2008/2009

LK M 13.2 (bumue) ABI 2009 1.Klausur 03.03.2009
Name
Aufgabe 1)
(aus: Freie und Hansestadt Hamburg: Schriftliche Abiturprüfung, Schuljahr 2006/2007, Leistungskurs Mathematik.)
5 Pkt
8 Pkt
5 Pkt
10 Pkt
Mäuse in einer bestimmten Population können bis zu zwei Jahre alt werden.
Sie sind in die Altersklasse M 1 der bis zu einjährigen Mäuse und in die Altersklasse M 2 der bis
zu zweijährigen Mäuse unterteilt. Die jungen Mäuse M 1 produzieren jährlich durchschnittlich
vier überlebende Nachkommen. 50 % der jungen Mäuse werden zwei Jahre alt und haben als
alte Mäuse in M 2 noch jährlich durchschnittlich zwei überlebende Nachkommen, bevor sie
sterben.
a) Geben Sie den Übergangsgraph dieses Lebenszyklus’ an und die zugehörige
Populationsmatrix M.
⎛ 4 2⎞
b) Rechnen Sie im Folgenden mit der Matrix: M = ⎜
0,5 0
⎟
⎝ ⎠
Berechnen Sie die Mäusepopulation nach zwei Jahren bei einer Ausgangspopulation
von 100 Mäusen der Altersklasse M 1 und 100 Mäusen der Altersklasse M 2 .
Geben Sie an, wann die M 1 -Population erstmals die Zahl von 10000 überschreitet.
c) Durch Umwelteinflüsse wird die Anzahl der Nachkommen (jung und alt) halbiert,
während die Sterblichkeit der lebenden Tiere dadurch nicht beeinflusst wird. Geben
Sie begründet eine Matrix H an, die die Halbierung der Nachkommen beschreibt.
d) Es wird vorausgesetzt, dass es doppelt so viele M 1 -Mäuse wie M 2 -Mäuse gibt. Die
Zahl der Nachkommen soll nun durch Maßnahmen zur Geburtenkontrolle
(angewendet auf die jungen und die alten Mäuse) mit einem Faktor r für beide
Altersklassen auf einen Bruchteil reduziert werden.
Bestimmen Sie – ausgehend von der Matrix M – den Faktor r so, dass eine beliebige
Population von Mäusen im Verhältnis M 1 :M 2 =2:1 im Laufe der Jahre den Anzahlen
nach unverändert bleibt.
Die folgenden Teilaufgaben beziehen sich auf die Matrix M aus b).
7 Pkt
e) Betrachten Sie auch wieder eine
Ausgangspopulation von 100
M 1 -Mäusen und 100 M 2 -
Mäusen. Zeichnet man für die
einzelnen Generationen
Populationspaare in ein
Koordinatensystem (siehe Abb.
rechts: Anfangspopulation P0 =
(1 | 1), nach einem Jahr P1 = (6
|0,5) usw.), so scheinen die
Populationspaare immer besser
auf einer Geraden zu liegen und
von Jahr zu Jahr „in immer
größeren Sprüngen nach rechts
oben zu wandern“. Interpretieren
Sie diese Beobachtungen als
Aussagen über die Populationsentwicklung. Bestimmen aus Sie aus der grafischen
Darstellung (näherungsweise) die Gleichung dieser Geraden.
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LK M 13.2 (bumue) ABI 2009 1.Klausur 03.03.2009
Name
Wenn ein Populationsvektor p ⎛ a ⎞
= ⎜
b
⎟ und der Vektor p ⎛ a ⎞
‘ = M· ⎜
⎝ ⎠
b
⎟ der Population im
⎝ ⎠
nächsten Jahr beide auf einer Ursprungsgeraden liegen, dann gilt: p ‘ = λ· p mit einer
geeigneten reellen Zahl λ , also M · p = λ · p . Dann gilt auch M · p ‘= M · (λ · p ) =λ· (M · p )
= λ· p ‘ . Das heißt, auch im nächsten Jahr und in allen weiteren Jahren findet eine
Vervielfachung der vorherigen Generation mit demselben Faktor λ statt. Um das langfristige
Verhalten beliebiger Populationen mathematisch zu verstehen, sind solche besonderen
Populationen sehr aufschlussreich:
10 Pkt
f) Zeigen Sie, dass es genau zwei Paare (a , λ) reeller Zahlen gibt, die die folgende
Gleichung lösen:
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
M· ⎜
1
⎟ = λ· ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟
⎝ ⎠
(*)
(Zur Kontrolle:1.Lösung: λ 1 = 2 + 5 ≈ 4,24, a 1 =4+2· 5 ≈ 8,47 und
2. Lösung: λ 2 = 2 – 5 ≈ -0,24, a 2 = 4−2· 5 ≈ -0,47 ).
Begründen Sie, dass jede Lösung von (*) auch die folgende Gleichung (für alle
Generationen) erfüllt: M n· ⎛ a ⎞
⎜
1
⎟ = λ n· ⎛ a ⎞
⎜
⎝ ⎠ 1
⎟ ,n ε N (**)
⎝ ⎠
5 Pkt
⎛ a1
⎞
g) Weil a 1 und a 2 (aus Teil f)) verschieden sind, sind die beiden Vektoren ⎜
1
⎟
⎝ ⎠ und ⎛ a2
⎞
⎜
1
⎟
⎝ ⎠
linear unabhängig.
⎛100⎞
Jeder tatsächliche Anfangsvektor, insbesondere z.B. ⎜ ⎟ , lässt sich deshalb
⎝100⎠ ⎛ a1
⎞ ⎛ a2
⎞
eindeutig darstellen als Linearkombination von ⎜
1
⎟ und ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟ :
⎝ ⎠
⎛100⎞
⎛ a1
⎞ ⎛ a2
⎞
⎜
100
⎟ = s· ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟ + t· ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟
⎝ ⎠
Begründen Sie, ohne s und t konkret zu bestimmen, auch mit Hilfe der λ i - Werte,
dass daraus für die langfristige Entwicklung folgt:
M n· ⎛100⎞
⎛ a1
⎞ ⎛ a2
⎞
⎜
100
⎟ = λ 1n·s· ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟ + λ 2n·t· ⎜
⎝ ⎠ 1
⎟ und dass die ‚Geraden-Beobachtungen‘ aus e) in
⎝ ⎠
diesem mathematischen Modell für die gesamte Populationsentwicklung tatsächlich
zutreffen.
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Name
Aufgabe 2)
(aus: Leistungsfach Mathematik Abitur Schleswig-Holstein 2006/ Die Aufgabe entspricht mit Veränderungen LK 2001/3 aus Baden-
Württemberg und einem Vorschlag aus dem Hamburger Katalog.)
Zwei geradlinig verlaufende Straßen bilden an ihrer Kreuzung einen Winkel α. Diese
Kreuzung soll durch ein zusätzliches Straßenstück entlastet werden. Die Situation
kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch zwei Ursprungsgeraden und
eine Verbindungskurve V dargestellt werden. (Siehe Graphik, 1 LE = 1 km.)
V
Die Verbindungskurve V soll durch den Graphen einer Funktion f beschrieben werden. Dafür
wird gefordert, dass V in den Punkten P(-2/1) und Q(2/1) ohne Knick und ohne Veränderung
der Steigung (d.h. ohne Krümmungssprung =^
f“=0) in die Geraden einmündet und dort
endet.
15 Pkt
10 Pkt
a) Zeigen und erläutern Sie, dass f(x) = ax 4 + bx² + c einen möglichen Ansatz darstellt,
1
indem Sie die Parameter a, b und c bestimmen. [Lösung: a = - 128 / b = 3 / c = 3 ]
16 8
b) Ein weiterer Vorschlag sieht den Graphen der Funktion h mit der Gleichung
h(x) = 1 + ln( 1 8 x² + 1 ) vor.
2
Untersuchen Sie, ob der Graph von h die Forderungen an die Verbindungskurve
erfüllt.
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15 Pkt
Name
c) Die beiden Funktionen f und h sollen hinsichtlich des Landschaftsverbrauchs
verglichen werden. Dazu soll jeweils der Inhalt des Flächenstücks, das von den beiden
Geraden und der Verbindungskurve eingeschlossen wird, bestimmt werden.
1. Ermitteln Sie dazu den Flächeninhalt für den Vorschlag mit der Funktion f mit
Angabe einer Stammfunktion exakt und den Flächeninhalt für den Vorschlag mit
der Funktion h numerisch.
2. Zeigen Sie, dass die Differenzfunktion d(x) = f(x) - h(x) für x=0 genau ein
relatives Extremum (Maximum) im Intervall (-2 / +2) besitzt und begründen Sie
damit die qualitative Aussage aus Teil 1.
10 Pkt
d) Ein weiterer Vorschlag für eine Straßenführung ist die so genannte Neil-Parabel p mit
3
2
der Funktionsgleichung p(x) = 0,245· x + 0,307, deren Graph über dem Intervall [0;2]
die Verbindungskurve darstellen soll. Über dem Intervall [-2;0] wird die an der y-
Achse gespiegelte Parabel gewählt.
Information: Die Länge L des zu p gehörenden Graphen mit den Endpunkten
x
∫
P 1 (x 1 / p(x 1 ) un d P 2 (x 2 / p(x 2 )) ist L = 2 1 + ( p '( x))²
dx
x1
Berechnen Sie hiermit die Länge der Verbindungskurve für die Straßenverbindung mit
Hilfe der Neil-Parabel.
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Aufgabe 3)
(Aufgabe aus: Leistungsfach Mathematik Abitur Thüringen 2008)
Name
Die Abbildung zeigt den vereinfachten Computerentwurf eines Architekten für ein
Ausstellungsgebäude. (Eine Längeneinheit betrage einen Meter.)
15 Pkt
10 Pkt
a) Die Ebene E 1 enthält die Dachfläche EGH und wird beschrieben durch die Gleichung
48x - 35y + 60z = 300. Die Ebene E 2 enthält die Dachfläche EFG. Ermitteln Sie für E 2
eine parameterfreie Gleichung! (Kontrollergebnis: -24x + 25y + 60z = 300) Aus
Gründen der Stabilität wird die Dachfläche EGH durch eine vom Punkt K ausgehende,
im Inneren des Gebäudes verlaufende Metallstrebe abgestützt. Diese Strebe soll im
Schwerpunkt des Dreiecks EGH an die Dachfläche angesetzt werden. Welche Länge
besitzt die Strebe? Untersuchen Sie, ob die Strebe senkrecht zur Dachfläche EGH
steht! (Die Dicke der Strebe werde bei den Berechnungen nicht berücksichtigt.)
b) Das vom Dach ablaufende Regenwasser soll über eine Rinne EG abgeleitet werden.
Berechnen Sie die Größe des stumpfen Winkels, den die beiden Dachflächen
außerhalb des Gebäudes miteinander einschließen! Die Dachfläche EFG soll
vollständig mit Solarzellen ausgelegt werden. Ermitteln Sie die dabei anfallenden
Kosten, wenn pro Quadratmeter 165,00 € veranschlagt werden!
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LK M 13.2 (bumue) ABI 2009 1.Klausur 03.03.2009
10 Pkt
15 Pkt
Name
c) Während des Tages gibt es einen Zeitpunkt, zu dem das Sonnenlicht in Richtung des
Vektors s ⎛ 10 ⎞
=
⎜
12
⎟
−
einfällt. Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf die
⎜ −9
⎟
⎝ ⎠
Solarzellen auf? Untersuchen Sie, ob dabei die Spitze H des Gebäudes einen Schatten
auf die Dachfläche mit den Solarzellen wirft!
d) Die beiden Spitzen F und H werden durch ein straff gespanntes Seil miteinander
verbunden. Das Durchhängen des Seils werde vernachlässigt. Die Geraden, die das
Seil FH bzw. die Rinne EG enthalten, verlaufen windschief zueinander. Berechnen Sie
deren Abstand! Am Seil wird eine Markierung angebracht, die einen Abstand von
genau einem Meter senkrecht zur Dachfläche EGH hat. Ermitteln Sie die Koordinaten
des zugehörigen Punktes auf dem Seil! (Hinweis: Runden Sie auf zwei Dezimalstellen
nach dem Komma.)
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