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Aufgabe 63 Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR. Wird eine 1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2,- EUR. Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,- EUR. (D. h., beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR.) a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw. Verlust. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). Ist das Spiel fair Aufgabe 64 In einem Behälter befinden sich 20 Kugeln, davon sind 4 blau und 16 rot. Aus dem Behälter werden nun ohne Zurücklegen 5 Kugeln zufällig entnommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in dieser Stichprobe genau 2 blaue Kugeln vorzufinden b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X=Anzahl der blauen Kugeln in der Stichprobe an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung graphisch dar. Aufgabe 65 In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, und zwar 4 schwarze und 6 weiße. Es wird 5-mal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze Kugeln zieht Aufgabe 66 (Klausuraufgabe WS 04/05) Ein Unternehmen hat sich zu seinem 22-jährigen Bestehen ein Gewinnspiel ausgedacht. Bei dem Gewinnspiel müssen die Teilnehmer auf einem Schein mit 22 Zahlen 2 Zahlen ankreuzen. Anschließend werden 2 Gewinnzahlen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, bei diesem Spiel 0 Richtige, 1 Richtige bzw. 2 Richtige zu haben. Die Teilnahme an dem Spiel soll allerdings für die Kunden nicht kostenlos sein, sondern pro Schein einen Einsatz von 1,- Euro kosten. Hat der Kunde 2 Richtige, erhält er 22,22 Euro Gewinn und zusätzlich seinen Einsatz zurück. Bei 1 richtigen Zahl erhält er einen Trostpreis von 5,- Euro, aber seinen Einsatz nicht zurück (= 4,- Gewinn). b) Welchen Gewinn oder Verlust kann das Unternehmen erwarten, wenn 1000 Kunden an diesem Glücksspiel teilnehmen Aufgabe 67 In einer Urne befinden sich 40 % schwarze und 60 % weiße Kugeln. Es wird 5-mal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man genau 2 schwarze Kugeln zieht __________________________________________________________________________________ <strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 12 von 22 Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen
Aufgabe 68 Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = 1000 . Von diesen 1000 sind M = 35defekt. Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung natürlich nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 20 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in dieser Stichprobe sind. a) Wie ist die Zufallsvariable X verteilt b) Berechnen Sie P ( X =1) exakt. c) Berechnen Sie P ( X =1) näherungsweise unter Verwendung der Binomialverteilung. (Darf man das hier) Aufgabe 69 Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10 %. Aus der laufenden Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke. Berechnen Sie (unter der Annahme, dass die vier Ereignisse „Stück i ist defekt“, i = 1,... 4, unabhängig sind) a) die diskrete Dichte von X; b) den Erwartungswert von X; c) die Varianz von X. Aufgabe 70 a) Berechnen Sie P ( X = 2) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X. b) Berechnen Sie P ( X ≤ 3) für eine B(100; 0,025)-verteilte Zufallsvariable X. c) Berechnen Sie F(3), wobei F die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,025)-verteilten Zufallsvariablen X bezeichne. d) Berechnen Sie P ( 48 ≤ Y < 50) für eine B(100; 0,47)-verteilte Zufallsvariable Y. e) Berechnen Sie P(Z < 98) für eine B(100; 0,94)-verteilte Zufallsvariable Z. f) Sei G die Verteilungsfunktion einer B(100; 0,94)-verteilten Zufallsvariable Z. Berechnen Sie G(98). Aufgabe 71 Über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen bestehende Ziffernfolgen, übermittelt. Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar erhält der Empfänger mit Wahrscheinlichkeit 9,7 % nicht die gesendete Ziffer, sondern die falsche. Das Auftreten von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei voneinander unabhängig. Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die richtige Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander, also 00000 statt 0 und 11111 statt 1. Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe nach der Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche die Bedeutung die Fünfergruppe haben soll. Bei drei oder mehr Einsen (z. B. bei 10110) entscheidet er also, dass eine (verfünffachte) 1 gesendet wurde, bei drei oder mehr Nullen (z. B. bei 00010) interpretiert er die Fünfergruppe als 0. __________________________________________________________________________________ <strong>Aufgaben</strong> zur Vorlesung Statistik – Kapitel 4 Seite 13 von 22 Prof. Dr. Karin Melzer, Fakultät Grundlagen
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Seite 3 und 4: Übungsaufgaben zu Kapitel 4 Aufgab
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Seite 7 und 8: d) Wie viele der möglichen Stichpr
Seite 9 und 10: Bei dem abgebildeten System sind di
Seite 11: %. Die folgende Tabelle gibt den Zu
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