit den Namen für die Gäste nicht an die Plätze gelegt, so dass die<br />
Ehrengäste ihren Platz am Tisch selbst wählten.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass alle Ehrengäste zufällig die mit den Platzkarten<br />
beabsichtigte Sitzordnung fanden, wenn man alle Sitzordnungen als gleich<br />
wahrscheinlich annimmt<br />
Aufgabe 41<br />
a) Wie viele verschiedene Würfe sind mit zwei nicht unterscheidbaren Würfeln<br />
möglich<br />
Hinweis: Ein „Wurf“ ist gekennzeichnet durch die beiden oben liegenden<br />
Augenzahlen. Beachten Sie, dass die Würfel nicht unterscheidbar sind, so dass { 1 , 2}<br />
denselben Wurf darstellt wie { 2 ,1}<br />
.<br />
b) Schreiben Sie alle möglichen Würfe auf..<br />
Aufgabe 42<br />
Eine Urne enthält 3 Kugeln, die mit „A“, „B“ und „C“ beschriftet sind. Es wird zweimal<br />
aus der Urne gezogen. Man kann auf verschiedene Arten ziehen bzw. das Ergebnis<br />
notieren:<br />
1. Es wird mit Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und welche<br />
als zweite gezogen wird.<br />
2. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. Es wird notiert, welche Kugel als erste und<br />
welche als zweite gezogen wird.<br />
3. Es wird mit Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste<br />
(vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft<br />
„A“, „B“ und „C“ gezogen wurde.<br />
4. Es wird ohne Zurücklegen gezogen. In einer Strichliste<br />
A B C<br />
(vgl. Abbildung) wird nur notiert, wie oft „A“, „B“ und „C“ gezogen wurde.<br />
a) Berechnen Sie für jede der vier oben genannten Arten, wie viele Möglichkeiten<br />
auftreten.<br />
b) Schreiben Sie für jede der vier Arten alle vorkommenden Möglichkeiten auf.<br />
Aufgabe 43<br />
Eine Lieferung aus 100 Glühbirnen enthält 5 defekte. Es werden zufällig 10 Glühbirnen<br />
gezogen.<br />
a) Wie viele verschiedene Stichproben sind möglich<br />
b) Wie viele dieser Stichproben enthalten nur unbeschädigte Glühbirnen<br />
c) Wie viele der möglichen Stichproben haben genau zwei defekte Glühbirnen<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 6 von 22<br />
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d) Wie viele der möglichen Stichproben haben höchstens zwei defekte Glühbirnen<br />
Aufgabe 44<br />
Franz Vergesslich kann sich an eine wichtige Telefonnummer nicht mehr erinnern. Er<br />
weiß nur noch, dass weder eine 0 noch eine 8 vorkam und die Nummer aus 5 Ziffern<br />
bestand.<br />
a) Wie viele solche Telefonnummern gibt es<br />
b) Franz ist außerdem wieder eingefallen, dass keine Ziffer doppelt vorkam. Wie viele<br />
Nummern gibt es jetzt noch<br />
Aufgabe 45<br />
Eine Lieferung von zehn PCs enthält drei fehlerhafte Geräte. Man entnimmt dieser<br />
Lieferung eine Stichprobe vom Umfang 5.<br />
a) Wie viele verschiedene Stichproben vom Umfang 5 gibt es<br />
b) Wie viele Stichproben enthalten genau zwei defekte Geräte<br />
c) Wie viele Stichproben enthalten mindestens ein defektes Gerät<br />
Aufgabe 46<br />
Ein Weinversand hat 18 Weine im Angebot. Die Kunden können sich hieraus Kisten mit<br />
6 Flaschen zusammenstellen, wobei sie freie Auswahl haben (es müssen also z. B. nicht 6<br />
gleiche oder 6 unterschiedliche Weine sein). Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Kiste<br />
zusammenzustellen<br />
Aufgabe 47<br />
Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal ohne Zurücklegen<br />
gezogen. Uns interessieren die Ereignisse<br />
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;<br />
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.<br />
a) Beschreiben Sie die Gegenereignisse A und B mit Worten.<br />
b) Berechnen Sie P (A)<br />
und P (A)<br />
.<br />
c) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∩ B mit Worten.<br />
d) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∪ B mit Worten.<br />
e) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt.<br />
f) Wie groß ist P( A ∩ B)<br />
<br />
g) Wie groß ist P (B)<br />
<br />
h) Wie groß ist P( A ∪ B)<br />
<br />
Aufgabe 48<br />
Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal mit Zurücklegen<br />
gezogen. Uns interessieren die Ereignisse<br />
A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen;<br />
B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen.<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 7 von 22<br />
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a) Wie groß ist P (B)<br />
Wie groß ist P (B)<br />
<br />
b) Wie groß ist P( A ∩ B)<br />
<br />
c) Wie groß ist P( A ∪ B)<br />
<br />
Aufgabe 49<br />
Ein gezinkter Würfel wird geworfen. Man hat für jede einzelne Augenzahl (empirisch)<br />
folgende Wahrscheinlichkeiten gefunden:<br />
1<br />
1<br />
P ( 1) = ,<br />
12<br />
P ( 6) = und die Wahrscheinlichkeit für jede der übrigen Augenzahlen ist<br />
4<br />
jeweils gleich 61<br />
.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit<br />
a) eine gerade Augenzahl<br />
b) eine ungerade Augenzahl<br />
zu würfeln<br />
Aufgabe 50<br />
Aus einem Spielkartenpaket (32 Karten) wird zufällig eine Karte gezogen:<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder eine Kreuz-Karte zu<br />
ziehen<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Herz-Karte oder einen König zu ziehen<br />
Aufgabe 51 (Klausuraufgabe SS 2004):<br />
Aus einem Kasten mit 17 roten und 28 schwarzen Kugeln werden blind 2 Kugeln<br />
nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen.<br />
a) Zeichnen Sie hierfür ein Baumdiagramm. Beschriften Sie jedes Teilstück eines<br />
Pfades mit der zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeit.<br />
b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die<br />
beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben.<br />
Aufgabe 52<br />
Bei dem abgebildeten System sind die beiden<br />
Komponenten K1 und K2 parallel geschaltet.<br />
Das System funktioniert also, wenn K1 oder K2<br />
funktioniert (oder beide funktionieren).<br />
Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 %<br />
betragen, und die von K2 betrage 0,3 %. Außerdem nehmen<br />
wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen.<br />
Berechnen Sie<br />
a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt;<br />
b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist.<br />
Aufgabe 53<br />
1%<br />
1 %<br />
K1<br />
0,3 %<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 1 % Seite 8 0,3 von % 22<br />
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K1<br />
K2<br />
K2
Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten<br />
K1 und K2 in Reihe geschaltet. Das System funktioniert also<br />
nur, wenn K1 und K2 beide funktionieren.<br />
Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1 % betragen, und die von K2 betrage 0,3 %.<br />
Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander<br />
ereignen. Berechnen Sie<br />
a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt;<br />
b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist.<br />
Aufgabe 54<br />
Es werden n Komponenten gleicher Bauart zu einem System parallel geschaltet. Die<br />
Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Komponente betrage 7,2 %. Wie groß muss n<br />
mindestens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems unter 50 ppm (ppm =<br />
10 -6 ) liegt<br />
Aufgabe 55 (Klausuraufgabe WS 1999/2000):<br />
Für die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Aggregates ist die Ausfallrate eines sehr<br />
teuren Bauelementes A mit 10 ppm ( ppm = 10 −6 ) zu hoch, und es werden für den Notfall<br />
die preisgünstigeren Elemente B und C parallel geschaltet, die einen Fehleranteil von 1 %<br />
(B) bzw. 0,1 % (C) aufweisen. Entsprechend der Schaltung müssen bei Ausfall von A<br />
sowohl B als auch C funktionieren, damit die Funktionsfähigkeit des Aggregates aufrecht<br />
gehalten wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Schaltung<br />
10 ppm<br />
Zusatz: Welche Annahme müssen Sie treffen,<br />
um hier überhaupt rechnen zu können<br />
A<br />
B<br />
C<br />
1 % 0,1 %<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 9 von 22<br />
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Aufgabe 56<br />
Ein Kandidat ist in einer Quizshow ist bis zum vorletzten Schritt vorgedrungen. Er<br />
befindet sich vor drei gleich aussehenden Türen und weiß, dass sich hinter einer ein<br />
schickes Auto verbirgt, hinter den beiden anderen aber nur jeweils eine Ziege (die für<br />
eine Niete steht). Der Kandidat zeigt auf eine Tür ohne diese zu öffnen.<br />
Dann gebietet der Showmaste Einhalt und sagt: „Ich helfe Ihnen ein bisschen“ und öffnet<br />
eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Er fragt anschließend den Kandidaten:<br />
“Möchten Sie bei Ihrer alten Entscheidung bleiben oder wollen Sie die andere noch<br />
verbleibende Tür wählen“<br />
Wie soll der Kandidat vorgehen, soll er bei seiner ersten Wahl bleiben oder ist seine<br />
Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn er die Türen wechselt Berechnen Sie für Ihre<br />
Entscheidung jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Strategien.<br />
Aufgabe 57<br />
Ein Automobilhersteller bezieht 40 % seiner Scheibenwischer vom Zulieferer X, 60 %<br />
vom Zulieferer Y. Die Wareneingangskontrolle stellt fest, dass 1 % der von X gelieferten<br />
Scheibenwischer defekt sind und 2 % der von Y gelieferten.<br />
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt.<br />
Verwenden Sie folgende Ereignisse:<br />
A = der Scheibenwischer ist defekt;<br />
B = der Scheibenwischer wurde von X geliefert.<br />
b) Aus dem Wareneingang wird zufällig ein Scheibenwischer herausgezogen. Er ist<br />
defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Zulieferer X<br />
Aufgabe 58<br />
In einem Krankenhaus wird mit einem Schnelltestverfahren geprüft, ob ein Patient an<br />
einer bestimmten versteckten Krankheit leidet. Wenn der Patient tatsächlich an dieser<br />
Krankheit erkrankt ist, zeigt das Verfahren in 96 % der Fälle dies richtig an. Andererseits<br />
erfolgt bei 2 % der Fälle, bei denen der Patient nicht erkrankt ist, trotzdem eine Testreaktion.<br />
Etwa 0,5 % der Patienten leiden an dieser Krankheit.<br />
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm.<br />
b) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten wird der Test durchgeführt. Mit welcher<br />
Wahrscheinlichkeit erfolgt eine Reaktion<br />
c) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten hat der Test eine Reaktion gezeigt. Mit<br />
welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich unter der Krankheit<br />
Aufgabe 59<br />
Ein Unternehmer steht vor der Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen. Alternative<br />
A ist mit Investitionskosten von 100.000 GE, Alternative B mit Kosten von 90.000 GE<br />
verbunden. Der Unternehmer schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich sein Geschäft im<br />
nächsten Jahr normal entwickelt, auf 70 % ein; die Wahrscheinlichkeit für eine gute<br />
Geschäftsentwicklung auf 10 % und die für eine schlechte Geschäftsentwicklung auf 20<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 10 von 22<br />
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%. Die folgende Tabelle gibt den Zusatzumsatz bei den beiden Alternativen in<br />
Abhängigkeit von der Geschäftsentwicklung im nächsten Jahr an.<br />
Geschäfts-<br />
Zusatzumsatz<br />
entwicklung Alternative A Alternative B<br />
gut 170.000,- 195.000,-<br />
normal 140.000,- 145.000,-<br />
schlecht 120.000,- 45.000,-<br />
a) Die Zufallsvariable X beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz –<br />
Investitionskosten), der bei Strategie A erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte<br />
von X an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung<br />
σ von X.<br />
b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz –<br />
Investitionskosten), der bei Strategie B erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte<br />
von Y an, und berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ<br />
von Y.<br />
c) Vergleichen Sie die beiden Alternativen. Wie sind µ und σ zu interpretieren<br />
Welche Alternative ist vorzuziehen<br />
d) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.<br />
Aufgabe 60<br />
Die Zufallsvariable X beschreibe die Augenzahl beim Werfen eines Würfels.<br />
a) Bestimmen Sie die diskrete Dichte von X.<br />
b) Zeichnen Sie die diskrete Dichte von X in einem Histogramm.<br />
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.<br />
d) Berechnen Sie den Erwartungswert von X.<br />
e) Berechnen Sie die Varianz von X.<br />
f) Wie groß ist die Standardabweichung von X<br />
Aufgabe 61<br />
Gegeben ist die Zufallsvariable X=Augensumme von zwei Würfeln.<br />
a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Augensumme ist 5“ an.<br />
b) Geben Sie die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.<br />
c) Geben Sie P( X ≤ 4 ) an.<br />
d) Geben Sie P( X > 5 ) an.<br />
Aufgabe 62<br />
3 Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft „Kopf“ auftritt.<br />
a) Welche Verteilung hat X<br />
b) Geben Sie die diskrete Dichte von X an, und stellen Sie sie in einem Histogramm dar.<br />
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.<br />
d) Geben Sie Erwartungswert und Varianz von X an.<br />
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Münze Kopf zeigt<br />
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Münzen Kopf zeigen<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 11 von 22<br />
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Aufgabe 63<br />
Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR. Wird eine<br />
1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2,-<br />
EUR. Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,-<br />
EUR. (D. h., beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR.)<br />
a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw. Verlust. Geben Sie die<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.<br />
b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). Ist das Spiel fair<br />
Aufgabe 64<br />
In einem Behälter befinden sich 20 Kugeln, davon sind 4 blau und 16 rot. Aus dem<br />
Behälter werden nun ohne Zurücklegen 5 Kugeln zufällig entnommen.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau 2 blaue Kugeln<br />
vorzufinden<br />
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=Anzahl der<br />
blauen Kugeln in der Stichprobe an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung<br />
graphisch dar.<br />
Aufgabe 65<br />
In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, und zwar 4 schwarze und 6 weiße. Es wird 5-mal<br />
ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2<br />
schwarze Kugeln zieht<br />
Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05)<br />
Ein Unternehmen hat sich zu seinem 22-jährigen Bestehen ein Gewinnspiel ausgedacht.<br />
Bei dem Gewinnspiel müssen die Teilnehmer auf einem Schein mit 22 Zahlen 2 Zahlen<br />
ankreuzen. Anschließend werden 2 Gewinnzahlen gezogen.<br />
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei diesem Spiel 0 Richtige, 1 Richtige<br />
bzw. 2 Richtige zu haben.<br />
Die Teilnahme an dem Spiel soll allerdings für die Kunden nicht kostenlos sein, sondern<br />
pro Schein einen Einsatz von 1,- Euro kosten. Hat der Kunde 2 Richtige, erhält er 22,22<br />
Euro Gewinn und zusätzlich seinen Einsatz zurück. Bei 1 richtigen Zahl erhält er einen<br />
Trostpreis von 5,- Euro, aber seinen Einsatz nicht zurück (= 4,- Gewinn).<br />
b) Welchen Gewinn oder Verlust kann das Unternehmen erwarten, wenn 1000 Kunden<br />
an diesem Glücksspiel teilnehmen<br />
Aufgabe 67<br />
In einer Urne befinden sich 40 % schwarze und 60 % weiße Kugeln. Es wird 5-mal mit<br />
Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze<br />
Kugeln zieht<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 12 von 22<br />
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Aufgabe 68<br />
Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = 1000 . Von diesen 1000 sind<br />
M = 35defekt. Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung<br />
natürlich nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 20<br />
Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in<br />
dieser Stichprobe sind.<br />
a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt<br />
b) Berechnen Sie P ( X =1)<br />
exakt.<br />
c) Berechnen Sie P ( X =1)<br />
näherungsweise unter Verwendung der<br />
Binomialverteilung. (Darf man das hier)<br />
Aufgabe 69<br />
Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10 %. Aus der<br />
laufenden Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X<br />
bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke. Berechnen Sie (unter der<br />
Annahme, dass die vier Ereignisse „Stück i ist defekt“, i = 1,... 4, unabhängig sind)<br />
a) die diskrete Dichte von X;<br />
b) den Erwartungswert von X;<br />
c) die Varianz von X.<br />
Aufgabe 70<br />
a) Berechnen Sie P ( X = 2)<br />
für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X.<br />
b) Berechnen Sie P ( X ≤ 3)<br />
für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X.<br />
c) Berechnen Sie F(3), wobei F die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,025)-verteilten<br />
Zufallsvariablen X bezeichne.<br />
d) Berechnen Sie P ( 48 ≤ Y < 50)<br />
für eine B(100; 0,47)-verteilte Zufallsvariable Y.<br />
e) Berechnen Sie P(Z < 98) für eine B(100; 0,94)-verteilte Zufallsvariable Z.<br />
f) Sei G die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,94)-verteilten Zufallsvariable Z.<br />
Berechnen Sie G(98).<br />
Aufgabe 71<br />
Über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen<br />
bestehende Ziffernfolgen, übermittelt. Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar<br />
erhält der Empfänger mit Wahrscheinlichkeit 9,7 % nicht die gesendete Ziffer, sondern<br />
die falsche. Das Auftreten von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei<br />
voneinander unabhängig.<br />
Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die<br />
richtige Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander,<br />
also 00000 statt 0 und 11111 statt 1. Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe<br />
nach der Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche die Bedeutung die Fünfergruppe<br />
haben soll. Bei drei oder mehr Einsen (z. B. bei 10110) entscheidet er also, dass eine<br />
(verfünffachte) 1 gesendet wurde, bei drei oder mehr Nullen (z. B. bei 00010)<br />
interpretiert er die Fünfergruppe als 0.<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 13 von 22<br />
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert der Empfänger eine Fünfergruppe falsch<br />
Aufgabe 72<br />
Ein Würfel wird 7-mal geworfen.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal die Augenzahl 1 zu werfen<br />
b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X = Anzahl der<br />
geworfenen Einsen an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch<br />
dar.<br />
Aufgabe 73<br />
In einer Lieferung sind 2000 Einheiten, davon sind 60 fehlerhaft. Es wird eine zufällige<br />
Stichprobe vom Umfang n = 50 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau<br />
zwei fehlerhafte Einheiten zu ziehen Lösen Sie<br />
a) exakt und<br />
b) mit Näherung durch die Binomialverteilung.<br />
Aufgabe 74<br />
In einem Behälter liegen 50 Dichtungen, davon sind 10 defekt. Man greift zufällig in den<br />
Behälter und entnimmt 10 Dichtungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der<br />
Fehleranteil im Behälter danach genauso groß ist wie vorher<br />
Aufgabe 75<br />
Ein Batterietestgerät kann gleichzeitig 5 Batterien prüfen. Unter 25 Batterien sind 2<br />
fehlerhaft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese gleich beim ersten Test<br />
entdeckt werden<br />
Aufgabe 76<br />
Aus einer Lieferung („Prüflos“) vom Umfang N wird eine Stichprobe vom Umfang n<br />
zufällig gezogen. Falls in der Stichprobe höchstens c fehlerhafte Stücke sind, wird das<br />
Los angenommen; anderenfalls wird das Los zurückgewiesen. Man spricht hier von<br />
einem „(n | c)- Prüfplan“ oder von einer „(n | c)- Stichprobenanweisung“. c heißt<br />
„Annahmezahl“<br />
(= maximal erlaubte Anzahl von Defektstücken in der Stichprobe).<br />
Ein Prüflos von N = 1000 Einheiten wird mit Hilfe des Prüfplans (80 | 1) überprüft.<br />
In der Lieferung befinden sich M = 10 fehlerhafte Einheiten (was dem Abnehmer<br />
natürlich unbekannt ist). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung<br />
angenommen wird<br />
a) Rechnen Sie exakt.<br />
b) Rechnen Sie näherungsweise mit der Binomialverteilung.<br />
c) Nähern Sie die Binomialverteilung aus b) durch eine Poisson-Verteilung an.<br />
d) Sind nach den Faustregeln die Näherungen in b) und c) eigentlich zulässig Falls<br />
nein, halten Sie die Näherungen trotzdem für brauchbar<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 14 von 22<br />
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Aufgabe 77<br />
In einer Telefonzentrale gehen im Mittel in 5 Minuten 3 Gespräche ein.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 5-Minuten-<br />
Zeitraum genau ein Gespräch eingeht<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig ausgewählten 10-<br />
Minuten-Zeitraum genau zwei Gespräche eingehen<br />
Aufgabe 78<br />
Lackierte Bleche besitzen Lackfehler. Im Mittel sind es 0,4 Fehler pro Blech. Die<br />
Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Lackfehler auf einem Blech.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem zufällig ausgewählten Blech<br />
genau 2 Lackfehler sind<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf zwei zufällig ausgewählten Blechen<br />
zusammen genau 4 Lackfehler sind<br />
Aufgabe 79<br />
Bei der Herstellung einer bestimmten Gewebesorte kann die Zahl der Webfehler pro 1 m 2<br />
als Poisson-verteilt angesehen werden mit Erwartungswert 0,8.<br />
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 1 m 2 keinen Fehler zu<br />
finden<br />
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 5 m 2 drei oder mehr Fehler<br />
zu finden<br />
c) Es sei F die Verteilungsfunktion der Zahl der Webfehler auf einem 5 m 2 großen<br />
Gewebestück. Berechnen Sie F(2). Welche Wahrscheinlichkeit ist das<br />
Aufgabe 80<br />
Angenommen eine Straßenbahn fährt pünktlich alle 10 Minuten. Wenn man zufällig zur<br />
Haltestelle kommt, dann ist die Wartezeit X eine Zufallsvariable, die kontinuierlich alle<br />
Werte von 0 bis 10 annehmen kann, wobei jede Wartezeit gleich wahrscheinlich ist.<br />
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher<br />
⎧ k,<br />
0 < x < 10<br />
f ( x)<br />
= ⎨<br />
, wobei k eine Konstante ist.<br />
⎩0,<br />
sonst<br />
a) Bestimmen Sie k.<br />
b) Geben Sie die Verteilungsfunktion F an.<br />
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens 3 Minuten zu warten<br />
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 2 Minuten zu warten<br />
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 5 und 9 Minuten zu warten<br />
f) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz für die Wartezeit an<br />
der Straßenbahnhaltestelle.<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 15 von 22<br />
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Aufgabe 81<br />
Die Lebensdauer X (in Jahren) eines elektronischen Bauteils, das zufällig ausfällt, kann<br />
oft durch eine Verteilungsfunktion der Form<br />
−kx<br />
⎧1<br />
− e , 0 ≤ x<br />
FX<br />
( x)<br />
= ⎨<br />
⎩ 0, x < 0<br />
angegeben werden. Dabei ist k eine Materialkonstante.<br />
a) Geben sie die zugehörige Dichtefunktion f an.<br />
Für ein bestimmtes Bauteil ist k = 1: Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die<br />
Lebensdauer<br />
b) höchstens 1 Jahr<br />
c) zwischen 1 und 2 Jahre<br />
d) größer als 2 Jahre ist<br />
Aufgabe 82<br />
Die Zufallsvariable X beschreibt die Lebensdauer eines bestimmten Glühbirnentyps<br />
(gemessen in Stunden). Die Verteilungsfunktion von X sei die folgende Funktion:<br />
⎧ 0 für x < 0<br />
F( x)<br />
= ⎨ − x / 1500<br />
⎩1<br />
− e für x ≥ 0<br />
a) Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeiten der<br />
folgenden Ereignisse:<br />
a1) Die Glühbirne hält höchstens 1000 Stunden.<br />
a2) Die Glühbirne hält mindestens 1500 Stunden.<br />
a3) Die Glühbirne hält mindestens 1000 und höchstens 1500 Stunden.<br />
b) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.<br />
c) Welche Lebensdauer erreichen 50 % der Glühbirnen<br />
Aufgabe 83 (Klausuraufgabe WS 2006/2007)<br />
An der Wareneingangskontrolle wird eine Massensendung mit 10.000 Einzelteilen nach<br />
folgendem Schema geprüft:<br />
Man entnimmt der Sendung zufällig 8 Teile und prüft diese. Sind alle Teile einwandfrei,<br />
so wird die Sendung sofort akzeptiert. Bei zwei und mehr defekten Teilen wird die<br />
Sendung sofort zurückgewiesen. Bei einem defekten Teil entscheidet eine zweite<br />
Stichprobe vom Umfang 4. Sind dann alle Teile in Ordnung, so wird die Sendung<br />
akzeptiert, bei mindestens einem defekten Teil in der zweiten Stichprobe wird die<br />
Sendung endgültig zurückgewiesen.<br />
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei diesem Verfahren eine Sendung mit 12%<br />
Ausschuss akzeptiert<br />
Aufgabe 84<br />
Aus einer laufenden Produktion wurden die Widerstandswerte (in m Ω ) von 200<br />
elektronischen Bauteilen gemessen. Es ergaben sich die in der Tabelle angegebenen<br />
Werte.<br />
Widerstand (in m Ω )<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 16 von 22<br />
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größer als bis max Anzahl der Bauteile<br />
300 305 2<br />
305 310 4<br />
310 315 11<br />
315 320 14<br />
320 325 29<br />
325 330 42<br />
330 335 36<br />
335 340 32<br />
340 345 21<br />
345 350 6<br />
350 355 2<br />
355 360 1<br />
Es soll überprüft werden, ob man die Widerstandswerte als normalverteilt N ( µ , σ )<br />
ansehen kann.<br />
a) Zeichnen Sie dazu zunächst ein Histogramm.<br />
2<br />
2<br />
b) Berechnen Sie Punktschätzer µˆ bzw. ˆ σ für µ und σ .<br />
c) Die Funktion g sei das 1000-fache der Dichte einer N(<br />
ˆ, µ ˆ σ ) -Verteilung, also<br />
gegeben durch folgende Funktionsgleichung:<br />
1000<br />
g ( x)<br />
= e<br />
2<br />
2πσˆ<br />
Punktschätzer sind.<br />
2<br />
1 ⎛ x−<br />
ˆ µ ⎞<br />
− ⎜ ⎟<br />
2 ⎝ ˆ σ ⎠<br />
, wobei µˆ und<br />
2<br />
ˆ σ die in b) berechneten<br />
Berechnen Sie (zur Kontrolle) g (315)<br />
.<br />
d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion g in Ihr Schaubild aus a) ein. Berechnen<br />
Sie dazu (z. B. mit einem programmierbaren Rechner oder mit Excel) die<br />
Funktionswerte g (300)<br />
, g (305)<br />
, g (310)<br />
, ..., g (360)<br />
und verbinden Sie diese<br />
Punkte durch eine Kurve.<br />
e) Vergleichen Sie („nach Augenmaß“) Histogramm und Funktionskurve. Kann man<br />
davon ausgehen, dass die Widerstandswerte normalverteilt sind<br />
f) Warum ist der Faktor 1000 in <strong>Aufgaben</strong>teil c) erforderlich<br />
g) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion F einer N(<br />
ˆ, µ ˆ σ ) -verteilten Zufallsvariablen.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Aufgabe 85<br />
Nachfolgend finden Sie die Dichten von vier verschiedenen Normalverteilungen<br />
skizziert. Beschriften Sie die Dichten: Welche Werte haben jeweils die Parameter µ und<br />
2<br />
σ <br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 17 von 22<br />
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2<br />
Machen Sie sich anhand der Skizzen die Bedeutung von µ und σ bei einer<br />
Normalverteilung klar.<br />
a)<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
b)<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
c)<br />
d)<br />
__________________________________________________________________________________<br />
<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 18 von 22<br />
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0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
0,6<br />
0,5<br />
0,4<br />
0,3<br />
0,2<br />
0,1<br />
0<br />
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
Aufgabe 86<br />
Die Zufallsvariable Z sei N(0; 1)-verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit<br />
Hilfe der Tabelle der Φ -Funktion.<br />
a) P ( Z ≤1,5)<br />
b) P ( Z >1,5)<br />
c) P ( 0,43 ≤ Z ≤1,5)<br />
d) P ( Z ≤ −1,5)<br />
e) P ( Z = 2)<br />
Aufgabe 87<br />
Die Zufallsvariable X sei N(100; 20)-verteilt. Berechnen Sie<br />
a) P ( X ≤109)<br />
b) P ( X > 95)<br />
.<br />
Aufgabe 88<br />
Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine standardnormalverteilte<br />
Zufallsvariable Z. Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt, falls erforderlich, mit einer<br />
Skizze.<br />
a) P ( Z < 0,99)<br />
b) P ( Z ≤ −1,23)<br />
c) P ( Z > 2,27)<br />
d) P ( Z > −2,27)<br />
e) P ( −1,1<br />
≤ Z < 2,1)<br />
f) P ( Z = 0,18)<br />
Aufgabe 89<br />
Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine N(200; 10)-verteilte<br />
Zufallsvariable X. (Skizze!)<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 19 von 22<br />
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a) P ( 202 ≤ X ≤ 205)<br />
b) P ( 197 < X < 203)<br />
c) P ( 198 ≤ X ≤199)<br />
Aufgabe 90<br />
Das Gewicht (in kg) von Schülern einer bestimmten Altersgruppe sei N(73; 64)-<br />
normalverteilt.<br />
Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.<br />
a) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 75<br />
und 85 kg.<br />
b) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 90 kg.<br />
c) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters übersteigt 70 kg.<br />
d) Das Gewicht eines zufällig ausgewählten Schülers dieses Alters liegt zwischen 65<br />
und 81 kg.<br />
Aufgabe 91<br />
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung einer normalverteilten<br />
Zufallsvariable X vom Erwartungswert µ um höchstens<br />
a) σ, b) 2σ, c) 3σ.<br />
Aufgabe 92<br />
Eine Maschine füllt Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Die Füllmenge (in ml) kann als<br />
normalverteilt angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701, 25 und<br />
Standardabweichung σ = 0, 9 .<br />
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.<br />
a) Die Füllmenge unterschreitet den Sollwert von 0,7 l.<br />
b) Die Füllmenge übersteigt 705 ml.<br />
c) Die Füllmenge weicht um mehr als 2 ml vom Sollwert ab.<br />
d) Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der<br />
d1) mit Wahrscheinlichkeit 98 %<br />
d2) mit Wahrscheinlichkeit 99 %<br />
die (zufällige) Füllmenge einer Flasche enthält. (Skizze!)<br />
e) Welche Füllmenge wird von nur 1 % aller Flaschen unterschritten<br />
Aufgabe 93<br />
Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei<br />
durch eine N(1000; 10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Bestimmen Sie<br />
a) einen zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich für X;<br />
b) die beiden einseitigen 95-%-Zufallsstreubereiche für X.<br />
Aufgabe 94 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004)<br />
Bei einer Studie wurde die Lesekompetenz von Schülern auf einer Punktskala gemessen<br />
(hoher Punktwert = hohe Lesekompetenz). Für eine bestimmte Schülergruppe ergab sich,<br />
dass die Lesekompetenz durch eine N(550; 3600)-Normalverteilung beschrieben werden<br />
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<strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 20 von 22<br />
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kann. Welche Punktwerte hatten die 5 % der Schüler, die am schlechtesten lesen<br />
konnten<br />
Aufgabe 95<br />
Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei<br />
N(1000; 10)- verteilt. Ein Karton enthält 100 Packungen Zucker. Berechnen Sie einen<br />
zweiseitigen 95-%- Zufallsstreubereich für das mittlere Packungsgewicht der 100 Packungen<br />
eines zufällig ausgewählten Kartons.<br />
Aufgabe 96<br />
Die Füllmenge von Kaffeepackungen (in g) sei N(500; 5)-verteilt. Es wird eine<br />
Stichprobe von n = 20 Packungen zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie die<br />
Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:<br />
a) Das Gesamtgewicht G der Stichprobe liegt bei höchstens 9,990 kg.<br />
b) Das Durchschnittsgewicht D der Stichprobe liegt bei höchstens 499 g.<br />
Aufgabe 97<br />
In einem chemischen Prozess werden über eine Dosiervorrichtung nacheinander zwei<br />
Stoffe zugeführt. Die beiden Stoffmengen sind unabhängig normalverteilt mit µ 1 = 100 g<br />
und σ1 = 2 g sowie µ 2 = 75 g und σ 2 = 1 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die<br />
zugeführte Stoffmenge beider Stoffe zusammen weniger als 170 g beträgt<br />
Aufgabe 98<br />
Eine Maschine schneidet Drahtstücke zu. Die Zufallsvariable X, die die Länge (in mm)<br />
eines zufällig ausgewählten Drahtstücks beschreibt, sei normalverteilt mit µ = 501 und σ 2<br />
= 7.<br />
a) Berechnen Sie einen zweiseitigen 95 %-Zufallsstreubereich für X.<br />
b) Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X.<br />
c) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Zufallsstreubereiche für X.<br />
d) Es werden zufällig n = 50 Drahtstücke aus der Produktion dieser Maschine<br />
entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibe die mittlere Drahtlänge dieser<br />
Stichprobe. Berechnen Sie einen zweiseitigen 99 %-Zufallsstreubereich für X .<br />
Aufgabe 99<br />
Bei einem Produktionsprozess liegt der Ausschussanteil bei p = 2 % . Aus der laufenden<br />
Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 500 entnommen. Wie groß ist die<br />
Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe mehr als 15 Ausschussstücke enthalten<br />
sind Rechnen Sie<br />
a) exakt;<br />
b) näherungsweise mit der Normalverteilung.<br />
Vergleichen Sie den Aufwand.<br />
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Aufgabe 100<br />
Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass die Augensumme zwischen (einschließlich) 340 und 360 liegt<br />
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