ABI 2005

Marie – Curie – Gymnasium
Städt. Gymnasium Recklinghausen
Abitur 2005
LK Mathematik
Aufgabe A
Bei der Verabreichung von Medikamenten spielen die Faktoren Aufnahmemenge und -
geschwindigkeit unter vielen anderen Parametern eine entscheidende Rolle. Zu
Modelluntersuchungen über das Verhalten verschiedener Stoffe zieht man in der Pharmazie
immer wieder mathematische Funktionsmodelle zu Rate um genauere Aussagen über das
mögliche Aufnahmeverhalten der Stoffe machen zu können.
Ein mögliches einfaches Funktionsmodell hierfür stellen die reellen Zeitfunktionen
f a (t) = a²te -a²t (a>0, t =^ Zeit in Minuten) dar,
deren Funktionswerte die Aufnahme eines Stoffes in mg pro Minute interpretieren sollen. (a
ist ein stoffabhängiger Parameter, der meist im Bereich [0,1 / 3] liegt.
Führe die jeweiligen Untersuchungen innerhalb des mathematischen Modells durch und
interpretiere die Ergebnisse für die pharmazeutische Fragestellung.
a) Untersuche das Verhalten dieser Funktionen mit den Mitteln der Analysis abhängig
von a und bestimme dabei alle wichtigen Punkte, beschreibe deren Bedeutung für die
pharmazeutische Fragestellung und fertige eine begleitende Zeichnung für a=0,5 an.
b) Zeige mit Mitteln der Integralrechnung, dass F a (t)=e -a²t ( − 1 −t
a²
) Stammfunktionen von
f a (t) sind, berechne die Gesamtfläche unter den Graphen von f a (t) und interpretiere sie
im pharmazeutischen Zusammenhang. In welcher Art beeinflusst der Parameter a die
Aufnahme des Stoffes?
x
c) Beschreibe für a=0,5 den Verlauf der Integralfunktion F 0,5 (x) = f
0 ,5
( t)
dt , zeichne sie
in das Koordinatensystem aus Teil a) ein und interpretiere ihre Funktionswerte im
Pharmamodell.
0

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Abitur 2005
LK Mathematik
Aufgabe M)
Bild aus einem pdf-Dokument des
UGZ - eine Dienstabteilung des
Gesundheits- und Umweltdepartementes GUD in der Schweiz
Version Juni 2004
Der gemeine Silberfisch (Lepisma
saccharina) lebt vorwiegend in den
Feuchtgebieten einer Behausung des
homo sapiens sapiens, ernährt sich u.a.
von Zucker, Papier, Holz, Hautschuppen
und anderen ‚Überresten’ seines
‚Vermieters’ und fühlt sich dort ohne
Störung sehr wohl. Während seines
Daseins durchläuft er drei Stadien der
Entwicklung. Im ersten
Entwicklungsstadium als ‚Kleinfisch’
verbleibt er ca. 6 Monate und reift bis zur Geschlechtsreife heran. Das zweite Stadium, die
‚Jungfischzeit’ erreichen zwar nur ca. 1% der ‚Kleinfische’, dafür vermehren sich diese
‚Jungfische’ so, dass sie etwa 120 Nachkommen in ihrer ebenfalls 6 Monate dauernden
Jungfischzeit ‚produzieren’. Das ebenfalls ca. halbjährige letzte Lebensstadium, das
eigentliche ‚Silberfischdasein’, erreichen ca. 30% der ‚Jungfische’. In diesem letzten
Abschnitt produziert so ein erwachsener Silberfisch etwa 250 Nachkommen, bevor er sich zur
Ruhe legt.
Führe alle Berechnungen so durch, dass die gesamte Vermehrung jeweils genau am
Ende des Lebensabschnitts erfolgt und runde ‚Teilfische’ für die
Graphik (nicht für die Rechnung!) entsprechend.
a) Zeichne den entsprechenden Flussgraphen dieser Populationsentwicklung, gib die
zugehörige Populationsmatrix an und berechne die Populationsentwicklung für ein
geräumiges Badezimmer für die ersten 8 Abschnitte, wenn man davon ausgeht, dass
sich dort nach dem Einzug 100 Klein-, 5 Jung- und 2 erwachsene Silberfische
befinden. Stelle diese Entwicklung graphisch dar.
b) Gib eine (auch rechnerisch) begründete Prognose für die Gesamtentwicklung der
Population im Badezimmer an, wenn keine Gegenmaßnahmen getroffen werden.
Welche Vermehrungsfunktion könnte als Simulation dieser Entwicklung benutzt
werden?
c) Eine völlige Ausrottung der Tierchen ohne massiven Giftstoffeinsatz ist sicher eine
Illusion. Untersuche, welcher der Populationsparameter einzeln verändert werden
müsste, um zumindest eine konstante Population bei diesen Mitbewohnern zu
erreichen und gib Vorschläge an, wie diese Veränderung ohne ‚Giftkeule’
bewerkstelligt werden könnte.

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Abitur 2005
LK Mathematik
Aufgabe W
Kakerlaken auf dem Vormarsch?
Im Jahre 1997 wurde in einer Untersuchung ein Kakerlakenbefall von
9,5% in den Haushalten festgestellt. Da immer wieder in den folgenden
Jahren über den angeblichen Vormarsch dieser Tierchen berichtet wurde,
hat das Bundesgesundheitsministerium 2004 das statistische CockRoach-
Institut damit beauftragt, den tatsächlichen Befall in den Haushalten erneut
festzustellen.
(Alle Berechnungen sollen, wenn nicht anders erwähnt, mit einer statistischen 2-σ-Sicherheit
erfolgen.)
a) Wie viele Haushalte mussten überprüft werden, damit das Ergebnis um nicht mehr 1 %
vom wahren Wert abweicht und man den Wert von 1997 als Vorschätzung benutzt?
In wie weit wäre eine Voruntersuchung hier sinnvoll gewesen und wie viele Haushalte
hätte man ungefähr dafür auswählen sollen?
b) In der dann veröffentlichten Untersuchung wurden in 6412 Haushalten Fallen aufgestellt
und in 672 Haushalten konnte ein Befall nachgewiesen werden.
Schreibe anhand dieser Untersuchungsdaten einen statistisch begründeten
Abschlussbericht über das Untersuchungsergebnis an die Auftrag gebende Stelle.
c) Zusätzlich zur Gesamtausbreitung der Schaben vermutete man ein Anwachsen des Anteils
der fast dreimal so großen amerikanischen Kakerlaken. Dieser Anteil lag in den Vorjahren
immer bei 2% der Tiere. Insgesamt wurden in den Fallen der kontaminierten Haushalte
12768 Tierchen gefangen.
1. Formuliere die entsprechende Fragestellung als Hypothesentest und bestimme den
entsprechenden Verwerfungsbereich zum angegebenen Signifikanzniveau.
2. Berechne den Fehler 2.Art für ein tatsächliches p von 0,022 und formuliere die
Konsequenzen aus einem auftretenden Fehler 1. und 2.Art.