Klangsynthese und Physical Modeling - Brothers in Music

Diplomarbeit
Henri Hagenow

Digitale Synthese komplexer Wellenformen zur Simulation
akustischer, elektrischer und optischer Eigenzustände
mehrdimensionaler Systeme
Diplomarbeit
von
Henri Hagenow
Optisches Institut der Technischen Universität Berlin
AG Prof. A. Ding
Berlin
August 2001

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Da schwebt hervor Musik mit Engelschwingen,
Verflicht zu Millionen Tön um Töne,
Des Menschen Wesen durch und durch zu dringen,
zu überfüllen ihn in ewger Schöne,
Das Auge netzt sich, fühlt im höhern Sehnen,
Den Götterwert der Töne wie der Träne.
J. W. v. Goethe
(Trilogie der Leidenschaften. Aussöhnung, 1823/24)

Professor:
Prof. Dr. Adalbert Ding
Danksagung:
An dieser Stelle möchte ich mich bei meiner Mutter bedanken, die mir die finanzielle
Unterstützung zukommen ließ und es mir ermöglichte, mein Studium nach meinen eigenen
Vorstellungen zu bestreiten – dies gilt natürlich auch für Stefan und Claus: Vielen Dank!
Für die seelische Unterstützung danke ich meiner Freundin Jenny, die so viel Gedult hatte
und für die ich in den letzten Monaten leider viel zu wenig Zeit hatte.
Mein Dank gilt auch Herrn Professor Adalbert Ding, der mir dieses sehr am Herzen
liegende Thema stellte, dank auch für die fachliche Unterstützung. Diese Arbeit hat mir viel
Spaß gemacht!
Vielen Dank auch an die Firma ‚Native Instruments‘, die mir ihre Software ‚Reaktor‘
unentgeldlich zur Verfügung gestellt hat.

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung.........................................................................................................................................1
2. Überblick über verschiedene Klansynthesearten................................................................4
2.1 Klangoptimierte Schallaufzeichnungen und Sampling........................................................5
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2.1.1 Sampling- und Wavetable-Synthese...................................................................5
2.1.2 Granular-Synthese..............................................................................................6
2.2 Abstrakte Algorithmen.........................................................................................................8
2.2.1 Synthese durch Frequenzmodulation.................................................................8
2.2.2 Waveshaping-Synthese....................................................................................12
2.3 Spektrale Modelle.............................................................................................................14
2.3.1 Additive Synthese.............................................................................................14
2.3.2 Resynthese.......................................................................................................17
2.3.2.1 Signalanalyse........................................................................................21
2.3.3 Subtraktive Synthese........................................................................................22
2.4 Physikalische Modelle.......................................................................................................24
2.4.1 Modellierung von Musikinstrumenten mit digitalen Wellenleitern......................25
2.5 Hybridsynthese.................................................................................................................26
2.6 Abwägender Vergleich......................................................................................................26
3. Der Wellenleiter............................................................................................................................28
3.1 Die freischwingende unendlich lange ideale Saite............................................................28
3.1.1 Die Wanderwellenlösung..................................................................................29
3.1.2 Die Digitalisierung der Wanderwellen...............................................................31
3.2 Die verlustbehaftete eindimensionale Wellengleichung...................................................34
3.2.1 Frequenzabhängige Verluste............................................................................36
3.2.2 Die dispersive eindimensionale Wellengleichung.............................................37
3.2.3 Die digitale verlustbehaftete steife Saite...........................................................39
3.3 Alternative Wellenvariablen..............................................................................................41
3.3.1 Kraftwellen........................................................................................................41
3.3.2 Leistungswellen................................................................................................44
3.4 Streuung und Reflexion an Impedanzdiskontinuitäten.....................................................44
3.5 Die eingespannte Saite....................................................................................................44
3.5.1 Starre Begrenzungen.......................................................................................45
3.5.2 Bewegliche Begrenzungen...............................................................................45
3.5.3 Die Anregung der starr begrenzten idealen Saite.............................................48
3.5.4 Die äußere Anregung........................................................................................51

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3.5.5 Die gedämpfte angezupfte Saite.......................................................................52
3.5.5.1 Frequenzabhängige Dämpfung...............................................................54
3.5.6 Saitensteifigkeit.................................................................................................55
3.5.7 Dynamische Saitenbegrenzungen....................................................................55
3.5.8 Die Reflexions-Transferfunktion........................................................................58
3.6 Kopplungserscheinungen.................................................................................................59
3.6.1 Longitudinale Wellen.........................................................................................61
3.6.2 Torsionswellen..................................................................................................62
3.7 Kopplung der Saiten über den Steg..................................................................................62
3.7.1 Kopplung zweier Saiten....................................................................................63
4. Analogien zu optischen Systemen.............................................................................................65
4.1 Wellenformsynthese in der Optik durch ‚Puls Shaping‘ ultrakurzer Laserpulse................65
5. Digitale Implementierung virtuell-elektronischer Schaltungen zur Simulation
mehrdimensionaler akustischer Systeme.........................................................................67
5.1 Implementierung des Wellenleitermodells einer Violine..........................................67
5.1.1 Das Geigenmodell.............................................................................................68
5.1.2 Die Implementierung des Modells der starr eingespannten Saite.....................68
5.1.3 Das Makro ‚Lagrange-Interpolat.‘ .....................................................................73
5.1.4 Das Tonhöhenmakro.........................................................................................76
5.1.5 Frequenzabhängige Dämpfung und Dispersion................................................77
5.1.6 Die stetige äußere Anregung durch das Makro ‚Bogen‘...................................79
5.1.7 Kopplungserscheinungen..................................................................................80
5.1.8 Das Resonanzsystem.......................................................................................81
5.1.9 Zusammenfassende Betrachtung.....................................................................84
5.2 Implementierung verschiedener Modelle zur digitalen Synthese eines
Flötentones.....................................................................................................................86
5.2.1 Simulation eines Flötentones mit den Metoden der additiven Synthese...........86
5.2.1.1 Die Analyse des realen Flötentones..................................................86
5.2.1.2 Implement. einer ‚additiven Flöte‘ auf Basis der Analysedaten.........89
5.2.1.2.1 Die Teilton-Makros.............................................................90
5.2.1.2.2 Das Amplitudenhüllkurven-Makro ‚HK‘..............................91
5.2.1.2.3 Die stochastische Variation der Amplitudenhüllkurve........98
5.2.1.2.4 Das Makro ‚Modulator‘.......................................................98

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Online-Version 1.0
5.2.1.2.5 Das Makro ‚SimpleMod‘...................................................100
5.2.1.2.6 Die erweiterte Line-Segment Approximation...................100
5.2.1.2.7 Das Teilton-Oszillatormakro ‚Sine‘..................................101
5.2.1.2.8 Das Makro ‚FM-Ramp‘.....................................................103
5.2.1.2.9 Das Dateneingabemakro ‚Ansteuerung‘..........................104
5.2.1.2.10 Das Rauschgenerator-Makro ‚Noiz‘...............................106
5.2.1.2.11 Ansteuerung und Spielbarkeit........................................107
5.2.1.2.12 Zusammenfassende Betrachtungen..............................108
5.2.2 Generierung eines Flötenklanges mit den Methoden der FM-Synthese......................108
5.2.2.1 Die Modulstruktur des FM-Modells zur Erzeugung eines Flötenklanges.....109
5.2.2.2 Zusammenfassende Betrachtungen............................................................112
5.2.3 Simulation der Flöte als digitaler Wellenleiter..............................................................112
5.2.3.1 Das physikalische Modell der Flöte..............................................................112
5.2.3.2 Implementierung der akustischen Röhre.....................................................113
5.2.3.3 Implementierung eines Registerloches........................................................115
5.2.3.4 Implementierung von Tonlöchern.................................................................115
5.2.3.5 Zusammenfassende Betrachtungen............................................................116
5.2.4 Vgl. der drei benutzten Synthesemethoden zur Generierung des Flötentones...........117
6. Zusammenfassung.........................................................................................................118
7. Literaturverzeichnis.........................................................................................................119
Anhang.............................................................................................................................................127
A1 Die Finite Differenzenapproximation.....................................................................................
A2 Vergleich der digitalen Wellenleitersimulation mit der finiten Differenzenapproximation......
A3 Allpaßfilter zur Simulation von Dispersion in digitalen Wellenleitern.....................................
A4 Weitere alternative Wellenvariablen......................................................................................
A5 Leistungswellen im digitalen Wellenleiter..............................................................................
A6 Verbindungen zwischen Bereichen verschiedener Wellenimpedanz....................................
A7 Symmetrische FIR-Filter zur Simulation frequenzabhängiger Dämpfung.............................
A8 Die Kopplung von N Saiten...................................................................................................
A9 Die Geigenmodelle von Helmholtz und Raman....................................................................
A9.1 Das Geigenmodell von Helmholtz.........................................................................
A9.2 Das Geigenmodell von Raman.............................................................................

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1. Einleitung
In der Entwicklung der menschlichen Geschichte spielte die Simulation von Naturlauten und
der menschlichen Stimme eine wesentliche Rolle. Die Entwicklung akustischer
Musikinstrumente und die Erzeugung musikalischer Töne hatte schon immer großen
Einfluß auf die Entwicklung der Menschheit. Diese Entwicklung hat viele Instrumente
hervorgebracht, die zunächst nur bei rituellen und religiösen Zeremonien, später auch bei
politischen oder sozialen Gelegenheiten gespielt wurden.
Lange vor der Entwicklung elektronischer und optischer Systeme ist versucht worden,
sowohl die menschliche Stimme, als auch bestehende akustische Musikinstrumente durch
mechanisch zu bedienende akustische Blasinstrumente zu simulieren. Bei den
Kirchenorgeln war es durch zuschaltbare Register möglich, den Klang verschiedener
akustischer Instrumente nachzubilden. In der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts (1773)
gelang es Ch. G. Kratzenstein, Professor der Physiologie in Kopenhagen, mit an
Orgelpfeifen angeschlossenen Resonanzröhren Vokallaute zu generieren. Um diese Zeit
hatte auch Wolfgang von Kempelen schon mit Versuchen begonnen, die ihn zum Bau einer
sprechenden Maschine führten [Kempelen, 1791].
Die Entwicklung der Elektrotechnik am Anfang des 20. Jahrhunderts führte schnell zur
Entwicklung vieler elektro-akustischer und optisch gesteuerter Instrumente. Bei der
Präsentation seines Sphärophons stellte Jörg Mager 1926 den Bau von Musiktürmen in
Aussicht, die die Klangfarbe aller Instrumente und selbst der menschlichen Stimme
nachahmen könnten [de la Motte, 1999]. Das erste Gerät, das Sprachschall auf
elektrischem Wege hervorbringen konnte, war der von Homer Dudley entwickelte VODER,
der 1939 der Öffentlichkeit vorgestellt wurde. Im 1950 von Frank Cooper in den Haskins
Labs konstruierten Pattern Playback modulierte eine rotierende Scheibe mit 50
konzentrischen Tonspuren einen Lichtstrahl. Ähnlich einer Filmspule mit Lichttonspur
wurden hierdurch 50 Teiltöne mit einer Grundfrequenz von 120 Hz erzeugt. Deren Licht
wurde auf ein Spektrogram projiziert, das über Rollen am Lichtstrahl vorbeibewegt wurde.
Das reflektierte Licht wurde einer Photozelle zugeführt, mit der die Lichtschwankungen
schließlich in Schalldruckschwankungen umgewandelt wurden. Die Reflektanz des Lichtes
entsprach dem Schallpegel der Teiltöne.
Musikalische Bedeutung erlangten nur wenige der vielen elektronischen Instrumente. Mit
dem Trautonium komponierten Paul Hindemith und Oskar Sala. Auch das Dynamophon von
René Bertrand und das Aetherophon von Leon Theremin weckten kompositorisches
Interesse. Vor allem für die Filmmusik wurden viele Stücke für elektronische
Musikinstrumente geschrieben, da die elektrischen Klangerzeuger für besondere Effekte
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gut geeignet waren. In das Orchester eingedrungen ist nur das Ondes Martenot, wirkte hier
aber meist nur als begleitende Unterstützung der übrigen (klassischen) akustischen
Instrumente. Die Erfolge der neuen elektrischen Instrumente lagen eher im Bereich der
unterhaltenden Musik. Das Theremin zum Beispiel wurde zu einem Performance-
Instrument, das das Publikum durch die Darbietungen einer Tänzerin entzückte, die durch
ihre Bewegungen das Instrument steuerte.
Die elektronischen Instrumente leisteten zwar ihren Beitrag zur modernen Musik, wurden
aber hauptsächlich in der Unterhaltungsmusik eingesetzt und prägen diese bis in die
heutige Zeit. Seit der Entwicklung der modernen Halbleitertechnik sind im zunehmenden
Maße elektronische Instrumente entwickelt worden, die zunächst die elektrisch-
mechanische Orgel (z.B. die Hammond-Orgel) ersetzen sollten, sich mit der Zeit aber zu
eigenständigen Instrumenten entwickelten. Durch die mit der Computertechnik
einhergehende Entwicklung der Speichertechnik wurde es bald möglich gemacht, elektro-
akustische Aufnahmen realer Klänge durch passende Interpolationstechniken (Sampling)
den elektronischen Instrumenten zugänglich zu machen. Die Weiterentwicklung
elektronischer Klangerzeuger hat sich mittlerweile fast vollkommen auf den Computer
verlagert, wo nun softwarebasierte Musikinstrumente mit Hilfe komplizierter Algorithmen
Töne generieren, die nur noch schwer von denen echter Instrumente zu unterscheiden sind.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der digitalen Synthese komplexer Wellenformen, die bei
der Anregung akustisch-mechanischer und optischer Systeme entstehen. Besonders
ausführend werden Anregungen akustisch-mechanischer Systeme diskutiert, wie sie
beispielsweise bei den mechanischen Systemen akustischer Musikinstrumente auftreten.
Als Beispiele werden zum einen Saiteninstrumente (Gitarre, Geige), zum anderen
Blasinstrumente (Flöte) behandelt. Hierbei orientiert sich der im Computer simulierte
Syntheseprozess an den physikalischen Vorgängen in den natürlichen Instrumenten. Ein
Überbegriff ist das sogenannte ‚physical modeling‘. Dieses Gebiet, speziell das der
Wellenleitersynthese, wird in Kapitel 3 behandelt. Dem geht ein kurzer Überblick über
verschiedene Klangsynthese-prinzipien in Kapitel 2 voraus. In Kapitel 4 folgt eine kurze
Betrachtung der Möglichkeiten zur Wellenformsynthese in der Optik .
In Kapitel 5 folgt die Diskussion und Beschreibung der digitalen Implementierung von
physikalischen Instrumentenmodellen einer Geige und einer Flöte. Diese Modelle bestehen
aus voneinander getrennten Teilbereichen, die jeweils einen bestimmten physikalischen
Prozeß im realen Instrument idealisieren (z.B. Saitenschwingung, Verlusterscheinungen,
Kopplungseffekte, Resonanzsysteme, Schallabstrahlung). Die digitale Implementierung der
erstellten Instrumentenmodelle erfolgt in der modularen Programmierumgebung der
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Klangsynthesesoftware ‚Reaktor‘, die virtuell-analoge elektrotechnische Grundschaltungen
(wie z.B. Oszillatoren, Filter, Hüllkurven, Logikelemente) zur Verfügung stellt, welche
beliebig verschaltet werden können. Mittels einer geeigneten Parametrisierung lassen sich
so Sig-nale generieren, deren Eigenschaften und Klang denen echter Instrumente sehr
nahe kommen.
Physikalische Echtzeit-Modelle in Synthesizern sind erst mit der Entwicklung
leistungsfähiger Rechner möglich geworden. Die Entwicklung softwarebasierter Synthesizer
zur musikalischen Klanggestaltung hat die Implementierungen physikalischer Modelle
wesentlich vereinfacht. Solche Anwendungen sind in den letzten Jahren immer
bedeutender und häufiger geworden. Bei der Wahl der Synthesemethode für die
physikalische Modellierung akustischer Musikinstrumente erweist sich vor allem der ‚digitale
Wellenleiter‘ (digital waveguide) als sehr effizient.
Physikalische Modelle von Musikinstrumenten haben gegenüber den bisher genutzten
Klangerzeugungsprinzipien den Vorteil, daß sie mit den gleichen Kontrollparametern
klanglich beeinflußbar sind, wie ihre realen Vorbilder. Sie versprechen somit die höchste
Klangqualität bei der Imitation akustischer Musikinstrumente (im Folgenden auch
Naturinstrumente genannt).
Seitdem der Mensch Musik macht, ist er auf der Suche nach musikalisch verwendbaren
Klängen. Musik wird seit Tausenden von Jahren auf mechanischen Instrumenten erzeugt.
Durch die Entdeckung der Elektrizität entstand eine neue Möglichkeit zur musikalischen
Klangerzeugung, die den Bau von vielen Musikinstrumenten nach sich zog.
Seitdem es elektronische Instrumente gibt, versuchen die Menschen, die Klangfarben
altbekannter akustischer Musikinstrumente zu simulieren. Durch die vorherige Analyse der
zu simulierenden Instrumente und die darauffolgende Erstellung und Implementierung des
Instrumentenmodells können die tonerzeugenden Mechanismen der natürlichen
Instrumente besser verstanden werden. Durch die Implementierung vorhandener
physikalischer Instrumentenmodelle können diese in ihrer Gültigkeit überprüft und
verbessert werden. Ein besseres Verständnis der akustischen Instrumente ermöglicht es
dem Musiker und dem Instrumentenbauer, gezielte Verbesserungen in Spieltechnik und
Bauweise vorzunehmen.
Mitlerweile ist sogar ein kommerzieller Anreiz vorhanden; die Entwicklung leistungsfähiger
Rechner ermöglichte die Entwicklung von softwarebasierten Synthesizern zur modernen
Musikproduktion. Der Markt dieser Klangerzeuger explodiert förmlich. Synthesizer, die zur
Klangerzeugung die selben Prinzipien wie die Naturinstrumente nutzen, sind hoch im Trend
und beschäftigen viele Elektrotechniker und Softwareingenieure.
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3

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2. Überblick über verschiedene Klansynthesearten
Dieses Kapitel soll einen kurzen Überblick über verschiedene digitale Klangsynthesearten
verschaffen und klären, inwieweit diese zur digitalen Modellierung akustischer Klangkörper
geeignet sind. Die vielversprechensten Methoden für realistische Simulationen akustisch-
mechanischer Systeme sind hierbei die additive Synthese (Abschnitt 2.3.1) und das
‚physical modeling‘ (Abschnitt 2.4).
Ein gutes Klangsynthesemodell zeichnet sich vor allem durch eine große Anzahl
klangformender Parameter aus, welche direkte und für den Spieler intuitive, leicht
verständliche Klangveränderungen ermöglichen, und ihm so einen direkten Zugriff auf die
Basis-Klang-eigenschaften verschaffen.
Serra [Serra, 1997] unterteilt die heutzutage gängigen Modelle in drei Basis-Modellierungs-
arten: Instrumentale Modellierung, Spektrale Modellierung und Abstrakte Modellierung,
wobei die Gemeinsamkeiten innerhalb der drei Gruppen in der Parametrisierung der Klänge
gesucht werden. Die Synthesearten der instrumentalen Modellierung parametrisieren den
Klang an seiner Quelle, also dem Instrument selbst. Ein Beispiel wäre z.B. die
Wellenleitersynthese (Abschnitt 2.4.1). Die Methode der spektralen Modellierung versucht
den Klang so zu parametrisieren, wie er bei der Basilliarmembran des Gehörs ankommt.
Hier wären z.B. die additive Synthese (Abschnitt 2.3.1) und die Resynthese (Abschnitt
2.3.2) zu nennen. Die abstrakte Modellierung versucht musikalisch sinnvolle Parameter in
einer abstrakten Formel zu Verfügung zu stellen; ein Beispiel ist die Frequenzmodulation
(Abschnitt 2.2.1). Tolonen [Tolonen et al., 1998] teilt die verschiedenen Methoden der
digitalen Klangsynthese in vier verschiedene Klassen ein:
- Abstrakte Algorithmen,
- Sampling & klangoptimierte Aufnahmen,
- Spektrale Modelle
- Physikalische Modelle.
Hierbei wird den Methoden der spektralen Modelle und der physikalischen Modelle große
Aussichten auf zukünftige qualitativ hochwertige Klangsynthesealgorithmen zugesprochen.
Ihnen gilt das Interesse in der derzeitigen Forschung.
Die meisten der hier vorgestellten Klangsynthesemethoden werden nur kurz angesprochen.
Die in der Instrumentenindustrie zur Zeit am häufigsten genutzten Arten der Klangsynthese
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sind die sogenannte subtraktive Synthese (Abschnitt 2.3.3), die Frequenzmodulation und
das Sampling (Abschnitt 2.1.1).
2.1 Klangoptimierte Schallaufzeichnungen und Sampling
Die Entwicklung der Musik ist eng an die technischen Errungenschaften und Entdeckungen
ihrer Zeit geknüpft. Vor allem seit der technischen Revolution des letzten Jahrhunderts
experimentieren die Musiker mit den neuesten technologischen Entwicklungen.
In den zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts wurden von Komponisten wie Milhaud,
Hindemith und Toch während ihrer Konzerte die ersten Experimente der Klangkomposition
mit in der Abspielgeschwindigkeit variabler Phonographen gemacht [Roads, 1996]. Die
Klangkünstler der von Pierre Schaeffer in den 50er Jahren gegründeten ‚musique concrète‘
(z.B. Karlheinz Stockhausen, Pierre Henry) arbeiteten u.a. mit isolierten Klangelementen
aus Tonbandaufnahmen und echten Klängen.
Im Bereich klangoptimierter Schallaufzeichnungen werden neue Klänge mittels
gespeicherter und eventuell nachbearbeiteter Klangereignisse durch Variation sonst fester
Parameter synthetisiert. In die hier vorgestellte Kategorie gehören u.a. Synthesearten wie
Sampling, Wavetable-Synthese und Granular-Synthese.
2.1.1 Sampling- und Wavetable-Synthese
Beim sogenannten Sampling werden digital aufgezeichnete Signalformen (Samples) aus
einem Halbleiterspeicher ausgelesen und abgespielt 1 . Hierbei können sowohl Tonsignale
echter Instrumente, als auch andere Schallereignisse digitalisiert werden. Im einfachsten
Fall werden einzelne Wellenformen in digitalen Wellenformtabellen (Wavetables) abgelegt
und mittels ‚table-lookup‘ und ‚pointer-update‘ ausgelesen; man spricht dann von der Wave-
table-Synthese. Unterschiedliche Tonhöhen werden durch Variation der Auslese-
geschwindigkeit erzeugt. Nachteilig hierbei ist, daß bei einer von der Original-
geschwindigkeit abweichenden Auslesung eine Zeitkomprimierung bzw. -dehnung
verursacht wird, die zu einer Stauchung bzw. Dehnung des gesamten Spektrums führt. Dies
verschiebt die Formantbereiche des Spektrums je nach Abweichung verschieden stark und
führt z.B. bei Sprachaufnahmen zum bekannten ‚Mickey Mouse‘-Effekt. Bei größeren
1 Schon vor dem digitalen Sampling gab es Instrumente, die die Töne auf Bandkassetten speicherten
und auf Tastendruck abspielten (z.B. das Mellotron, 1963; siehe ‚Electronic Instruments 1870-1990
[http://www.obsolete.com/120_years/]).
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Tonintervallen entspricht die gehörte Klangfarbe dann nicht mehr der des
Originalinstrumentes. Die einzige Möglichkeit, dies zu umgehen, ist die Speicherung eines
Tonsignals pro Halbton. Um das gespielte Instrument noch realistischer zu gestalten, müßte
man noch zusätzliche Samples für verschieden gespielte Lautstärken (piano bis forte)
einbinden, da sich das Klangbild eines Instrumentes mit der bespielten Dynamik verändert.
Solche spieltechnisch bedingten Klangvariationen lassen sich prinzipiell auch mit Hilfe
nachgeschalteter und dynamisch gesteuerter Tiefpaßfilter und Amplitudenhüllkurven
simulieren.
Der für eine realistisch klingende Sampling-Synthese benötigte Speicherplatz ist erheblich.
Zur Reduzierung des Speicherbedarfs gibt es neben der Verringerung der Anzahl der
abspielbaren Samples und der Datenreduktion (Bitratenreduktion, Samplefrequenz-
Reduktion, MPEG usw.) auch noch die Möglichkeit, die Länge der aufgezeichneten Klänge
zu minimieren und diesen Eingriff mittels einer periodischen Wiederholung bestimmter Teile
aus dem quasistationären Klangbereich zu kaschieren (Looping). Während ein Ton
gehalten wird, hört man immer wieder dieselbe Wiederholung, allein die Amplituden- und
Filterhüllkurve kann nun noch den Klangverlauf beeinflussen. Die quasistationäre
Klangphase kann so durch die Wiederholung eines kurzen Segments zwischen den zwei
sogenannten Loop-Punkten reproduziert werden. Nachdem der Ton beendet wird, endet
auch die Wiederholung, und das Sample spielt die Ausklangphase des Tones. Ist der Loop
zu kurz, entstehen Klangartefakte. Der Ton klingt künstlich, da die instrumentenspezifischen
zeitveränderlichen Eigenschaften des Originalklanges verworfen werden.
Die Sampling-Synthese kämpft schon immer um einen Kompromiß zwischen Klangqualität
und Speicherplatzverbrauch.
Da bei dieser Klangsynthesemethode mit digital aufgezeichneten Klängen gearbeitet wird,
ist sie weitgehend ungeeignet, um mehrdimensionale Klangkörper, wie z.B. eine Geige oder
eine Flöte, zu modellieren. In Kombination mit der Wellenleitersynthese führt der Einsatz
der Samplingtechnik bei der Simulation akustischer Systeme zu guten Ergebnissen
(‚commuted synthesis‘; siehe Abschnitt 5.1.9).
Mehr über Wavetable-Synthese und Sampling findet sich in [Bristow-Johnson, 1996].
2.1.2 Granular-Synthese
Die Granularsynthese wurde vom ungarischen Physiker Dennis Gabor [Gabor, 1947] in den
späten 40er Jahren entwickelt [Cavaliere&Piccialli, 1997; Roads, 1996]. Gabor stellte in
praktischen Experimenten fest, daß sich bei einer bestimmten Kombination von vielen
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äußerst kurzen Klangschnipseln 2 , sogenannten ‚Audio-Grains‘, jeder beliebige Klang
erzeugen läßt. Dieser Ansatz operiert ausschließlich im Zeitbereich und steht der weiter
unten besprochenen Fouriermethode (Abschnitt 2.3.1) gegenüber, die mit der Kombination
elementarer Sinusschwingungen im Frequenzbereich arbeitet. Gabors Hypothese wurde
1980 mathematisch bewiesen [Bastiaans, 1980]. Sie beinhaltet heutzutage ein weites Feld
verschiedener Realisierungen, deren Gemeinsamkeit die Präsentation des Klangsignals
durch ‚Klangatome‘ oder ‚Grains‘ ist. Das synthetisierte Klangsignal entsteht durch Addition
dieser Elementareinheiten in der Zeitebene. Ein Klang-Grain kann hierbei eine Dauer von
einer bis zu mehreren hundert Millisekunden besitzen und die Wellenform des Grains kann
eine mit einer Fensterfunktion multiplizierten Sinusoide, ein aufgezeichnetes Signal oder ein
aus einem physikalischen Modell eines Klangproduktionsmechanismus entstandener
Klangbaustein sein [Cavaliere&Piccialli]. Eine zeitliche Schwelle besteht bei einer
Grainlänge von 50 ms; das menschliche Ohr nimmt kürzere Grains als Kontinuum, längere
hingegen als einzelne Abschnitte wahr.
Die verschiedenen Granularsynthesetechniken lassen sich nach der Art klassifizieren, wie
die klangbildenden Grains erzeugt werden (Asynchronous Granular Synthesis, Pitch
Synchronous Granular Synthesis usw.). Im Rahmen dieser Arbeit kann aufgrund des
Umfangs dieses sehr interessanten Gebietes nicht weiter auf die Granularsynthese
eingegangen werden. Zudem scheint diese Form der Klanggenerierung auf den ersten Blick
weniger für eine Wellenformsynthese zur Simulation der Eigenzustände akustischer
Musikinstrumente geeignet zu sein. Die Beschreibung eines physikalischen Systems durch
Parameter wie ‚Graindichte’ oder ‚Grainlänge‘ und die Veränderungen im synthetisierten
Klangspektrum bei Variation dieser Systemparameter sind nicht intuitiv und daher
ungeeignet, um akustische Instrumente mittels Granularsynthese nachzubilden und diese
Modelle durch Instrumentalisten spielen zu lassen. Für Weiteres wird auf die oben
aufgezeigte Literatur verwiesen.
2 Die Klangpartikel bestehen aus kurzen Wellenpaketen verschiedenster Spektren (einfache
Wellenformen, Rauschen etc.). Die Länge der Tonpartikel liegt im Bereich 20-50 ms. Der zeitliche
Abstand zwischen den einzelnen Tonsegmenten wird mit 20-30 ms unter der zeitlichen Auflösung
des menschliches Gehörs (10-50 ms) gehalten.
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2.2 Abstrakte Algorithmen
Im Folgenden werden Methoden zur Klangerzeugung vorgestellt, die auf abstrakten
Algorithmen beruhen. Hierzu zählen die Synthese durch Frequenzmodulation und die
Waveshaping-Synthese.
2.2.1 Synthese durch Frequenzmodulation
Die Synthese durch Frequenzmodulation (FM-Synthese) ist eine fundamentale digitale
Klangsynthesetechnik, die eine nichtlineare Oszillatorfunktion verwendet. Es gibt
verschiedene Ansätze von Methoden der Klangsynthese durch Frequenzmodulation, die
aber alle nach dem Originalprinzip der 1973 von J. Chowning (Stanford University)
eingeführten FM-Synthese funktionieren [Chowning, 1973]. Die Theorie der
Frequenzmodulation war schon Mitte der 20er Jahre bekannt und fand Anwendung in der
Radiotechnik. Die Nutzung der Frequenzmodulation speziell zur Klangsynthese wurde vor
den späten 60er Jahren noch nicht untersucht.
Die zeitveränderliche spektrale Struktur natürlich erzeugter Klänge ist nur schwer mit
linearer Technik nachzubilden, so wie z.B. mittels additiver Synthese (Abschnitt 2.3.1).
Chowning fand heraus, daß man durch Frequenzmodulation mit nur zwei Sinusoszillatoren
komplexe Audio-Spektren erzeugen kann die sich problemlos in der Zeit variieren lassen.
Bei der simpelsten Form der Frequenzmodulation sind zwei Sinusoszillatoren so mitein-
ander verbunden, daß die Frequenz des einen Oszillators (‚Träger‘) mit der Frequenz des
anderen Oszillators (‚Modulator‘) moduliert wird. Ein einfaches FM-Instrument ist in Abb.2.1
dargestellt. Das Ausgangssignal y(n) des Instrumentes kann in digitalisierter Form
dargestellt werden durch
y( n)
= A(
n)
⋅sin[
2π
⋅ f c + I(
n)
⋅sin(
2π
⋅nfm
)]
(
2.
1)
Hierbei ist A(n) die Amplitude bzw. die Hüllkurve des Ausgangssignals. f c ist die
Trägerfrequenz, I der Modulationsindex und f m die Modulationsfrequenz.
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Abb.2.1: Abgebildet ist ein simples FM-Instrument: Das Modulatorsignal
y m(n) = I⋅sin(2π⋅f m) wird auf den Konstanten Steuerwert f c des Trägerfrequenzeingangs
addiert und variiert diesen mit einstellbarer Frequenz f m
und Amplitude I.
Ist I = 0 (‚Null-Modulation‘), gilt für das Ausgangssignal y(n) = A(n) ⋅sin(2π⋅f c⋅n). Es ist zu
beachten, daß in der Abbildung die Frequenz moduliert wird, Gleichung (2.1) aber eine
Phasenmodulation 3 darstellt. Gleichung (2.1) läßt sich auch ausdrücken durch
wobei J k die Besselfunktion k-ter Ordnung ist [Chowning, 1973; De Pol, 1983]. Die
Gleichung zeigt, daß das Signal y(n) im Frequenzbereich durch einen Peak bei der
Frequenz f c, sowie durch zusätzliche Peaks bei den Frequenzen f n± = f c ± n⋅f m , n = 1, 2, ...
dargestellt wird (Abb.2.2). Die Frequenzen f n± werden ‚Seitenbänder‘ genannt.
Abb. 2.2: Darstellung des Spektrums eines mittels Frequenzmodulation erzeugten
Signals.
3 Die Frequenz ist die zeitliche Ableitung der Phase. Ist die Phase konstant, so ist die Frequenz
gleich Null. Verändert sich Phase linear mit der Zeit, so ist die Frequenz konstant. Verändert sich die
Phase quadratisch, so nennt man das entstehende Signal ein ‚Chirp-Signal‘, dessen Frequenz sich
linear in der Zeit verändert.
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∑ ∞
k = −∞
y ( n)
= J ( I)
sin 2π
⋅ ( f + f ⋅ nk)
(
2.
2)
k
9
c
m

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Ein Teil der Energie der Trägerschwingung wird auf die Seitenfrequenzen f n± verteilt.
Mittels Gleichung (2.2) lassen sich die Seitenbänder und damit die Partialtöne analytisch
vorausbestimmen. Ein harmonisches Spektrum erhält man, wenn Träger- und
Modulatorfrequenz im Verhältnis ganzer Zahlen zueinander stehen: f c/ f m = N 1/N 2; N 1,2 ∈Ζ.
Andernfalls ist das Spektrum des Ausgangssignals disharmonisch, was sich allerdings auch
zur Formung von unharmonischen Klangspektren (z.B. Glocken, Gongs, Schlagzeug)
nutzen läßt. Truax [Truax, 1977] diskutiert die Möglichkeit, die Frequenzverhältnisse in
spektrale Fami-lien einzuteilen und so eine Klangkomposition mittels Frequenzmodulation
zu erleichtern.
Neben der Wahl des Frequenzverhältnisses kann man zur Gestaltung der Wellenform auch
den Modulationsindex I(n) verändern. Er bestimmt die Tiefe der Modulation und damit auch
die Anzahl der wahrnehmbaren Seitenbänder, also der Obertöne des entstehende Klanges.
Da die Energie für die entstehenden Seitenbänder von der Trägerfrequenz stammt, deren
Tonhöhe den Grundton bestimmt, äußert sich das Wachsen des Modulationsindex in einer
Lautstärkereduzierung des Grundtones. Im Extremfall ist der Grundton aus der Fülle der
Obertöne nicht mehr heraushörbar.
Befindet sich die Trägerfrequenz im tiefen Frequenzbereich, also nahe des
Frequenznullpunkts (z.B. 100 Hz) und ist die Modulationsfrequenz in der gleichen
Größenordnung (z.B. ebenfalls 100 Hz), so werden die in den negativen Frequenzbereich
fallenden Seitenbänder an der 0-Hz-Achse in den positiven Bereich zurückgespiegelt. Unter
Berücksichtigung der Phasenlage der jeweiligen reflektierten Seitenbänder erfolgt dann
eine Überlagerung mit den nichtreflektierten Frequenzanteilen, was zur Auslöschung bzw.
Verstärkung einzelner Obertöne führen kann.
Eine dynamische Steuerung des Klangspektrums kann man mit der zeitlichen Variation des
Modulationsindex I(n) erreichen und so komplexe Klangverläufe realisieren. Der durch den
Modulationsindex gesteuerte Obertongehalt läßt sich klanglich mit den Auswirkungen einer
Filterung des Klangsignals vergleichen (vgl. 2.3.3 subtraktive Synthese).
Die Signalformung mittels Frequenzmodulation läßt sich durch die Verkopplung beliebig
vieler Oszillatoren und Steuerungs-Hüllkurven zunehmend verkomplizieren, wobei ein
Oszillator gleichzeitig sowohl Träger- als auch Modulatorfunktion erfüllen kann.
Eine gezielte Wellenformgestaltung ist anhand der schnell wachsenden und in ihrer
Auswirkung schwer überschaubaren Parameterflut kaum zu realisieren. Selbst bei simplen
FM-Systemen verändern sich die Amplitudenverhältnisse der Harmonischen
ungleichmäßig, wenn man den Modulationsindex variiert, um den Obertongehalt zu
verändern. Dieses Problem läßt sich mit der ‚Feedback-FM‘-Methode lösen, die von der
Firma YAMAHA patentiert wurde [Tomisawa, 1981], und in Abb. 2.3 als 1-Oszillator-
Feedback-System schematisch veranschaulicht wird.
Online-Version 1.0 10

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Abb.2.3: Abgebildet ist ein 1-Oszillator-Feedback-System mit dem Ausgangssignal
y FD1(n). Mit dem Feedbackparameter b läßt sich Einfluß auf das Klangspektrum
nehmen (siehe auch Abb. 2.4).
Ein solches System erhält man aus einem simplen FM-System durch den Austausch des
Modulators durch eine Feedback-Verbindung vom Systemausgang. In Abb. 2.4 sieht man
die Auswirkung dieser System-Modifikation anhand eines Vergleichs der verschiedenen
Signalspektren.
Ein Überblick über weitere Abwandlungen der simplen Frequenzmodulation findet sich in
[Roads, 1996]. Die Methode der Frequenzmodulation zur Wellenformsynthese ist die
preiswerteste und daher auch in den meisten klangerzeugenden Chips implementiert.
Abb.2.4: Vergleich des Signalspektrums eines simplen FM-Systems mit dem eines
1-Oszillator-Feedback-System bei verschiedenen Feedback-Parametereinstellungen
b = 0,5 und b = 1,5. Das geregeltere Amplitudenverhalten der einzelnen Obertöne
beim 1-Oszillator-Feedback-System ist im rechten Teil der Abbildung gut zu erkennen.
Online-Version 1.0
11

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Mit dem Verfahren der Frequenzmodulation lassen sich die Klänge akustischer Instrumente
immer nur über ihr Spektrum und ihre Hüllkurve annähern. Die Parameter, die ein
Instrumentalist verändert, um den Klang seines Instruments gezielt zu beeinflussen (bei
Blasinstrumenten z.B. der Anblasdruck oder die Lippenspannung), lassen sich durch FM-
Synthese nicht modellieren. Eine vergleichbare Klangveränderung erhält man hier nur
durch eine erneute Annäherung an das Spektrum durch die Variation der hierfür
notwendigen Parameter [Wenzel, 1999].
Eine Simulation akusto-mechanischer Systeme scheint zwar möglich, ist aber schwer zu
realisieren. Die Implementierung einer FM-Flöte ist in Abschnitt 6.2 zu finden. Detaillierte
Informationen findet man in [De Poli, 1983], [Roads, 1996], [Holm, 1992] oder [Bate, 1990]
2.2.2 Waveshaping-Synthese
Die Waveshaping-Synthese oder auch Wellenformsynthese fügt einem Eingangssignal
neue Obertöne durch eine nichlineare Verzerrung des Signals hinzu. Sie nutzt eine
‚Formungsfunktion‘, um das Eingangssignal anhand einer nichtlinearen Kennlinie zu
verformen. In der grundlegensten Form wird dies durch die Abbildung eines Sinussignals
auf eine nichtlineare Verzerrungsfunktion w realisiert, von denen in Abb. 2.5 einige
Beispiele aufgezeigt sind. Die Funktion w transformiert den Eingangswert x(n) im Bereich [-
1,1] in den Ausgangswert y(n) im gleichen Bereich. Die Verhältnisse der Harmonischen
lassen sich genau kontrollieren, indem man als Verzerrungsfunktionen Chebyshev-
Polynome 4 verwendet [Arfib, 1979; Le Brun, 1979]. Benutzt man ein Chebyshev-Polynom n-
ter Ordnung T n als Verzerrungsfunktion für ein sinusförmiges Eingangssignal der Frequenz
ω, so zeigt sich, daß das Ausgangssignal ein reiner Sinus der Frequenz n⋅ω ist:
T n[x=cos(ω)] = cos(n⋅ω). Nutzt man eine Linearkombination von Chebyshev-Polynomen als
Verzerrungsfunktion, so kann man die Amplitudenverhältnisse der entstehenden
Harmonischen kontrollieren [Tolonen et.al., 1998]. Mittels einer nachgeschalteten
Amplitudenmodulation kann man dem Signal noch Komponenten hinzufügen, die um die
Modulationsfrequenz f m herum in Frequenzabständen des unverzerrten Sinussignals f 0
verteilt liegen (f ± = f 0 ± f m) [Roads, 1996].
4
Im allgemeinen gilt für Chebyshev-Polynome Tn: |Tn(x)| ≤ 1 für |x| ≤ 1. Eine Chebyshev-Serie in x
m a 0 S(
x)
= +
ist eine Fourier-Serie in ω. Die Terme apTp, aq,Tq usw. kann man ignorieren,
∑ a jT
j ( x)
2 j=
1 sofern |ap| + |aq| +... kleiner ist, als der zu akzeptierende Fehler. Es folgt:
1
S(
x)
=
2
Online-Version 1.0 12
∞
∑
j=
−∞
a0
a jT
j(
x)
= +
2
∞
∑
j=
1
a T ( x)
j
j

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Abb.2.5: Beispiel der Waveshapingsynthese mit vier verschiedenen Formungsfunktionen.
Das Eingangssignal a) ist in allen Fällen gleich.
Erste Experimente mit der Waveshaping-Synthese wurden 1969 von J.-C. Risset
unternommen [Roads, 1996]. Arfib und Le Brun entwickelten unabhängig voneinander die
mathematische Formulierung der Wellenformsynthese [Arfib, 1979; Le Brun, 1979].
Für die Modellierung komplexer Klangkörper ist diese Art der Klangerzeugung im Sinne der
vorliegenden Arbeit aufgrund der Schwierigkeit der Implementierung physikalischer
Parameter der Instrumentenmodelle und der fehlenden Intuitivität bei der Steuerung der
Parameter durch den Instrumentalisten ungeeignet.
2.3 Spektrale Modelle
Die Methoden der spektralen Klangsynthese basieren auf der 1843 von Georg Simon Ohm
entdeckten Eigenschaft des menschlichen Gehörs, die wahrgenommenen Klänge nach den
Prinzipien der Fourier-Analyse in Einzelfrequenzen bzw. Frequenzgruppen aufzuteilen und
dem Gehirn zu übermitteln [Ruschkowski, 1998]. Die Synthesemethoden aus der Gruppe
der spektralen Modelle machen sich dieses Prinzip zunutze. Die sogenannte ‚Fourier-
synthese’ oder ‚additive Synthese‘ erzeugt durch Addition einer Reihe von Sinustönen eine
komplexe periodische Schwingung. Karlheinz Stockhausen und Bruner Maderna
komponierten mit den Mitteln der additiven Synthese kurze elektronische Musikstücke.
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13

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Geht der additiven Synthese eine Analyse des zu reproduzierenden Klanges voraus, nennt
man diese auch Resynthese. Auch die subtraktive Synthese läßt sich in die Kategorie der
spektralen Modelle einordnen.
2.3.1 Additive Synthese
Bei der additiven Synthese 5 wird davon ausgegangen, daß ein musikalischer Ton aus einer
endlichen Anzahl diskreter Sinusschwingungen besteht, die bestimmte zeitliche
Amplitudenverläufe besitzen. Um einen Naturton nachzubilden, werden also nur eine große
Anzahl von Sinusoszillatoren und eine entsprechend große Anzahl an
Hüllkurvengeneratoren benötigt, die die Amplitudenverläufe der einzelnen Obertöne
steuern. Dadurch ist sie eine für künstlerische Gestaltung zugängliche und in der
Parametrisierung intuitiv gestaltbare Synthesetechnik. Mit einer großen Anzahl von
Sinusoszillatoren, deren Frequenz, Amplitude und Phase einzeln einstellbar und im Idealfall
auch einzeln zeitlich modulierbar sind, lassen sich demnach alle erdenklichen
Wellenformen generieren. Die additive Synthese ist eine der ersten
Klangsynthesetechniken, die in der Computermusik genutzt wurde. Eine ausführliche
Beschreibung dieser Syntheseform findet sich im ersten Artikel der ersten Ausgabe des
‚Computer Music Journal‘ von 1977 [Moorer, 1977].
Bei der additiven Synthese werden drei Kontrollfunktionen (Amplitude, Frequenz, Phase) für
jeden Sinusoszillator benötigt. Häufig wird auf die Steuerung der Phase verzichtet, um den
Algorithmus zu vereinfachen. Das Ausgangssignal y(n) eines additiven Klangsynthese-
algorithmus kann dann als Summe der Einzelkomponenten dargestellt werden:
∑ − M 1
k = 0
y( n)
= A ( n)
sin[ 2π
⋅ f
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k
n ist hierbei der digitale Zeitindex, M die Anzahl der einzelnen Sinusoszillatoren und A(n)
die hüllkurvengesteuerte zeitabhängige Amplitude.
Bei der sogenannten ‚Line Segment‘-Approximation [Risset, 1964; Strawn,1980; Moorer,
1985] werden die Amplituden- und Frequenzfunktionen durch stückweise lineare Kurven
gesteuert, um den durch eine vorherige Klanganalyse bestimmten Originalverlauf der
Obertonamplitude der nachzubildenden Klänge zu approximieren (Abb. 2.6). Eine Variation
k
( n)]
dieser Methode kommt in Abschnitt 5.2.1.2.3 zur Anwendung.
(
2.
3)
5 Die additive Synthese ist wohl eine der ältesten bekannten Synthesearten; im Prinzip wurde sie
schon bei Kirchenorgeln betrieben, wo man verschiedene Register mischen konnte, um so die
Klangfarben unterschiedlicher Orchesterintrumente simulieren zu können.

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Geht der Synthese eine ausgiebige Analyse des nachzubildenden Tones voraus, läßt sich
theoretisch jeder Naturklang beliebig genau reproduzieren. Ein Analysealgorithmus und ein
darauf folgender Synthesealgorithmus läßt sich automatisieren und so zu einer mächtigen
Synthesesoftware gestalten - eine solche Software wird von verschiedenen Instituten 6
entwickelt und verfeinert (Mc Aulay-Quatieri Algorithmus, Spectral Modeling Synthesis
[SMS], Transient Modeling Synthesis [TMS], FFT -1 -Synthese).
Abb.2.6: Beispiel der Line-Segment-Approximation bei der additiven Synthese:
Der gemessene Hüllkurvenverlauf der einzelnen Obertonamplituden wird mittels
streckenweise linearer Kurvenstücke approximiert
Die zu investierende Implementierungsarbeit erhöht sich mit der Komplexität des zu
simulierenden Klanges, vor allem bei manueller Einstellung aller wichtigen Parameter. Ist
der Klang lebendig und dynamisch, so ist eine komplizierte und für jeden Oszillator
individuelle Modulation von Frequenz und Amplitude notwendig. Je lebhafter der Klang ist,
desto komplizierter müssen die einzelnen Oszillatoren, deren Einzelfrequenzen die
Obertöne des Klanges bilden, moduliert werden. Hierbei sollte für ein realistisches Klangbild
zusätzlich auf eine mögliche Kopplung zwischen einzelnen Obertönen geachtet werden.
Mit der Brillianz des nachzubildenden Tones, also der Anzahl der im Klang vorhandenen
Obertöne, steigt auch die Anzahl der zur Simulation notwendigen Oszillatoren und damit
auch der Modulatoren. Hinzu kommt, daß die den Klangeindruck bestimmenden Parameter
der einzelnen Obertöne (Amplitude, Frequenz und deren zeitliche Ableitungen) mit der
Spieldynamik variieren müssen. Ein auf einem Instrument forte gespielter Ton hat ein
komplexeres Spektrum, besitzt mehr Obertöne usw. als ein piano gespielter Ton.
Die subjektive Klangqualität hängt vor allem bei transienten Signalen, wie Musiksignalen,
auch von den Phasenbeziehungen und somit vom zeitlichen Verlauf der Signalform ab. Die
6 CCRMA - Center for Computer Research in Music and Acoustics, Stanford University; INA - Institut
National de l'Audiovisuel, Paris; IRCAM – Institute de Recherche et Coordination Acoustique, Paris;
IUA - Institut Universitari de l'Audiovisual, Pompeu Fabra University Barcelona uvm.
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15

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genutzten Sinusoszillatoren sollten zueinander synchronisierbar, ihre Phasen relativ
zueinander einstellbar sein.
Die für einen natürlichen Klangeindruck notwendige große Anzahl von Sinusoszillatoren
und Hüllkurvengeneratoren bzw. Modulationsgeneratoren, aber auch der mit der Analyse
verbundene Installations- und Rechenaufwand machen die additive Synthese bis heute zu
einer recht selten genutzten Klangsynthesetechnik.
Erst in diesen Tagen werden die Computer für Echtzeitanwendungen der additiven
Synthese per Software nutzbar, ohne daß speziell zu diesem Zweck entwickelte digitale
Signalprozessoren (DSP) die Oszillatorgenerierung übernehmen müssen.
Eine kurze Abschätzung soll demonstrieren, wie kompliziert und parameterreich die additive
Synthese werden kann, wenn man einen Pianoklang simulieren möchte: Der tiefe Pianoton
A (110 Hz) benötigt bei CD-Qualität 7 200 Sinusoszillatoren zur Abdeckung des gesamten
hörbaren Frequenzspektrums (22050/110 ≅ 200) – wohlgemerkt für die Nachbildung nur
einer einzigen Stimme! Die hohe Anzahl der Oszillatoren ist somit ein großer Nachteil
dieser Syntheseart und macht eine Einstellung der Klangparameter ‚per Hand‘ fast
unmöglich.
Die Synthese eines Flötenklanges wird im Laufe dieser Arbeit in Abschnitt 5.2.1
beschrieben. Es gibt verschiedene Techniken 8 der Implementierung der additiven Synthese:
DSP-basiert, Wavetable Lookup, Table Lookup, VLSI-Systeme, rekursive Algorithmen,
virtuelle Oszillatoren uvm. [Gordon & Smith, 1985].
Die Bemühungen um die additive Synthese, die aufgrund der nun zur Verfügung stehenden
Rechenleistung weiter zunehmen, führten auch zur Entwicklung leistungsfähiger
Analysemethoden [Serra & Smith, 1990], die in Implementierungen der additiven Synthese
integriert wurden (s.o. ‚SMS‘: Spectral Modeling Synthesis, usw.). Geht der additiven
Synthese ein Analysevorgang voraus, der die Parameter zur Nachbildung des analysierten
Klanges aus demselben extrahiert, nennt man diese Art der Klangsynthese oft auch
‚Resynthese‘.
7 Die ‚Redbook‘-Norm sieht für digitale Audio-CDs eine Samplingfrequenz von 44,1 kHz und eine
Amplitudenauflösung von 16 Bit vor.
8 Die verschiedenen Möglichkeiten zur Generierung eines digitalen sinusodialen Signalgenerators
sprengen den Ramen dieser Arbeit und können bei Interesse bei [Smith, 1987a; Smith, 1987c]
nachgelesen werden.
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2.3.2 Resynthese
Bei der Resynthese geht der Klangsynthese durch additive Synthese eine Analyse des zu
reproduzierenden Klanges voraus. Meist wird die Prozedur der Analyse und Resynthese in
einer Software 9 automatisiert. Einige Programme führen diese Operationen
aufeinanderfolgend in Echtzeit durch und ermöglichen umfassende Möglichkeiten zur
Bearbeitung der analysierten Klänge 10 .
Die Klänge, die von einem physikalischen System, also z.B. von einem Musikinstrument,
produziert werden, können durch die Summe eines Satzes von Sinusschwingungen und
einem Rauschanteil nachgebildet werden. Der deterministische Teil, also der Satz einzelner
Sinustöne, entspricht den (Haupt-)Schwingungsmoden des physikalischen Systems. Der
Rauschanteil besteht aus der vom Anregungsmechanismus produzierten Energie, die vom
System nicht in stationäre Schwingungen umgesetzt wurde und jeglicher weiterer
Energiekomponenten, die nicht von sich aus (in natürlicher Weise) sinusförmig erscheinen.
Serra nennt ein solches Modell das ‚Deterministic plus Stochastic Model‘ [Serra, 1997].
Im Falle einer gestrichenen Saite resultieren die stabilen Sinusanteile aus den
Schwingungsmoden von Saite und Korpus; das Rauschen wird durch die Gleitreibung des
Bogens gegen die Saite und weiteren nichtlinearen Eigenschaften des Bogen-Saite-
Resonator-Systems erzeugt. Im Falle eines Blasinstrumentes sind die deterministischen
Klanganteile das Resultat der selbstangeregten Schwingungen innerhalb des ausgehöhlten
Klangkörpers und der residuale Anteil ist das Rauschsignal, das durch die turbulente
Strömung am schmalen Spalt im Mundstück erzeugt wird.
Diese Art der Aufteilung des Klangspektrums in deterministische und stochastische Anteile
läßt sich auch auf Vokalklänge, perkussive Instrumentenklänge und auch auf natürlich
erzeugte nichtmusikalische Klänge anwenden.
Als deterministisches Signal bezeichnet man im allgemeinen ein Signal, das in seinem
Verlauf über alle Intervalle vorhersehbar ist – traditionell gesehen alle Signale außer
Rauschen. In dieser Arbeit soll der Begriff des deterministischen Signals aber auf Summen
9 Bekannte Beispiele sind: Spectral Modeling Synthesis [SMS], Transient Modeling Synthesis [TMS],
FFT -1 -Synthese, Deterministic plus Stochastic Model
10 Eine Realisierung ist zum Beispiel die folgende: In einer japanischen Karaoke-Bar singt eine junge
Frau zur Musik von Berry White in ein Mikrofon und man vernimmt ihre Stimme in der Tonlage von
Berry White und mit den für ihn charakteristischen Formanten. Die Stimmlagen und Formanten der
Eingabestimme werden in Echtzeit analysiert und getrennt voneinander im Frequenzraum
verschoben. Eine vorherige komplette Analyse der Zielstimme wird vorausgesetzt [Cano et. al.,
2000].
Online-Version 1.0
17

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quasi-sinusförmiger Klangkomponenten, also Sinusschwingungen mit leicht schwankender
Frequenz und Amplitude, eingeschränkt werden. Jede dieser Schwingungen (‚Sinusoide‘)
bildet eine schmalbandige Komponente des Originalklanges nach und wird beschrieben
durch eine Amplituden- und eine Frequenzfunktion.
Ein stochastisches Signal (Rauschen) wird vollständig durch sein Leistungsdichtespektrum
beschrieben. Wird ein Signal als stochastisch angenommen, ist es nicht mehr möglich, die
exakte Phase und Amplitude seiner Teilkomponenten zu bestimmen.
Der untersuchte Klang S(t) kann dargestellt werden durch
wobei A r(t) und Φ r(t) die zeitabhängigen Amplituden und Phasen der R Sinusschwingungen
sind. e(t) ist der entsprechende Rauschanteil zur Zeit t. Das vorgestellte Modell geht davon
aus, daß die Sinusschwingungen (‚Sinusoide‘) Partialtöne des untersuchten Klanges sind,
die langsam in Frequenz und Amplitude variieren.
Die zeitabhängige Phase läßt sich darstellen als Zeitintegral der Frequenz ω r(t)
wobei r den Index des sinusoiden Teiltons angibt.
Nimmt man an, daß e(t) ein stochastisches Signal ist, so kann man dieses als gefiltertes
weißes Rauschen darstellen:
S(
t)
= ∑
r=
1
u(t) ist hierbei das weiße Rauschen und h(t,τ) die Impulsantwort eines zeitlich variierenden
Filters. e(t) erhält man im zeitquantisierten digitalen Fall demnach durch die Faltung von
weißem Rauschen mit einem zeitvarianten, frequenzformenden Filter [Serra, 1997]. Das
‚Deterministic plus Stochastic‘-Modell, welches in Abb. 2.7 schematisch dargestellt wird,
funktioniert allerdings nicht mit Klängen, die sogenannte ‚noise partials‘, also z.B. durch
Modulationen produzierte Verbreiterungen oder Seitenbänder, enthalten. Diese
Klangkomponenten, welche sich weder eindeutig den deterministischen noch zu den
stochastischen Signalen zuordnen lassen, finden sich z.B. in den höheren Partialtönen von
Vokalklängen, in einigen Violinenklängen (speziell bei Vibratos) und in schwingenden
Online-Version 1.0 18
R
A ( t)
sin[ Φ ( t)]
+ e(
t)
r
t
∫
Φ ( t)
= ω ( τ ) dτ
r
t
∫
0
e(
t)
= h(
t,
τ ) u(
τ ) dτ
0
r
r
( 2.
4)
( 2.
5)
(
2.
6)

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Metallplatten (Overhead-Instrumente von Schlagzeug-Sets: Cymbal, HiHat, Crash) [Serra,
1997]. Aufgrund solcher uneindeutigen Signalanteile ist die automatisierte Separation in
deterministische und stochastische Klangkomponenten selten vollständig möglich. Daher ist
eine Kontrolle der Klangdaten notwendig.
Abb.2.7: Signalflußdiagramm der Analysestufe des ‚Deterministic plus Stochastic‘-Modells
zur Resynthese automatisch analysierter Klangdateien (Abb.
aus [Serra, 1997]).
Die Analyse des nachzubildenden Klanges wird digital durchgeführt: Das Signal wird in
Frames unterteilt. Jedes Frame wird mit einem geeigneten Analysefenster multipliziert und
mittels FFT-Algorithmus 11 transformiert. Danach durchläuft der Datenstrom einen
Signalspitzenerkennungs-Algorithmus (‚Peak-Detection‘), in dem die spektralen Peaks als
Partialtöne erkannt werden. Eine Tonhöhenerkennung (‚Pitch-Detection‘) hilft bei
pseudoharmonischen Klängen bei der Auswahl des geeigneten Analysefensters (‚pitch-
synchronous analysis‘). Damit die Peak-Trajektorien zeitlich weitergeführt werden können
und die Partialtöne auch bei kleinen Frequenzänderungen als zusammenhängend erkannt
werden, werden die spektralen Peaks dem ‚peak-continuation‘-Algorithmus zugeführt (siehe
Abb. 2.7).
11 FFT = Fast Fourier Transformation
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Die stochastische Klangkomponente jedes Frames wird bestimmt, indem zuerst das
deterministische Signal mittels additiver Synthese generiert und dann vom analysierten
Originalklang in der Zeitebene subtrahiert wird. Dies ist so möglich, da die Phasen des
Originalklanges in den synthetisierten Sinusoiden erhalten bleiben und daher auch die
gesamte Form des Zeitsignals erhalten wird. Das stochastische Signal ermittelt man dann
durch ein spektrales Fitting des aus der Subtraktion erhaltenen Restsignals. In Abb. 2.8 ist
ein Blockdiagramm des Synthesealgorithmus nach [Serra, 1997] dargestellt.
Abb.2.8: Blockdiagramm des Synthesealgorithmus des ‚Deterministic plus
Stochastic‘-Modells nach [Serra, 1997].
Das deterministische Signal resultiert aus den durch den Analysealgorithmus bestimmten
Amplituden- und Frequenztrajektorien. Für jede Wertepaartrajektorie wird eine Sinuswelle
generiert; die Summe dieser Sinusoide ergibt das deterministische Spektrum (additive
Synthese). Die Transformation der Trajektorie-Koordinaten in den Zeitbereich geschieht
dann entweder mittels inverser Fouriertransformation (FFT -1 ), oder die Daten steuern direkt
die Amplituden- und Frequenzeingänge einer Sinusoszillatorbank, die das Zeitsignal
generiert. Für das synthetische stochastische Signal generiert man ein Rauschen mit der
zeitvarianten spektralen Zusammensetzung, die man in der Analysestufe ermittelt hat
(subtraktive Synthese, siehe auch Abschnitt 2.3.3). Wie bei der Synthese des
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deterministischen Signals kann man dies im Zeit- und Frequenzbereich tun (Faltung oder
frameweises Filtern von weißem Rauschen, s.o.).
2.3.2.1 Signalanalyse
Bei der digitalen Analyse der zu resynthetisierenden Klangdatei mittels FFT stößt man auf
das bekannte Problem der Unschärfe zwischen Zeit- und Frequenzbereich: Für eine
deterministische Analyse ist eine hohe Frequenzauflösung besonders wichtig, um die
Partialtöne des analytischen Signals so genau wie möglich bestimmen zu können. Für die
stochastische Analyse ist allerdings die Frequenzauflösung weniger wichtig. Vielmehr geht
es hierbei um eine recht genaue Bestimmung der Amplitudenhüllkurve, also eine gute
zeitliche Auflösung. Bei tonstabilen Klängen bietet sich die Nutzung einer langen
Fensterfunktion für die deterministische Analyse an (z.B. ein einige Perioden langes 92 dB
Blackman-Harris-Fenster [Serra, 1997]). Hierbei erhält man eine gute Frequenzauflösung,
d.h. man kann die Frequenzen der Partialtöne gut bestimmen. Die meisten Klänge sind
allerdings nicht stabil genug, so daß man einen Kompromiß zwischen der optimalen Zeit-
und Frequenzauflösung eingehen muß. Im Falle eines harmonischen Klanges sollte die
Fenstergröße mit der Tonhöhe, also der zu messenden Grundfrequenz, variieren, um den
ermittelten Zeit-Frequenz-Kompromiß optimal zu. Im Falle von disharmonischen Kängen
sollte die Fenstergröße von der minimalen Frequenzdifferenz abhängen, die zwischen
enthaltenen Partialtönen besteht.
Nachdem das Spektrum eines Frames berechnet wurde, werden die hervorstechenden
Peaks ermittelt. Da die meisten natürlich erzeugten Klänge nicht perfekt periodisch sind und
keine begrenzten und klar definierten Frequenzpeaks aufweisen, ist das automatische
Auffinden der Partialtöne nicht einfach. Nur wenige Instrumentenklänge, wie etwa der
quasistationäre Klangbereich eines Oboenklanges, sind periodisch genug, um ausreichend
frei von hervorstechenden Rauschkomponenten für eine fehlerfreie automatische Analyse
zu sein [Serra, 1997].
Im in Abb. 2.8 dargestellten Algorithmus wird bei der Analyse versucht, so viele Peaks wie
möglich zu erkennen; die Entscheidung, welcher der Peaks zu einem Partialton gehört, wird
allerdings erst durch den ‚Peak-Continuation‘-Algorithmus gefällt.
Der Hauptvorteil der spektralen Modellierung ist die Existenz einer Analyse-Prozedur, die
die Syntheseparameter aus dem analysierten Klang extrahieren, also im Falle einer
additiven Synthese die zeitveränderlichen Obertonfrequenzen und Amplituden. Auf diese
Weise lassen sich die analysierten Klänge leicht reproduzieren, wie auch modifizieren.
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21

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Ausgehend von den durch die Analyse ermittelten Daten einzeln analysierter Töne eines
bestimmten Instrumententypes, z.B. einer Flöte, läßt sich der genaue Klang des
Instruments sowohl (theoretisch exakt) nachbilden, als auch nach Belieben manipulieren.
So lassen sich nicht nur bestimmte Klangeigenschaften (Timbres) besonders herausbilden
oder nach eigenen Wünschen verändern, sondern es sind, ausgehend von der Basis des
Originalklanges, auch absolut neuartige Klangkreationen möglich.
Diese Art der Instrumentenkonstruktion ermöglicht einen Zugriff auf jeden einzelnen
Oberton und somit auf die kleinsten spektralen Bausteine des Klanges selbst.
Serra entwickelte mit seiner Arbeitsgruppe einen Analysealgorithmus, der die automatisch
ermittelten Daten in einer Datenbank zusammenfaßt. Dies ermöglicht den Zugriff auf die
Parameter verschiedenster Instrumentengruppen und eröffnet eine völlig neue Art der
Klanggestaltung. So wird zum Beispiel ein stufenloses Überblenden (morphing)
verschiedener Klänge aus unterschiedlichen Instrumentengruppen oder anderen beliebigen
Geräuschen möglich. Jeder beliebige Zustand im von den Parametern der Klänge
aufgespannten Raum kann eingenommen werden [Serra, 1997].
Der Analyse-Resynthese-Algorithmus ermöglicht weitere Anwendungen; beispielsweise
könnten digitale Signalverarbeitungsalgorithmen auf die Analysedaten zurückgreifen und
diese zur Dynamikbearbeitung (z.B. Kompression) oder für Effekteinsätze zur
Klangverfremdung einsetzen (z.B. Flanger-, Delay-, Hall-Algorithmen). Der Vorteil im
Vergleich zu den gängigen digitalen Signalverarbeitungsalgorithmen wäre die Möglichkeit,
die Bear-beitung nur auf bestimmte Frequenzbereiche oder sogar nur einzelne Obertöne
oder Obertongruppen zu begrenzen. Eine andere mögliche Anwendung der durch die
Analysen erstellten Datenbank wäre die automatische Instrumentenerkennung innerhalb
eines Musik-stückes. Dadurch ließen sich einzelne Instrumente in einer Konzertaufnahme
oder einem fertiggestellten Stereo-Mix nachträglich bearbeiten. Potentielle Einsatzgebiete
sind u.a. die Musikalische Akustik, Psychoakustik, digitale Musikproduktion etc..
2.3.3 Subtraktive Synthese
Die subtraktive Synthese findet man meist auch unter dem Namen ‚source filter synthesis‘.
Man erhält hier die gewünschte Wellenform durch zeitveränderliche Filterung eines
breitbandigen Erregersignals, wie z.B. ein weißes Rauschen oder eine Folge von Impulsen
(Abb 2.9) [Moorer, 1985; Roads, 1996].
Der Mechanismus zur Erzeugung der menschlichen Stimme z.B. läßt sich in diesem Sinne
betrachten als einen Erregermechanismus, welcher an ein Resonatorsystem gekoppelt ist.
Diese Synthesetechnik ist daher auch besonders zur Sprachsynthese geeignet [Moorer,
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1985]. Der Anregungsmechanismus erzeugt hierbei weißes Rauschen oder eine
periodische Impulskette, je nachdem, ob es sich gerade um stimmhafte oder stimmlose
Laute handelt.
Der Filter
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H ( z)
K
∑k=
0
+ ∑
b z
k
= L
1
l = 0
modelliert die Resonanzeigenschaften des menschlichen Vokaltraktes [Tolonen et. al.,
1998]. Hierbei sind a(n) und b(n) zeitvariable Koeffizienten, die die Lippen- und Zungen-
bewegungen und weitere Teile des Vokaltraktes simulieren. Die Impulskette ahmt die Ton-
erzeugung im menschlichen Körper durch die Stimmlippen nach; sie gibt die Grundtonhöhe
des synthetisierten Tones an. Das Anregungssignal und die Filterkoeffizienten beschreiben
das Ausgangssignal vollständig. Hierbei handelt es sich weitestgehend schon um eine
digitale Implementierung eines physikalischen mehrdimensionalen Systems.
23
− k 0
a z
Abb.2.9: Signalflußdiagramm der Source-Filter-Synthese, auch subtraktive
Synthese genannt. Die Transferfunktion H(z) des zeitveränderlichen
Filters wird duch die Filterkoeffizienten a(n) und b(n) charakterisiert.
Da viele traditionelle akustische Musikinstrumente stationäre oder sich langsam
verändernde Resonanzsysteme besitzen, lassen sich deren Klänge gut mittels der Source
Filter- Synthesetechnik nachbilden. In gewissem Sinne läßt sich die subtraktive Synthese
dann schon in den Bereich der physikalischen Modelle einordnen.
Bei analogen Synthesizern wird der Begriff der subtraktiven Synthese meist mit der Art der
Klangerzeugung der ersten kommerziellen Synthesizer-Modularsysteme von Hugh LeCaine
oder Robert Moog in Zusammenhang gebracht. Hier wurden obertonreiche Wellenformen,
wie Sägezahn- oder Rechteckschwingungen durch einen Tiefpaßfilter und einen
hüllkurvengesteuerten Verstärker geschickt, um das Frequenzspektrum der Klänge zu
l
− l
(
2.
7)

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modellieren. Zwar wurde auch mit diesen Geräten versucht, die Spektren von
Naturinstrumenten nachzubilden, die Ergebnisse klingen aber unnatürlich und starr. Die
Klangsynthesealgorithmen in den heutigen Musiksynthesizern beruhen auf der digitalen
Simulation der bis in die 80er Jahre entwickelten analogen Synthesizer. Im Gegensatz zu
damals werden heute anstatt analoger Schaltkreise nur noch digitale Algorithmen
entwickelt, die die elektronischen Schaltungen in den alten ‚Klangmonstern‘ innerhalb
digitaler Signalprozessoren simulieren (‚virtuell analoge Klangerzeugung‘). Die populärsten
Klangsynthesetechniken sind seitdem dieselben geblieben, sie sind nur zwischenzeitlich
von der analogen zeitkontinuierlichen in die digitale, zeitdiskrete Ebene gewechselt.
2.4 Physikalische Modelle
Beim sogenannten Physical Modeling, der digitalen Implementierung fundamentaler
physikalischer Modelle akustischer Musikinstrumente, werden die bekannten physikalischen
Bewegungsgesetze der einzelnen Teile des Instrumentes und deren Interaktionen
untereinander mathematisch simuliert. Mittels Physical Modeling läßt sich einerseits das
Verständnis der jeweiligen Instrumentenmodelle vorantreiben (modellbasierte
Instrumentenforschung) und andererseits deren Klang synthetisieren [Hiller&Ruiz, 1971].
Hierbei lassen sich die gängigen Theorien zur Tonerzeugung in den einzelnen
physikalischen Instrumentenmodellen in ihrer Wirksamkeit überprüfen und weiterentwickeln.
Neue Erkenntnisse können gesammelt werden und zur gezielten Verbesserung der
Bauweise und Spieltechniken akustischer Instrumente dienen. Am Modell lassen sich
schnell beliebige Variablen verändern, um zu sehen, welche Auswirkungen dies auf den
Klang hat.
Hinzu kommt die Möglichkeit, ausgehend von diesen Modellen, neue künstliche
Instrumente zu konstruieren. Ein einfacher Fall ist die Variation einiger Parameter über die
physikalisch beobachteten Grenzen hinaus. So läßt sich z.B. der Klang eines Kontrabasses
erzeugen, dessen Saiten den Ausmaßen der Stahlseile der Golden Gate Bridge
entsprechen. Zusätzlich hat man die Möglichkeit, die bekannten Modelle so weit
abzuändern, daß sie zwar noch auf dem gleichen Klangerzeugungsprinzip beruhen (z.B.
einer Rückkopplung zwischen linearen Wellenleitern und nichtlinearen Funktionen zwischen
den Zustandsvariablen), aber völlig neuartige Klangstrukturen erzeugen.
Online-Version 1.0 24

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Die verschiedenen Methoden der physikalischen Modellierung lassen sich in fünf
Kategorien einteilen: Numerische Lösung der partiellen Differentialgleichungen, Source-
Filter-Modellierung, Schwingende Masse-Feder-Netzwerke, Modale Synthese und
Wellenleitersynthese [Tolonen et. al., 1998].
Die Wellenleitersynthese (siehe auch Abschnitt 2.4.1 und Kapitel 3) ist die einzige
Synthesemethode der physikalischen Modellierung, die auf handelsüblichen Computern
echtzeitfähig ist. Sie beschreibt sehr effizient die Wellenausbreitung in eindimensionalen
homogenen Schwingungssystemen und wird daher heutzutage oft genutzt. Im Folgenden
wird näher auf diese Synthesemethoden eingegangen.
2.4.1 Modellierung von Musikinstrumenten mit digitalen Wellenleitern
Die digitale Wellenleitersynthese zur physikalischen Modellierung akustischer
Musikinstrumente verbindet verschiedene Wissensgebiete miteinander. Sie beinhaltet
Themengebiete aus der Physik, der musikalischen Akustik, der Psychoakustik, der digitalen
Signalverarbeitung, der Regelungstechnik und der Computerwissenschaften sowie
Computermusik. Ziel der Klangmodellierung mit digitalen Wellenleitern ist die Entwicklung
virtueller Musikinstrumente in Form von effizienten Algorithmen, die in Echtzeit auf einem
handelsüblichen Computer funktionieren. Technisch läßt sich diese Art der Klangsynthese
als Signalverarbeitungsmodell physikalischer Modelle von Musikinstrumenten beschreiben.
Das hierfür notwendige mathematische Modell bedient sich der Erkenntnisse der
musikalischen Akus-tik. Die fertigen Algorithmen werden als ausführbare Konstrukte der
digitalen Signalverarbeitung dargestellt. Im Falle dieser Arbeit bestehen die in Abschnitt 5
implementierten Modelle aus einer beliebig komplizierten Verkopplung einzelner Module.
Jedes dieser Module besteht aus einem Algorithmus, der das physikalische Verhalten
elektrotechnischer Basisschaltungen simuliert (Oszillatoren, Filter, Steuerspannungs- und
Hüllkurvengeneratoren, Verzögerungselemente usw.). Das eintreffende Signal durchläuft
einen modulspezifischen Algorithmus und wird an den Ausgang weitergeleitet. Um die
Rechenlast zu verringern und die Echtzeitgenerierung bei polyphoner Klangsynthese auf
handelsüblichen Computern zu ermöglichen, sollten die benutzten Algorithmen einfach
gehalten werden.
Das Resultat ist ein schneller, echtzeitfähiger Algorithmus zur musikalischen
Klangsynthese, der in der mathematischen Sprache der digitalen Signalverarbeitung alle
akustischen Eigenschaften der analysierten Musikinstrumente, deren
Spielbarkeitseigenschaften, die Wahrnehmbarkeit der physikalischen Mechanismen der
Klangerzeugung usw. simuliert. Das Ziel ist letztendlich die Schaffung eines
Online-Version 1.0
25

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Computermodells der 'hörbaren Physik' des betrachteten Musikinstrumentes und seiner
Anregungsmechanismen [Smith, 2000].
Diese Methode der Klanggenerierung eignet sich sehr gut zur digitalen Simulation der
komplexen Klangstrukturen akustischer Musikinstrumente. Kapitel 3 geht daher näher auf
dieses Thema ein. In Kapitel 5 wird mit dieser Klangsynthesetechnik versucht, ein digitales
Modell einer Violine und einer Flöte zu implementieren.
2.5 Hybridsynthese
Selbstverständlich ist es möglich und auch von großem Vorteil, alle genannten
Synthesemöglichkeiten je nach zu realisierenden Klangereignissen für ein optimales
Ergebnis zu kombinieren.
Samplingsynthese ohne darauf folgende Filterung und weitere eventuell
hüllkurvengesteuerte Klangbeeinflussung ist selten sinnvoll. Die subtraktive Synthese läßt
sich mit jeder anderen Synthesetechnik ergänzen. Es sollten zwischen den einzelnen
Synthesemöglichkeiten keine Implemetierungsgrenzen geben - die Kombination
verschiedener Techniken kann nur von Vorteil sein.
2.6 Abwägender Vergleich
Beim Sampling ist eine hohe Klangqualität mit hohem Speicheraufwand verbunden. Zudem
erscheint das Klangbild trotz allem noch künstlich, da bei nacheinander gespielten Tönen
gleicher Tonhöhe auch das Klangbild gleich bleibt - es wird ja immer dasselbe Sample
abgespielt. Mit einem modulierten Tiefpaßfilter läßt sich dieses Problem leicht verbessern.
Bei der FM-Synthese ist eine instrumentenspezifische Parametrisierung schwer zu
realisieren, worunter die Klanggestaltbarkeit und die Spielbarkeit der Instrumentenmodelle
stark leidet. Bei der additiven Synthese mit gekoppelten Oszillatoren und Filtern läßt sich
zwar ein im Spektralbereich natürlich erscheinendes Signal erzeugen, doch ist der
Aufwand, besonders in modular per Hand konstruierten Systemen, sehr hoch. Zudem muß
der Synthese eine Analyse des nachzubildenden Klanges vorausgehen. Eine Automation
der Parameter ist auf jeden Fall notwendig.
Physical Modeling, also die physikalische Modellierung eines akustischen
Musikinstrumentes, verspricht durch die Orientierung am physikalischen Modell des
Instrumentes selbst eine verbesserte Zeitsignalrekonstruktion, also auch eine bessere
subjektive Klangqualität, und das bei sehr geringem Speicheraufwand. Da das Signal in
Echtzeit im Zeitbereich berechnet wird, benötigt ein komplexes Wellenleitersystem
Online-Version 1.0 26

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allerdings hohe Rechenleistungen. Durch die Orientierung am physikalischen Modell
werden im wesentlichen dieselben Parameter verwendet wie beim Spielen des
nachgebildeten Instrumentes selbst (Flöte: Anblasdruck- und Lippenspannung; Geige:
Bogennormalkraft, -geschwindigkeit, -position usw.). Dadurch kann der Spieler den Klang
entsprechend vielfältig beeinflussen. Hierfür muß allerdings für jedes Instrument ein
Eingabegerät entwickelt werden, das die realistische Parametereingabe ermöglicht, um die
Simulation instrumentengerecht spielen zu können. Eine solche Mensch-Maschine-
Schnittstelle wurde von verschiedenen Firmen für Blasinstrumente (sog. wind controller)
schon entwickelt (z.B. Yamaha WX7).
Die klanglichen Ausdrucksmöglichkeiten eines solchen Modells sind innerhalb der Grenzen
des Modells selbst nur von der Art des Eingabegerätes abhängig. Die Komplexität der
Spielbarkeit des virtuellen Instrumentes bleibt dadurch allerdings erhalten und ein Erlernen
des Instrumentenspiels ist genauso unumgänglich, wie bei den klassischen Instrumenten.
Digitale Wellenleitermodelle sind im wesentlichen zeitdiskrete Modelle mehrdimensionaler
Medien, wie schwingenden Saiten (eindimensional), Platten (zwedimensional) oder der
Luftsäule innerhalb eines Rohres (dreidimensional). Ein Wellenleitermodell läßt sich mittels
Verzögerungsleitungen softwareseitig einfach und vor allem kostengünstig implementieren.
Im folgenden Kapitel werden die Grundlagen der Wellenleitersynthese behandelt. In Kapi-
tel 5 werden Wellenleitermodelle für die Resonanzsysteme eingespannte Saite (Gitarre,
Geige) und begrenztes Luftvolumen (Flöte) implementiert.
Online-Version 1.0
27

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3. Der Wellenleiter
Im Folgenden wird primär das Modell eines Saiteninstrumentes (z.B. Gitarre oder Violine)
zur Veranschaulichung des Wellenleitermodelles für die digitale Wellenformsynthese
benutzt. Ausgehend von der freischwingenden Saite mit weiterfolgender schrittweiser
Angleichung an reale Systeme wird die digitale Simulation des Schwingungsverhaltens
eines komplexen mehrdimensionalen Klangkörpers angestrebt.
3.1 Die freischwingende unendlich lange ideale Saite
Die Wellengleichung einer idealen, d.h. verlustlosen, linearen und flexibel schwingenden
Saite, wie in Abb. 3.1 dargestellt, ist durch
bzw.
2
2
∂ y ∂ y
K ⋅ = ε ⋅ 2
2
∂x
∂t
2
∂ y
− c 2
∂t
c =
gegeben, wobei K die Saitenspannung, ε die lineare Massendichte und y = y(x,t) die
transversale Saitenauslenkung ist. Diese Wellengleichung ist für alle vollständig elastischen
Medien, die entlang einer Dimension ausgelenkt werden, gültig.
Online-Version 1.0 28
2
2
∂ y
⋅ = 0 2
∂x
K
ε
Abb. 3.1: Die ideale schwingende Saite
( 3.
1)
( 3.
2)
(
3.
3)
Zum Beispiel läßt sich das Schwingungsverhalten des Luftvolumens einer Klarinette,
Orgelpfeife oder Flöte durch Substitution der Luftdruckvariation anstelle der
Saitenauslenkung y und die longitudinale Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser

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Luftdruckvariation anstelle der transversalen Saitengeschwindigkeit unter Berücksichtigung
der entsprechenden Randbedingungen berechnen. Im Folgenden wird die Klasse von
Medien, die eine solche Substitution erlaubt, als eindimensionaler Wellenleiter bezeichnet.
Erweiterungen auf höhere Dimensionen findet man z. B. in [Van Duyne & Smith, 1993;
1995 b]. Eine vollständige Ableitung der Wellengleichung findet sich in [Morse, 1981] und in
den meisten Grundlagenbüchern der Akustik oder der theoretischen Physik.
Um die obige Wellengleichung in einem Computermodell zu implementieren, das in der
Lage ist, die Differentialgleichung (3.1) ohne zeitaufwendige Differentiation für jeden
beliebigen Zeitpunkt zu lösen, muß diese approximiert werden. Eine häufig verwendete
Methode in der Literatur der musikalischen Akustik, ein auf einer Differentialgleichung
basierendes Computermodell zu implementieren, ist die sogenannte Finite
Differenzenapproximation (‚FDA‘), in der die Differentiation durch n Differenzenquotienten
ersetzt wird (näheres siehe Anhang A1). Die FDA wurde in Annäherung an die numerische
Simulation von Pierre Ruiz in seiner Arbeit über schwingende Saiten genutzt [Ruiz, 1996]
und kommt auch heute noch zur Anwendung [Chaigne, 1992; Chaigne & Askenfelt, 1996].
3.1.1 Die Wanderwellenlösung
Als Lösung für die verlustlose eindimensionale Wellengleichung (3.1) kommt nach
[d’Alembert, 1747] jede Funktion mit beliebiger Wellenform in Frage, die sich entlang der
Saite nach links oder rechts mit der Geschwindigkeit c ausbreitet und zweifach nach Ort
und Zeit differenzierbar ist (‚Wanderwelle‘).
Sind y l und y r beliebige zweifach differenzierbare Funktionen, so läßt sich die allgemeine
Klasse der Lösungen als eine Summe rechts- und linkslaufender Teilwellen darstellen:
Damit Gleichung (3.4) für alle Wellenformen darstellbar ist, muß (∂ 2 /∂t 2 )⋅ y i = c 2 ⋅ (∂ 2 /∂x 2 ) ⋅ y i,
(i = r, l) erfüllt sein, wobei die Saitensteigung zu allen Zeiten und an allen Orten sehr viel
kleiner ist als 1 sein muß: ∂y/∂t

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Bewirkt das Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, weder Dämpfung noch Verstärkung,
so sind β und α reell. Substituiert man α= s und β=v mit s als zeitliche und v als räumliche
Frequenz, so ist
eine Lösung für alle s, mit der Dispersionsrelation
Durch Superposition erhält man
y(
x,
t)
=
∑
Online-Version 1.0 30
i
A
+
x
si
( t − )
( ) c
−
s ⋅ e + A ( s )
i
y(
x,
t)
=
v (
s)
= ±
x
s ( t ± )
e c
∑
i
i
⋅ e
x
si
( t + )
c
( 3.
6)
( 3.
7)
Dies ist ebenfalls eine Lösung, wobei A + (s i) und A - (s i) willkürliche komplexwertige
Funktionen beliebiger Punkte s i in der komplexen Ebene sind. Setzt man s = jω und
erweitert die Summation zu einem Integral, so ergibt sich mit Hilfe des Fourier-Theorems
x x
y( x,
t)
= yr
( t − ) + yl
( t + )
c c
( 3.
8)
für willkürliche kontinuierliche Funktionen y r(x,t) und y l(x,t). Dies entspricht der 1747 von
d’Alembert vorgestellten Wanderwellenlösung der eindimensionalen Wellengleichung
[d’Alembert, 1747]. Eine von (t-x/c) bzw. (t+x/c) abhängige Funktion läßt sich als eine mit
der Geschwindigkeit c nach rechts bzw. links laufende Welle betrachten.
Abb. 3.2: Darstellung einer unendlich langen idealen Saite, die an den drei mit
‚p‘ markierten Orten fixiert wird, um der Saite im Bereich zwischen den beiden
äußeren Punkten eine Dreiecksform aufzuprägen. Diese Form ergibt sich aus
der Superposition zweier identischer dreieckiger Teilwellen, die sich mit derselben
Ausbreitungsgeschwindigkeit c in entgegengesetzte Richtung auf der Saite
ausbreiten. Die Form der Saite ergibt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Superposition
der beiden Teilwellen.
s
c
( 3.
5)

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Abb. 3.2 zeigt eine unendlich lange Saite, die zur Zeit t 0 am Punkt P angezupft wird, wobei
die Punkte p‘ und p‘‘ zu diesem Zeitpunkt fixiert werden, um eine Dreiecksform zu erhalten.
Die Auslenkung der Saite zum Zeitpunkt t setzt sich aus den Einzelauslenkungen der in
entgegengesetzte Richtung und mit der Geschwindigkeit c auseinanderlaufenden Teilwellen
zusammen.
3.1.2 Die Digitalisierung der Wanderwellen
Um das erhaltene zeit- und ortskontinuierliche Modell der Wanderwelle in einer
Computersimulation zu implementieren, muß die gefundene Lösung auch in einer zeit- und
ortsdiskreten Umgebung funktionieren. Hierfür werden Zeit und Ort in kleine
Einheitsabschnitte unterteilt: T s [s] sei das zeitliche und X s [m] das räumliche
Samplingintervall 12 . Eine naheliegende Wahl für die Länge des räumlichen Intervalls ist die
Strecke, die die Welle in einem Zeitintervall T s zurücklegt, also X s := c⋅T s .
Die Digitalisierung erfolgt einfach durch den Austausch der Variablen:
Online-Version 1.0
x → x m = mX s
t → t n = nT s
31
( 3.
9)
wobei m, n∈ Ζ. Zusammen mit der Wanderwellenlösung der Wellengleichung (3.1) ergibt
sich
x m xm
X s
X s
y(
x , t ) = y ( t − ) + y ( t + ) = y ( nT − m ) + y ( nT + m )
m n r n
l n
r s
l s
c c
c
c
=
y r[(
n − m)
Ts]
+ yl[(
n + m)
Ts]
Zur Vereinfachung soll durchgehend gelten
y + (n) := y r(nT s)
y - (n) := y l(nT s)
( 3.
10)
( 3.
11)
12 Die Digitalisierung analoger Datenströme wird als „Sampling“ bezeichnet, wobei in zeitlichen
Abständen T s = 1/F s (T s:Samplingintervall, F s:Samplingfrequenz) Messungen der Signalamplitude
vorgenommen werden; die Amplituden werden mit einer Auflösung bestimmt, die der sogenannten
Bitrate B s entspricht. Bei der digitalen Audio-CD sind diese Werte z.B. auf F s = 44,1 kHz und B s = 16
Bit festgelegt (‚Redbook-Format‘). Hiermit können Signale im Frequenzbereich 0 Hz bis 22,05 kHz
digitalisiert werden (Nyquist-Theorem).

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so daß
Online-Version 1.0 32
( 3.
12)
In einer verlustfreien Wanderwellensimulation bewegt sich die gesamte Welle jedes
Zeitintervall um ein Raumintervall weiter. Daraus folgt, daß für eine verlustlose Simulation
einer Wellenbewegung nur eine einzige digitale Verzögerungskette benötigt wird. Eine
Verzögerungskette setzt sich aus einer Aneinanderreihung sogenannter Einheitsverzögerer
(Unit Delay 13 z -1 ) zusammen, die ein Eingangssignal um die Dauer des Sampleintervalls T s
verzögert ausgeben. y + (n-m) kann man als Ausgabewerte eines m-Abtastwerte-
Verzögerers (m-Sample-Delay) betrachten, dessen Eingangssignal y + (n) ist; y - (n+m) kann
man als Eingabewerte eines m-Abtastwerte-Verzögerers betrachten, dessen Ausgabewerte
y - (n) entsprechen (siehe Abb. 3.3).
Abb. 3.3: Interpretationsmöglichkeiten der Ein- und Ausgabewerte eines Verzögerungsgliedes
z -m beim digitalen Wellenleiter: y - (n+m) kann man als Eingabewerte
eines m-Abtastwerte-Verzögerers betrachten, dessen Ausgabewerte
y - (n) entsprechen; y + (n-m) kann man als Ausgabewerte eines m-Abtastwerte-
Verzögerers betrachten, dessen Eingangssignal y + (n) ist.
Die Position entlang der Saite wird bestimmt durch den Parameter m (X m=m⋅X s=m⋅c⋅T s)
(siehe Abb. 3.4). Das physikalische Verhalten der Saitenbewegung kann nun mit Hilfe von
zwei gekoppelten Verzögerungsleitungen simuliert werden.
13 z -1 ist das Kürzel für den Einheitsverzögerer (Unit-Delay), der ein Eingangssignal um die Dauer
des Samplingintervalls T s verzögert ausgibt.
y ( n,
m)
=
yr[(
n − m)
Ts
] + yl[(
n + m)
Ts]

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Abb. 3.4: Digitale Simulation der idealen verlustlosen Saite mit Meßstellen
an den Punkten x = 0 und x = 3⋅X s = 3⋅c⋅T s . Die beiden dargestellten Verzögerungsketten
setzten sich aus einer Aneinanderreihung von Einheitsverzögerern
z -1 zusammen (Abb. aus [Smith, 2000]).
Der Gesamtausgabewert
Online-Version 1.0
33
( 3.
13)
stellt die Saitenauslenkung an einem der äquidistanten Punkte x m entlang der Saite dar.
Man erhält ihn durch die Addition der oberen und unteren Teilstrecke des
Verzögerungsleitungspaares an der entsprechenden Stelle (in Abbildung 3.4 bei m = 3⋅X s
und m = 0).
Auf diese Weise läßt sich jeder eindimensionale verlustlose ideale Wellenleiter durch eine
bidirektionale Verzögerungsleitung simulieren. Die Simulation ist innerhalb der numerischen
Präzision der Samples selbst exakt. Um Aliasingeffekte 14 zu vermeiden, sollten alle
Wellenformen, die im Wellenleiter laufen, bandlimitiert werden, d.h. die höchste im Signal
y r(t), y l(t) enthaltene Frequenz sollte nicht größer sein als die halbe Samplingfrequenz
F S=1/T S. Äquivalent dazu sollte die höchste räumliche Frequenz, die in den Formen y r(x/c)
und y l(x/c) enthalten sind, nicht größer sein als die halbe räumliche Samplingfrequenz
V S=1/X S.
y m n
+
−
( x , t ) = y ( n − m)
+ y ( n + m)
Aus einem Vergleich der digitalen Wellenleitersimulation mit der finiten
Differenzenapproximation (siehe Anhang A2) folgt, daß die physikalische Wellenvariable
immer für den nächsten zeitlichen Schritt (n+1) aus der Summe der rechts und links
eintreffenden Teilwellen berechnet werden kann. Hieran erkennt man deutlich den
14 Das sog. Aliasing ist eine Bandüberlappung der sich periodisch wiederholenden Spektren. Es tritt
in der digitalen Signalverarbeitung auf, wenn das Abtasttheorem verletzt wird.

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verlustfreien Charakter des vorgestellten Wellenleitersystems. Dies läßt sich so deuten, daß
die ideale Saite eine einheitliche Wellenimpedanz besitzt.
3.2 Die verlustbehaftete eindimensionale Wellengleichung
In einer realen schwingenden Saite gibt es immer Energieverluste durch Reibung, sei es
durch die Verbindung der Saitenenden mit dem Klangkörper, Luftreibung, innere Reibung
usw. Obwohl Reibungsverluste in Festkörpern üblicherweise in komplizierter Art und Weise
frequenzabhängig sind, kann man sie gut durch Addition einer kleinen Anzahl ungerader
Ableitungsterme zur Wellengleichung ausgleichen.
Im einfachsten Fall ist die Reibungskraft direkt proportional zur transversalen
Saitengeschwindigkeit (mit μ als Proportionalitätskonstante) und unabhängig von der
Frequenz. Die entsprechende Erweiterung der Schwingungsgleichung (3.1) mit einem Term
erster Ordnung wäre:
Frequenzabhängige Verluste approximiert man durch Terme, die ∂ 3 y/∂t 3 , ∂ 5 y/∂t 5 usw.
enthalten (siehe auch Abschnitt 3.2.1).
Um einen Zusammenhang zwischen den zeitlichen und den räumlichen Frequenzen zu
erkennen, setzt man wie in Abschnitt 3.1.1 die Lösung y(x,t) = e st+vx in die Wellengleichung
(3.14) ein und erhält über K⋅v 2 = ε⋅s 2 + μ⋅s 2 die erweiterte Dispersionsrelation
v(
s)
= ±
μ
1 +
ε ⋅ s
Online-Version 1.0 34
s
c
⋅
. mit
wobei c die Wellengeschwindigkeit im verlustfreien Fall ist 15 . Bei hohen Frequenzen, d.h.
bei großem ⎪s⎪, oder bei kleinen Reibungskoeffizienten μ relativ zur Massendichte ε, gilt
aufgrund des Binominaltheorems die Approximation
Bei kleinen Verlusten gilt also zwischen zeitlicher und räumlicher Frequenz der
Zusammenhang
2
2
∂ y ∂ y ∂y
K ⋅ = ε ⋅ + μ ⋅
2
2
∂x
∂t
∂t
1
μ 1 μ
( 1+
) 2 ≈ 1 +
ε ⋅ s 2 ε ⋅ s
1 μ
v(
s)
≈ ± ( s + )
c 2ε
15 In den mit dem MS-Word eigenen Formel-Editor erstellten Formeln erscheint das ‚v‘
interessanterweise eher wie ein ‚ν‘. Gemeint ist aber das im Text erwähnte ‚v‘ – Beschwerden bitte
an Herrn Gates...
c =
K
ε
( 3.
14)
( 3.
15)
( 3.
16)
(
3.
17)

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Für die Eigenfunktionen ergibt sich dann
Dies stellt den nach rechts/links (-/+) laufenden Teil der Eigenfunktion dar, der jeweils in
Ausbreitungsrichtung exponentiell abfällt.
Um beliebige Wellenformen auf der Saite behandeln zu können, setzt man nun noch s = jω
und erhält die allgemeine Lösung für die verlustbehaftete eindimensionale Wellengleichung:
Die Digitalisierung mit den Samplingintervallen T s und X s ergibt
und
mit g als sogenannten Verlustkoeffizienten. Ein Simulationsdiagramm des idealen
verlustbehafteten Wellenleiters ist in Abb. 3.5 zu finden.
Abb. 3.5: Digitale Simulation der idealen verlustbehafteten Saite mit Meßstellen
an den Punkten x = 0 und x = 2⋅X s = 2⋅c⋅T s . Die beiden dargestellten Verzögerungsketten
setzten sich aus einer Aneinanderreihung von Einheitsverzögerern
zusammen, zwischen denen die Verlustkoeffizienten g die kontinuierlichen Verluste
während der Wellenausbreitung um die Strecke X s zusammenfassen.
Die zeitdiskrete Simulation ist in diesem Fall wieder die exakte Implementierung der
zeitkontinuierlichen Lösung zu den jeweiligen Sample-Zeitpunkten und –Orten, obwohl in
der Wellengleichung Verlustterme enthalten sind, die in der kontinuierlichen
Online-Version 1.0
y(
x,
t)
= e
μ
x
s⋅t
+ v⋅x
= e
35
μ x
m(
)
2c
c
⋅e
x x
s(
tm
)
c c
( ) x ( ) x
y( x,
t)
= e 2c
c ⋅ y ( t ) e 2 c c
r − + ⋅ yl
( t + )
c
c
−
−m
+
m −
y(
x , t ) = g ⋅ y ( n − m)
+ g ⋅ y ( n + m)
m
n
g = e
x
( )
2c
c
μ
μ
x
( 3.
18)
( 3.
19)
( 3.
20)
(
3.
21)

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Wellengleichung ‚gleichverteilt‘ sind. Der Verlustfaktor g faßt die zwischen den Intervallen
verteilten Verluste in einem Samplingintervall zusammen. Hierbei entsteht an den Orten der
Intervalle kein Approximationsfehler, solange die Bandbegrenzung von _ F s eingehalten
wird.
3.2.1 Frequenzabhängige Verluste
In fast allen natürlichen Wellenerscheinungen wächst der Verlustkoeffizient g mit der
Frequenz. Verluste, die auf die Luftreibung oder innere Reibung der Saite zurückzuführen
sind, wachsen monoton mit der Frequenz. Auch die innere Reibung der bewegten Luft in
einem Volumen wie z.B. akustischen Röhren oder auch bei der Schallübertragung in der
Luft in einem Konzertsaal wächst mit der Frequenz an [Morse & Ingard, 1968].
Eine Möglichkeit, die frequenzabhängigen Verluste in einer digitalen Simulation zu
realisieren, ist die Integration von Zeitableitungen höherer ungerader Ordnung ∂ 3 y/∂t 3 ,
∂ 5 y/∂t 5 usw. als Verlustterme in der verlustbehafteten Wellengleichung (3.14). Dies führt zu
Wanderwellen, die sich mit frequenzabhängiger Dämpfung ausbreiten.
Anstelle eines skalaren Faktors g, der nach jedem Verzögerungsglied z -1 des Wellenleiters
eine Abschwächung des Signals bewirkt, kann man auch einen Tiefpaßfilter mit der
Frequenzantwort G(ω) einfügen. Enthält der Dämpfungsterm z.B. die Formen (∂/∂t)y,
(∂ 3 /∂t 3 )y und (∂ 5 /∂t 5 )y, so besitzt G(ω) die Form
wobei g i Konstanten sind, die von den Parametern K, μ, ε der Wellengleichung abhängig
sind. Ein solcher Filter läßt sich im linearen, zeitinvarianten Fall an einer einzigen Stelle im
Wellenleiter einfügen, um auf diese Weise die sonst auf die gesamte Saite verteilten
Verluste zu bündeln, ohne einen Approximationsfehler einzubringen 16 .
16 In effizienten digitalen Implementierungen werden diese Verlustfaktoren der Form G k (ω) durch
eine rationale Frequenzantwort der Form _ k(e jωt ) approximiert. Die Koeffizienten eines optimalen
rationalen Verlustfilters erhält man, indem man den Term || G k (ω) - _ k(e jωt ) || mit Rücksicht auf die
Filterkoeffizienten oder Pole und Nullstellen des Filters minimiert.
Um eine vor den Filter geschaltete frequenzabhängige Verzögerung zu umgehen, sollte der
Verlustfilter als ein Nullphasen-FIR (finite impuls response) Filter ausgeführt werden [Rabiner&Gold,
1975]. Ein Nullphasenfilter besitzt eine Impulsantwort _ k(n) mit endlicher Länge (FIR-Filter) und ist
symmetrisch um den Nullzeitpunkt (_ k(-n) = _ k(n)). In den meisten Realisierungen kann der
Nullphasen-FIR Filter in einen kausalen linearphasigen Filter konvertiert werden, indem man eine
daran anschließende Verzögerungskette auf die Hälfte der Länge der Impulsantwort reduziert [Smith,
2000].
Online-Version 1.0 36
G ( ω) + g ω
2 4
= g0
+ g2ω
4
(
3.
22)

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3.2.2 Die dispersive eindimensionale Wellengleichung
Neben der Dämpfung durch Reibungsverluste verursacht auch die Steifigkeit der Saite ein
schnelleres Abklingen der Schwingung. Die Steifigkeit der Saite ist eine lineare Eigenschaft,
die auf den endlichen Radius a der Saite zurückzuführen ist [Morse, 1981]. Sie bewirkt eine
Rückstellkraft, die proportional zur vierten Ortsableitung der Saitenauslenkung ist [Morse,
1981; Cremer, 1984]. Die Wellengleichung (3.1) erhält hierfür einen weiteren Verlustterm:
mit
Online-Version 1.0
2
2
4
∂ y ∂ y ∂ y
ε ⋅ = K ⋅ −κ
⋅
2
2
4
∂t
∂x
∂x
κ = Υπ
als sogenannte Steifigkeit. Υ ist hierbei das Elastizitätsmodul 17 (Young-Modul) und a der
Radius der zylindrischen Saite. Mit dem Ansatz y(x,t) = e st+vx erhält man für die ‚steife‘
Wellengleichung:
37
4 a
4
ε ⋅ κ
2 2
s = K ⋅ v − ⋅
Bei sehr kleinen Frequenzen s oder wenn die Steifigkeit unwesentlich ist im Vergleich zu
K/v 2 , erhält man die Dispersionsrelation der nichtsteifen Saite (siehe auch Abschnitt 3.1.):
ε⋅s 2 ≈ K⋅v 2 ⇒ v(s) = ±s/c. Bei sehr hohen Frequenzen oder wenn die Saitenspannung K in
Bezug auf κ⋅v 2 zu vernachlässigen ist, erhält man die Dispersionsrelation der sogenannten
idealen Stab-Approximation: ε⋅s 2 ≈ -κ⋅v 4 ⇒
v(
s)
≈ ± e
Die einzige Rückstellkraft in einem idealen Stab wird durch die Steifigkeit erzeugt.
Setzt man s = jω, so erhält man die Lösungen
1
ε 4
π 1
± j ε 4 ( ) 4
v ( s)
= j(
) ω und v(
s)
= ( ) ω
κ
κ
Im ersten Fall ist die Wellengeschwindigkeit proportional zu √ω. Hier bewegt sich die Welle
schneller entlang des Stabes oder der steifen Saite, als die Oszillationsfrequenz ansteigt
und zwar steigend mit der Quadratwurzel der Frequenz. Die zweite Lösung entspricht einer
17 Das Elastizitätsmodul ist allgemein definiert als Verhältnis von Spannung zu Dehnung.
κ
v
s
4
1
ε 4
( 3.
23)
( 3.
24)
(
3.
25)
( 3.
26)
( 3.
27)

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Veränderung der Wellenform auf der Saite, da aufgrund der Steifigkeit scharfe
Eckenbildungen nicht mehr möglich sind [Cremer, 1984].
Realisiert man die Saitensimulation im Übergang von der idealen Saite zum idealen Stab im
mittleren Frequenzbereich, so kann man die Steifigkeit wie einen Korrekturterm behandeln
[Cremer, 1984]. Da sich die Steifigkeit einer Saite stark auf den durch die Saitenschwingung
erzeugten Klang auswirkt 18 , erscheint die Hinzunahme eines weiteren Korrekturterms in die
Simulation gerechtfertigt. Setzt man voraus, daß κ 0 := κ/K

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Im Falle einer frequenzabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit muß die Einheitsverzöge-
rung z -1 daher durch z -1 → z –C0 /C(ω) ersezt werden. Jedes Einheitsdelay wird nun zu einem
Allpaßfilter 19 , das die benötigte, von der Frequenz abhängige Verzögerung approximiert
(Abb. 3.6). In der Abbildung stellt H a(z) den Allpaßfilter der rationalen Approximation
z –C0 /C(ω) dar. Die Darstellung in der Frequenzebene wird in diesem Falle mit der
z-Transformation erreicht [Strum & Kirk, 1988]. Die z-Transformation ersetzt für zeitdiskrete
Systeme die Rolle der Laplace-Transformation bei zeitkontinuierlichen Systemen. Näheres
zur Konstruktion eines solchen Allpaßfilters findet sich im Anhang A3.
Abb. 3.6: Wellenleiterdarstellung einer steifen Saite; Allpaßfilter H a(z) nehmen
den Platz der Einheitsverzögerer ein (Abb. aus [Smith, 2000]).
3.2.3 Die digitale verlustbehaftete steife Saite
Die komplette lineare zeitinvariante Verallgemeinerung der verlustbehafteten steifen Saite
wird beschrieben durch
woraus mit dem Ansatz y(x,t) = e st+vx folgt
Man erhält als quantisierte Eigenlösungen die Teilwellen
19 Ist H(f) die Übertragungsfunktion eines verzerrungsfreien digitalen LTI-Systems (lineares
zeitinvariantes System), so wird ein System mit der Eigenschaft ⏐H(f)⏐ = const. bei beliebigem
Phasenverlauf ein Allpaß genannt [Lüke, 1999].
Online-Version 1.0
∞
∑
k = 0
α
k
∂
k
y(
x,
t)
=
k
∂t
∞
∑
l=
0
39
β
∞
∑α
k
∞
k
= ∑
k = 0 l = 0
s β v
l
l
∂ y(
x,
t)
l
∂x
l
l
( 3.
32)
(
3.
33)

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mit
e
j n m
r m n m
= e ⋅ e
ω⋅t ± v(
jω)
⋅x
± v ( ω)
⋅x
jω(
t ± x / c(
ω ))
( ω ) ⋅ e
Eine allgemeine Darstellung der Dispersionsrelation von v gegen s nach der Gleichung
∞
∑α
k
k
∞
= ∑
k=
0 l=
0
s β v
l
l
= G
kann nun prinzipiell in eine genaue, lokale, lineare, zeitinvariante und
zeitdiskrete Simulation übersetzt werden, wobei die Randbedingungen und
Ausgangszustände die jeweiligen möglichen Lösungsräume festlegen.
Zusammenfassend kann man sagen, daß zur Beschreibung gedämpfter, dispersiver
Wanderwellen eine große Anzahl an Ableitungstermen mit konstanten Koeffizienten
notwendig sind. Ableitungen gerader Ordnung entsprechen hierbei einer
frequenzabhängigen Streuung, ungerade Ordnungen entsprechen frequenzabhängigen
Verlusten. Die entsprechende digitale Simulation eines willkürlich langen Abschnitts des
Wellenmediums kann über die Kommutativität weiter auf höchstens zwei reine
Verzögerungseinheiten und höchstens zwei lineare, zeitinvariante Filter vereinfacht werden
(frequenzabhängige Dämpfung, Dispersion). Da jeder lineare, zeitinvariante Filter als
Nullphasen-Filter in Reihe mit einem Allpaßfilter dargestellt werden kann, läßt sich ein zu
implementierender Filter zur Simulation realistischer Saiteneigenschaften in einen
Verlustteil und einen Dispersionsteil aufteilen. Der Nullphasen-Filter sorgt hierbei für die
frequenzabhängige Verstärkung (Dämpfung im digitalen Wellenleiter), und der Allpaß-Teil
sorgt für die frequenzabhängige Verzögerung (Dispersion im digital Wellenleiter).
Bisher wurde die Tatsache vernachlässigt, daß die Schallgeschwindigkeit zusätzlich noch
vom Druck abhängt, so auch in realen Saiten von der Spannung der Saite. Die Spannung
einer Saite variiert während des Instrumentenspieles, da sie auch von der
Saitenauslenkung abhängt. Daher klingt eine extrem stark angezupfte Saite zuerst mit einer
höheren Frequenz an und verläuft dann erst mit dem Abklingen in die Grundfrequenz der
Saite 20 . Im Folgenden wird dieser Effekt aber vernachlässigt.
20 Ein gutes Beispiel für die Hörbarkeit dieses Effekts liefert die ‚Singende Säge‘.
Online-Version 1.0 40
G
m
m
( ω ) ≡ e
r
jω
( n±
m ) ⋅T
( ω )
± v ( ω)
⋅X
s
s
( 3.
34)
(
3.
35)

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3.3 Alternative Wellenvariablen:
Anstelle der transversalen Saitenauslenkung y kann man zur Beschreibung der
Saitenschwingung genauso gut ihre Ableitungen v = ∂y/∂t (transversale
Saitengeschwindigkeit), a = ∂ 2 y/∂t 2 (Saitenbeschleunigung) oder auch y´ ≡ ∂y/∂x
(Wellenform/Saitenform) benutzen. Da Integration und Differentiation lineare Operationen
sind und da die Argumente der Wellenausbreitung in Zeiteinheiten dargestellt werden, gilt
bei einer entsprechenden Darstellung für die Wellenkomponenten ebenso die
Wellenleiterlösung y ± , v ± , a ± . In der zeitdiskreten Realisierung werden die Operationen
‚Integration‘ und ‚Differentiation‘ mit Hilfe digitaler Filter durchgeführt. Die zeitdiskrete
Beschleunigung a d(n) wird definiert als die zeitlich abgetastete zeitkontinuierliche
Beschleunigung: a d(n) := a(n⋅T s,x) = ∂ 2 y(n⋅T s,x)/∂t 2 .
Zusätzlich zu zeitlichen Ableitungen kann man natürlich auch räumliche Ableitungen
beliebiger Ordnung nutzen, um weitere Wellenvariablen zu erhalten, aus denen man eine
geeignete wählen kann, um ein anfallendes Problem optimal zu beschreiben (weitere
alternative Wellenvariablen siehe Anhang A4).
Zusammenfassend läßt sich sagen, daß sich alle Wanderwellenvariablen gegenseitig
auseinander berechnen lassen, solange beide Teilwellenzustände bekannt sind. Weil aber
eine digitale Differentiation oder Integration zeit- und rechenaufwenig ist, da hierfür ein
digitaler Filter hoher Ordnung verwendet werden muß, um zufriedenstellende Ergebnisse
erzielen zu können, werden in den meisten Fällen die beiden Wellenvariablen ‚transversale
Saitenauslenkung‘ y(x,t 0) und ‚transversale Saitengeschwindigkeit‘ ∂y(x,t 0)/∂t zur
Berechnung des Schwingungszustandes einer Saite benutzt. Dargestellt werden die
Wellenzustände meistens durch Geschwindigkeitswellen, da eine digitale Integration
leichter zu realisieren ist, als eine digitale Differentiation. Aus Geschwindigkeitswellen kann
man durch einfache Skalierung mit der Wellengeschwindigkeit c direkt auf die
Auslenkungswellen schließen. Die Berechnung von Auslenkungswellen kann sehr nützlich
sein, da diese direkt proportional sind zu den Kraftwellen.
3.3.1 Kraftwellen
In speziellen Fällen kann es von Vorteil sein, den Zustand des schwingenden Systems
durch seine Kraftwirkung zu beschreiben. Die vertikale Kraft f l zur Zeit t an einem beliebigen
Punkt x entlang der Saite, die von dem linken Teil der durch den Punkt x getrennten Saite
auf den rechten Teil der Saite wirkt, ist gegeben durch
Online-Version 1.0
41

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wobei wie bei der Ableitung der Wellengleichung davon ausgegangen wird, daß
|∂y(x,t) / ∂x|

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K K
wobei R = = = Kε
als Wellenimpedanz der Saite bezeichnet wird.
c K
ε
Die Wellenimpedanz oder auch charakteristische Impedanz der Saite wird meist dargestellt
als
R ≡
K
Kε
= = cε
c
( 3.
40)
Man kann sie als geometrisches Mittel der beiden Trägheitswiderstände ‚Spannung‘
(Federkraft) und ‚Masse‘ (Trägheitskraft) betrachten [Smith, 2000].
Die digitalisierten Wanderwellenkomponenten der Kraftwelle können somit durch die
Wellenimpedanz R und die Geschwindigkeitswellenkomponenten v beschrieben werden:
Dies zeigt, daß innerhalb einer Wanderwelle die Kraft immer mit der Geschwindigkeit in
Phase ist 21 . Die fundamentale Beziehung f + = Rv + wird manchmal als das mechanische
Äquivalent zum Ohmschen Gesetz der Elektrodynamik bezeichnet [Smith, 2000].
Im Falle einer akustischen Röhre, wie z.B. einer Flöte, wird die Kraft durch den Druck
ersetzt. Man erhält die analoge Beziehung
mit R t als Wellenimpedanz der akustischen Röhre und p + (n) als nach rechts laufende
longitudinale Druckwellenkomponente; u ± (n) sind die Schallschnellewellen.
Innerhalb einer akustischen Röhre berechnet sich die Wellenimpedanz nach [Morse, 1981;
Kinsler&Frey et.al., 2000] aus
Online-Version 1.0
f
f
( n)
= Rv ( n)
−
( n)
= −Rv
( n)
R
t
⋅c
≡
A
ρ
wobei ρ die Masse pro Luftvolumen und c L die Schallgeschwindigkeit in Luft ist. A ist die
Querschnittsfläche der akustischen Röhre [McIntyre et al., 1983].
+
−
+
+
p ( n)
= R u ( n)
−
−
p ( n)
= −R
u ( n)
t
+
t
21 Dies gilt nur mit der Annahme, daß das Minuszeichen eine Richtungsänderung angibt und keine
Phasenänderung. Das Minuszeichen verschwindet, wenn man die linksgerichtete Kraftwelle als
Saitenkraft definiert betrachtet, die nur nach links wirkt (s.o., f l = -f r).
43
L
( 3.
41)
( 3.
42)
(
3.
43)

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3.3.2 Leistungswellen
Leistungswellen sind wichtig, da sie die Fähigkeit der Welle veranschaulichen, an äußeren
Systemen, wie z.B. am Steg einer Violine, Arbeit zu verrichten. Da Energie in
geschlossenen Systemen erhalten bleibt, geben Leistungswellen manchmal eine
einfachere, grundlegendere Ansicht der Wellenphänomene, wie etwa in konischen
akustischen Röhren. Näheres zu den Leistungswellen findet sich in Anhang A5.
3.4 Streuung und Reflexion an Impedanzdiskontinuitäten
Trifft eine Welle auf eine Verbindung zwischen Bereichen verschiedener
Wellenimpedanzen, bewirkt die Veränderung der Wellenimpedanz eine Singalstreuung.
Trifft eine Wanderwelle auf eine solche Impedanzdiskontinuität, so wird sie teilweise daran
reflektiert und teilweise hindurchgelassen; die Gesamtenergie bleibt dabei erhalten [Main,
1978]. In Simulationen akustischer Röhren, wie z.B. dem menschlichen Stimmtrakt [Cook,
1990; Markel&Gray, 1976] oder in Blasinstrumentenmodellen [Hirschmann, 1991] werden
verlustbehaftete streuende Abzweigungen implementiert, um z.B. Tonlöcher zu simulieren.
Die Implementierung der Streueigenschaften der Verbindungspunkte zwischen
Wellenleitern unterschiedlicher Wellenimpedanzen wird in Anhang A6 behandelt.
3.5 Die eingespannte Saite
Die schwingenden Medien in den mechanischen Systemen der akustischen
Musikinstrumente (Saiten, Steg, Korpus; Luftvolumen usw.) sind nicht unendlich
ausgedehnt. Die Begrenzung auf eine bestimmte Abmessung gibt gewisse
Randbedingungen vor, die die möglichen Schwingungszustände des Mediums stark
einschränken. Die Art der Begrenzung, ob starr oder beweglich, und ihrer Ankopplung an
das schwingende Medium sind für die Übertragung der Schwingungsenergie auf den
schallabstrahlenden Teil des Gesamtsystems von großer Wichtigkeit.
3.5.1 Starre Begrenzungen
Der einfachste Fall für die Einschränkung des schwingenden Systems auf eine bestimmte
Länge ist die absolut starre Begrenzung. Diese wird durch die Vorgabe der
Randbedingungen
y(0,t) := 0
Online-Version 1.0 44

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Online-Version 1.0
y(L,t) := 0
erreicht. Setzt man diese in die Wanderwellenlösung aus Abschnitt 3.1.1 ein
so folgt damit für die Teilwellen
y(0,t ) = y r(t) + y l(t) = y + (t/T) + y - (t/T)
y(L,t ) = y r(t-L/c) + y l(t-L/c)
y + (n) = -y - (n)
y - (n+N/2) = -y + (n-N/2)
wobei N = 2L/X s die Zeit in Samples ist, die die Teilwelle zur Ausbreitung von einem Ende
der Saite und wieder zurück benötigt. Die Teilwelle wird also an der Begrenzung invertiert
reflektiert. Abb. 3.8 gibt über die oben dargestellten Zusammenhänge Aufschluß, wobei an
beliebiger Stelle x = ξ ein virtueller Tonabnehmer integriert wurde.
Abb. 3.8: Wellenleitermodell der beidseitig starr begrenzten idealen Saite mit Signalabgriff
bei x = ξ (Abb. aus [Smith, 2000]).
Der beschriebene Wellenleiter verhält sich analog zum elektrischen Fall der
Wellenausbreitung auf Leitungen (Telegraphengleichung) bzw. der Ausbreitung von
Lichtwellen in optischen Medien mit variablem Brechungsindex [Nolting, 2001].
3.5.2 Bewegliche Begrenzungen
Ein schwingungsfähiges System, das über eine nicht-starre Begrenzung des schwingenden
Mediums an ein weiteres schwingungsfähiges System gekoppelt ist, überträgt einen Teil
der Schwingungsenergie in das angekoppelte System. Im Falle der Saiteninstrumente ist
die Saite über den Steg an den Korpus gekoppelt und überträgt einen Teil der
45

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Schwingungen auf den Resonanzkörper, der dadurch wiederum in Eigenschwingung
versetzt wird und einen Teil der Energie als Schall abstrahlt. Bei der Geige stellt der
aufliegende Bogen zusätzlich eine weitere nicht-starre Saitenbegrenzung dar, an der die
Wanderwellen teilweise reflektiert werden. Eine gestrichene Saite läßt sich im einfachsten
Fall durch zwei bewegliche begrenzte Saiten approximieren: Während der Zeitintervalle, in
denen der Bogen und die Saite aneinander haften, fungiert der Bogen als eine einfache, in
vertikaler Richtung bewegliche Begrenzung.
Um einen Violinenklang mittels Wellenleitersynthese zu simulieren, ist es hilfreich, sich den
Fall einer fest eingespannten idealen Saite vor Augen zu führen, dessen linkes Ende durch
eine externe Kraft bewegt wird. Zur Zeit t = 0 wird die linke Begrenzung der idealen Saite,
wie in Abb. 3.9 dargestellt, mit konstanter Geschwindigkeit v 0 in Bewegung gesetzt. Die
aufwärts gerichtete Kraft des bewegten Endpunktes errechnet sich durch f 0 = Rv 0, mit R als
Wellenimpedanz der Saite. Zu Zeiten t 0 < L/c hat die Störung einen Abstand c⋅t 0 entlang der
Saite. Man bedenke, daß die Saitenform am bewegten Endpunkt durch
∂
y
∂x
v 0 ⋅t
= −
c ⋅t
Online-Version 1.0 46
0
0
0
v 0 f 0 / R f 0
= − = − = −
c c K
gegeben ist. Hierbei findet man die aus Abschnitt 3.3.1 bekannte Beziehung zwischen
Kraftwellen und dem Produkt aus Auslenkungswellen und der negativen Spannungskraft
wieder.
Abb. 3.9: Bewegliche Begrenzung bei einer idealen Seite zur Zeit 0 < t 0 < L/c
(Abb. aus [Smith, 2000])
In Teilabbildung a) der Abb. 3.10 wird ein Wellenleitermodell für Geschwindigkeitswellen
gezeigt, in b) dagegen eine Kraftwellensimulation. Beide Schaltkreise sind äquivalent
[Smith, 2000]. Im Falle der Geschwindigkeitswellen erzeugt die bewegte Begrenzung eine
zusätzliche konstante Geschwindigkeit v 0, die am linken Rand des digitalen Wellenleiters

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
periodisch zum Gesamtsystem addiert wird. Dies initiiert zur Zeit t = 0 einen
Geschwindigkeitsschub von 0 auf v 0, der zum rechten Rand hin wandert. Erreicht die
wandernde Geschwindigkeitsstufe die rechte Begrenzung, wird sie invertiert reflektiert und
wandert als ‚Auslöschungswelle‘ wieder in Richtung des linken Saitenendes. Hinter dieser
Auslöschungswelle ist die Geschwindigkeit gleich Null und die Saite bewegt sich nicht.
Erreicht die Auslöschungswelle das linke Saitenende, wird sie wieder invertiert reflektiert
und zum externen Geschwindigkeitssignal des bewegten Saitenendes addiert. Das neue
Treppen-signal hat nun die Amplitude 2⋅v 0 und bewegt sich wieder zum rechten Ende der
Saite. Dieser Prozeß wiederholt sich immer wieder, was darin resultiert, daß die
Wanderwellenkomponenten ohne Grenze weiter wachsen, wobei die Summe der oberen
und unteren Verzögerungskette aber immer entweder gleich 0 oder v 0 bleibt. Zu allen Zeiten
kann man die Saite nun in zwei Segmente unterteilen, wobei das linke Segment sich nach
oben mit der Geschwindigkeit v 0 ausbreitet, während das rechte Segment bewegungslos
bleibt.
Online-Version 1.0
Abb. 3.10: Äquivalente Wellenleitermodelle. In a) ist ein Wellenleitermodell
für Geschwindigkeitswellen, in b) ein Wellenleiter für
Kraftwellen dargestellt. Bei Kraftwellen entfällt die Signalinvertierung
bei der Reflexion (Abb. aus [Smith, 2000]).
Im Falle der Kraftwellensimulation erscheint die Bewegung des begrenzten Endes als eine
dem System zusätzlich an der Stelle der Begrenzung zugeführte konstante Kraft f 0 = R⋅v 0.
Dies initiiert zur Zeit 0 einen Sprung der Kraftkomponente von 0 auf f 0, der sich nach rechts
47

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
weiterbewegt. Im Prinzip gleicht der Vorgang dem oben Beschriebenen für
Geschwindigkeitswellen, mit dem Unterschied, daß die Kraftwellen an der Begrenzung nicht
invertiert reflektiert werden. Dies führt zu einem endlosen Anstieg der Kraftkomponenten.
Die Form der Saite hinter der Kraftwelle errechnet sich durch (∂/∂x)⋅y = -(n+1)⋅f 0/K, mit n als
Anzahl der Reflexionen am rechten Saitenende. Die Saite ist immer stückweise linear und
besteht aus mindestens zwei linearen Segmenten, die sich pro Umlaufzyklus jeweils um -f 0/K
unterscheiden. Abb. 3.11 zeigt einige Momentaufnahmen.
Abb. 3.11: Dargestellt sind Einzelbilder einer durch ein bewegtes Saitenende
angereten Saitenschwingung. Um die Abbildung übersichtlicher zu
halten, sind die Einzelbilder der Saitenbewegung stückweise nach oben
verschoben; die Gesamtanordnung wird sozusagen zusätzlich mit konstanter
Geschwindigkeit in y-Richtung bewegt (Abb. aus [Smith, 2000]).
3.5.3 Die Anregung der starr begrenzten idealen Saite
Eine ideale starr begrenzte Saite läßt sich auf vielerlei Arten zu einer Eigenschwingung
anregen. Die einfachsten Anregungsmechanismen sind Zupfen, Schlagen und Streichen,
wobei nur beim Anstreichen der Saite ein anhaltender Ton entsteht.
Die ideale gezupfte Saite besitzt zum Anfangszeitpunkt t 0 eine Auslenkung ungleich Null mit
einer Geschwindigkeitsverteilung gleich Null [Morse, 1981]. Im allgemeinen legen die
Ausgangsausrichtung y(x,0) und die Ausgangsgeschwindigkeit v(x,0) zusammen mit den
Randbedingungen in Abwesenheit von weiteren Erregungen den Zustandsraum des
Systems fest.
Online-Version 1.0 48

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
In Abb. 3.12 ist ein Beispiel der beiden Teilwellen und der resultierenden Saitenform einer
zweiseitig starr eingespannten Saite kurz nach dem Anzupfen an einem Punkt ß = _ der
Saitenlänge dargestellt. Die negativen Auslenkungsbereiche der Wanderwellen sind hierbei
als invertierte Reflexionen an den Saitenenden zu deuten.
Abb. 3.12: Abbildung einer idealen, beidseitig starr begrenzten Saite der Länge L,
die an der Stelle ß = _ angezupft wird. Die Form der Saite ergibt sich zu jeder Zeit
aus der Superposition der beiden sich mit der Wellengeschwindigkeit c ausbreitenden
und an den Saitenenden invertiert reflektierenden Wanderwellenkomponenten.
Ein Beispiel für eine digitale Wellenleitersimulation ist in Abb. 3.13 dargestellt. Im zeit-
diskreten Fall ist die Simulation scharfer Ecken in der angezupften Saite jedoch unmöglich,
da man hierfür eine unendliche Bandbreite benötigen würde, was beim Abtasten zu
unerwünschten Aliasing-Effekten führt. Die Beliebigkeit der Saitenform wird deshalb nach
einer Bandbegrenzung durch das Spektrum des Signals auf die halbe Samplingrate F s
eingeschränkt. Alternativ dazu könnte man die Signalform auch durch die Einschränkung
der Ausgangsauslenkung (also dem Anzupfen) auf eine Bandbreite einschränken, die
kleiner ist als X s/2c.
Abb. 3.13: Anfangsbedingungen für die Simulation einer angezupften, beidseitig
starr begrenzten idealen Saite im digitalen Wellenleiter. Zur Veranschaulichung
wurden die Wellenformen der beiden Wanderwellen in die Blockschaltbilder der
Verzögerungseinheiten gezeichnet. Die Amplitude der beiden Auslenkungswellen
in den Verzögerungsketten sind halb so groß, wie die des Initialisierungsimpulses.
Die Summe der Signale in den beiden Verzögerungsleitungen ergibt die aktuelle
Saitenauslenkung (Abb. aus [Smith, 2000]).
Online-Version 1.0
49

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Da reale Saiten nicht die Eigenschaften einer idealen Saite, sondern immer eine gewisse
Steifigkeit besitzen, ist eine wirklich scharfe Ecke auch in der Realität gar nicht möglich.
Auch berühren Plektren oder zupfende Finger die gespielte Saite nie an nur einem einzigen
Punkt und erzeugen immer abgerundete Ecken auf der Saite. Die Bandlimitierung, die in
der digitalen Simulation verlangt wird, beeinträchtigt den Bereich des menschlichen
Hörspektrums nicht, so daß diese keine Beschränkung im praktischen Sinne nach sich
zieht.
Zur Simulation von gezupften Saiten sind Beschleunigungswellen eine gute Wahl; der
Anfangsimpuls im Verzögerungsleiter an der Stelle des Anzupfpunktes entspricht hier
genau den Anfangsbedingungen einer idealen gezupften Saite. Die Anfangsbedingungen
für Beschleunigungswellen sind in Abb. 3.14 dargestellt.
Abb. 3.14: Anfangsbedingungen für die Simulation einer angezupften, beidseitig
starr begrenzten idealen Saite im digitalen Wellenleiter für Beschleunigungswellen
(Abb. aus [Smith, 2000]).
Für die Simulation einer angeschlagenen idealen Saite (z.B. durch einen Klavierhammer)
müssen im Prinzip nur die Anfangsbedingungen ausgetauscht werden. Hier ist zwar die
Anfangsauslenkung gleich Null, aber die Geschwindigkeitsverteilung ist ungleich Null. Zum
Zeitpunkt t 0 würde im Falle des Klaviers der Hammer auf die Saite treffen und im
idealisierten Fall sofort einen Impuls auf die Anschlagstelle der Saite übertragen. Die
Saitenform übernimmt dann die Form des anschlagenden Hammers. Da nach den
Gleichungen (3.41) und (A4.3)
f ∂
= c ⋅ y
R ∂x
±
±
v ± = m
gilt, läßt sich die Anfangsgeschwindigkeitsverteilung über die Orte x integrieren und so die
dazu equivalente Anfangsauslenkungsverteilung bestimmen [Morse, 1981].
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±

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Eine gestrichene Saite läßt sich im einfachsten Fall als eine periodisch oder statistisch
gleichverteilt angezupfte Saite betrachten.
3.5.4 Die äußere Anregung
Die vorangehenden Unterabschnitte veranschaulichten die Anregung des ruhenden
Wellenleiters mittels der Vorgabe von Ausgangsbedingungen: eine Anfangsauslenkung
beim Zupfen und eine Anfangsgeschwindigkeit beim Anschlagen. Eine solche
Beschreibung findet sich auch in den Lehrbüchern der Akustik [Kinsler&Frey et.al., 2000].
Befindet sich die Saite bereits in Bewegung, so wie es in der Praxis häufig der Fall ist, so
kann man die Saite zusätzlich von außen durch ein ‚Plektrum‘ oder einen ‚Hammer‘
anregen, so wie es auch zur Klangerzeugung bei realen Instrumenten getan wird.
Für die Anregung von außen benötigt man in der Wellenleitersimulation einen
Signaleingang für eine externe Anregungsfunktion. Abb. 3.15 zeigt das Wellenleitermodell
einer an zwei Enden begrenzten Saite mit einem Eingang für externe Anregung. Die
Eingangsvariable ω kann jeder der Wellengrößen (a, v, ∂y/∂x...) entsprechen, wobei bei der
Wahl von Kraftwellen darauf geachtet werden sollte, daß die Vorzeicheninversion bei den
Reflexionen an den Saitenenden entfernt werden. Für idealisierte angezupfte Saiten setzt
man ω = a (Beschleunigungswellen). Die externe Anregung wird in der Abbildung mit Δω
bezeichnet, um zu veranschaulichen, daß es sich um ein additives Inkrement handelt, das
mit dem jeweiligen Saitenzustand superpositioniert wird.
Abb. 3.15: Digitale Simulation einer fest eingespannten idealen Saite unter
äußerer Anregung. Erfolgt die äußere Anregung durch Anzupfen, so wählt
man ω = a (Beschleunigungswellen). Die Signalauskopplung erfolgt über einen
idealen Tonabnehmer am Steg.
Online-Version 1.0
51

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Δω kann ein einziges, von Null verschiedenes Sample sein oder auch ein Impuls im
Augenblick des Anzupfens. Nichtganzzahlige Zeit- und Ortwerte vermeidet man durch
bandlimitierte Interpolation. Zupft man die Saite mittels einer Kraftverteilung f p(x m,t n), so
kann man die am entsprechenden Punkt angreifende Kraft mittels der Wellenimpedanz in
die jeweiligen Geschwindigkeitsinkremente übersetzen:
Der Faktor 2 kommt durch die zwei parallel durchlaufenen Saitensegmente (rechts- und
linkskaufende Welle) des bidirektionalen Wellenleiters zustande 22 .
Man beachte, daß die Wirkung der von außen auf die Saite wirkenden Kraft je nach
Schwingungszustand der Saite, in dem sie sich zum Zeitpunkt der externen Anregung
befindet, variiert. In der Realität stellen Hammer, Plektrum oder Finger, die mit der
schwingenden Saite in Kontakt kommen, eine zeitweise Begrenzung der Saite dar, was zu
Reflexionen in beiden durch den Kontakt geteilten Saitenteilen führt. Ein einfaches Modell
hierfür ist eine für die Dauer des Kontaktes am Anregungspunkt befestigte Masse.
Allgemeiner wäre eine beliebige Impedanz oder Kraftquelle am Anregungspunkt für die
Dauer des Kontaktes. In einem Wellenleitermodell für gestrichene Saiten ist der Bogen-
Saite-Kontakt durch eine nichtlineare streuende Verbindung (‚nonlinear scattering junction‘)
realisiert [Smith, 2000] (siehe auch Anhang A6).
3.5.5 Die gedämpfte angezupfte Saite
Ohne Dämpfung klingt die digitale Implementierung der idealen gezupften Saite eher nach
einer preiswerten elektronischen Orgel, als nach einer realen schwingenden Saite. Dies
liegt an der perfekten Periodizität des Klanges, der zudem niemals abklingt. Ein statisches
Spektrum ist für das menschliche Ohr eher langweilig und unspektakulär.
Die Simulation der Dämpfung der schwingenden Saite erreicht man mit exponentiell
abgeschwächten Teilwellen. In der Realität ist der Verlust während einer
Schwingungsperiode kontinuierlich über die gesamte Saitenlänge verteilt. In der digitalen
Simulation werden die Verlustfaktoren g pro Teilintervall N auf einen resultierenden
Verlustfaktor g N an einer einzigen Stelle im Wellenleiter reduziert, um Rechenlast zu sparen
und Rundungsfehler zu minimieren.
22 Physikalisch sind sie parallel, als Impedanzen aber formal in Serie geschaltet.
Online-Version 1.0 52
f p
Δ v =
(
3.
44)
2R

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Abb. 3.16: Digitale Simulation einer fest eingespannten, gedämpften idealen Saite.
Damit das System stabil bleibt, sollte g N < 1 bleiben.
Einen vereinfachten Algorithmus erhält man durch Zusammenschaltung der bidirektionalen
Verzögerungsleiter (Abb. 3.15) zu einem einzigen Verzögerungsleiter mit doppelter
Verzögerungszeit (Abb. 3.16). Ein in das System eingebrachter Impuls durchläuft das
Verzögerungselement, das durch die Vorgabe der (auf das Samplingintervall T s normierten)
Verzögerungszeit N die Saitenlänge L und dadurch auch die Tonhöhe des entstehenden
Klanges f 1 festlegt:
Aufgrund der Quantelung von Zeit und Raum sind nur äquidistante Frequenzzustände
möglich. Um Frequenzen synthetisieren zu können, die ungerade Vielfache des kleinsten
Frequenzunterschiedes sind, ist eine Modellierung partieller Verzögerungszeiten durch
lineare Interpolation, Allpaß-Interpolation oder Lagrange-Interpolation (‚Fractional Delay‘)
notwendig. Die bekannten Verfahren führen allerdings meist zu unerwünschten
Dämpfungserscheinungen (lineare Interpolation) oder zu zeitabhängigen Verzerrungen
hoher Frequenzen (Lagrange-Interpolation) [Välimäki, 1995; Smith, 1996].
Da zwischen Eingang und Ausgang keine Kopplung stattfindet, lassen sich alle Verluste in
einem einzigen Multiplikator G = g N zusammenfassen. Die beiden Vorzeicheninvertierer an
den Saitenenden (Verstärkungsfaktoren -1) löschen sich bei der Zusammenschaltung der
bidirektionalen Verzögerungsleitungen der links- und rechtslaufenden Teilwellen
gegenseitig aus. Es bleibt ein einziger Verzögerer mit der Verzögerungszeit N übrig. Die
reduzierte Schaltung ist in Abb. 3.16 dargestellt. Durch die Zusammenfassung auf eine
einzige Verzögerungseinheit reduziert man die N Rundungsfehler der N
Einzelmultiplikatoren g für die Dämpfung (siehe Abschnitt 3.2) pro Periode auf einen
einzigen Rundungsfehler pro Periode durch den Gesamtmultiplikator G.
Der Vorteil einer bidirektionalen Verzögerungskette liegt in der Möglichkeit, die spektrale
Zusammensetzung des Ausgangssignals von der Position der Anregungsstelle abhängig zu
Online-Version 1.0
2L
Fs
N =
=
X f
53
s
1
( 3.
45)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
machen (Anordnung wie in Abb. 3.15, mit Invertierungsfaktoren -g N/2 anstatt -1). Die
Anregungsstelle unterteilt die Saite in zwei Teilbereiche. Jedem Teilbereich entspricht eine
Verzögerungskette, deren Verzögerungszeiten mit der Position der Anzupfstelle variieren.
Die Implementierung eines solchen Wellenleiters findet sich in Kapitel 5.
3.5.5.1 Frequenzabhängige Dämpfung
Um die im Verzögerungsleiter synthetisch erzeugten Klänge noch realistischer klingen zu
lassen, sollte die Dämpfung wie in der Realität frequenzabhängig sein und der
Dämpfungsgrad mit der Frequenz ansteigen. Der in Abschnitt 3.2 eingeführte Verlustfaktor
g sollte dann durch linearphasige digitale Filter mit Tiefpaßcharakteristik ausgetauscht
werden, deren Verstärkung mit der Frequenz abnimmt und wegen der Stabilität der
Rückkopplungsleitung niemals den Wert 1 übersteigen darf (siehe Abschnitt 3.4.4).
Ist _(z) der dadurch resultierende passive linearphasige Filter, so ist die Stabilitätsbe-
dingung | _(e jωT ) | ≤ 1 (passiv). Die Bedingung einer konstanten Verzögerung für alle
Frequenzen (linearphasiger Filter) beschränkt die möglichen Filtertypen auf symmetrische
FIR-Filter. Näheres zur Generierung eines solchen frequenzabhängigen Dämpfungsfilter
findet sich in Anhang A7.
Ein einfaches Modell der idealen Saite mit frequenzabhängigem Dämpfungsfilter ist in Abb.
3.17 dargestellt. Eine solche Schaltung nennt man auch ‚Karplus-Strong-Algorithmus‘
[Karplus&Strong,1983; Roads, 1996; Jaffe&Smith, 1983; Sullivan, 1990].
Wird die Karplus-Strong-Schaltung anstatt durch einen reinen Impuls durch ein
tiefpaßgefiltertes kurzzeitiges Weißes Rauschen angeregt, läßt sich mit der Grenzfrequenz
des benutzten Tiefpaßes die Klangfarbe bei unterschiedlich gespielter Dynamik des
resultierenden Klanges steuern. Auf diese Weise kann man das Klangverhalten realer
Saiteninstrumente simulieren, deren Klang heller wird, wenn die Saite stärker (‚lauter‘)
angeschlagen wird [Jaffe&Smith, 1983].
Abb. 3.17: Einfaches Modell einer idealen Saite mit frequenzabhängigem
Dämpfungsfilter (Karplus-Strong Algorithmus). Auf den N-Sample Verzögerer
folgt ein digitaler Tiefpaß erster Ordnung.
Online-Version 1.0 54

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
3.5.6 Saitensteifigkeit
Für die Realisierung einer steifen Saite, z.B. zur Simulation von Piano-Saiten, nutzt man
Schaltungen wie sie in Abb. 3.18 dargestellt sind. Durch die Saitensteifigkeit breiten sich die
hochfrequenten Signalanteile schneller aus, als die niederfrequenten Anteile, so daß die
Welle dispergiert (s.o. Abschnitt 3.2.2). Ein solches Verhalten simuliert man durch die
Integration eines Allpaßfilters mit frequenzabhängiger Verzögerung, der die Dispersion an
einer einzigen Stelle im Wellenleiter zusammenfaßt. Eine solche steife Saite erzeugt eine
disharmonische Obertonreihe, d.h. die Oberschwingungen sind nicht mehr ganzzahlige
Vielfache der Grundschwingung 23 .
Abb. 3.18: Simulation einer fest eingespannten steifen Saite. Der Allpaßfilter
sorgt durch eine frequenzabhängige Signalverzögerung für die Nachbildung
von Dispersionserscheinungen in den sich auf der Saite ausbreitenden Teilwellen.
3.5.7 Dynamische Saitenbegrenzungen
Um die Simulation des Klanges einer gezupften Saite realistisch zu gestalten, muß man von
der totalen Reflexion an den beiden Saitenenden Abstand nehmen. Ein absolut starrer Steg
einer Gitarre oder einer Violine kann keine Schwingungen auf den Korpus des Instrumentes
übertragen. Die Saitenschwingung wird durch die Kopplung der Saite an die Brücke
gedämpft. Im einfachsten Fall verhält sich die Schwingung ähnlich wie die eines Systems
aus einer einfachen Feder, die parallel zu einem frequenzunabhängigen Widerstand
(Dämpfungzylinder, ‚dashpot‘) geschaltet wird [LePage, 1961; Cremer, 1984].
Wird eine Wanderwelle am Steg eines realen Instrumentes reflektiert, so wird dieser bewegt
und überträgt einen Teil der Schwingungsenergie in den Instrumentenklangkörper. In
welchem Maße sich der Steg bewegt, wird durch die sogenannte ‚driving-point‘-Impedanz
R b(s) bestimmt. Dies ist die Impedanz des Steges am Aufsatzpunkt der jeweiligen Saite. Die
23 Beim Klavier werden aufgrund der Dispersionserscheinung die Saiten der oberen Lagen etwas
höher, als ihre theoretischen Notenwerte gestimmt, um im Zusammenspiel mit Tönen der unteren
Oktavlage disharmonische Klänge zu vermeiden.
Online-Version 1.0
55

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
‚driving-point‘-Impedanz ist gleich dem Verhältnis der Laplacetransformierten der Kraft
F b(s), die auf den Steg wirkt, zur Geschwindigkeit der resultierenden Bewegung V b(s):
Für passive Systeme, also alle natürlichen Instrumente, ist die ‚driving-point‘-Impedanz
positiv-reellwertig [Smith, 1983; VanValkenburg, 1960], was bedeutet
(1) R b(s) ist reell, wenn s reell ist
(2) Re{s} ≥ 0 ⇒ Re{R b(s)} ≥ 0
Diese scheinbar einfachen Eigenschaften haben große Auswirkungen auf das Verhalten
von R b(s). So kann z.B. die Phase von R b(jω) für keine Frequenz größer oder kleiner als 90°
werden, und im verlustlosen Fall müssen die Pole und Nullstellen mit der jω-Achse
zusammenfallen.
Fb
( s)
Rb
( s)
=
V ( s)
Für x = 0 wird die Kraft auf den Steg dargestellt durch
In der Frequenzebene gilt aufgrund der Linearität
und damit für die Geschwindigkeit des Saitenendes
Die Transformation der zeitkontinuierlichen ‚driving-point‘-Impedanz R b(s) in den digitalen
Bereich ist analog zur Transformation analoger elektrischer in entsprechende digitale Filter;
Techniken hierfür finden sich in [Parks&Burrus, 1987]. Smith bevorzugt hierfür die
sogenannte Bilinear-Transformation, da sie die Eigenschaft der Positiv-Reellwertigkeit
erhält, wobei man hier für die Definition der Eigenschaft positiv-reellwertig Re{s} ≥ 0 durch
|z| ≥ 1 zu ersetzen hat [Smith, 1983; Appendix C].
Online-Version 1.0 56
f b
F b
∂
( t)
= K y(
0,
t)
= − f ( 0,
t)
∂x
∂
( s)
= K Y(
0,
s)
= −F
( 0,
s)
∂x
Fb
( s)
F(
0,
s)
V(
0,
s)
= Vb
( s)
≡ = −
R ( s)
R ( s)
b
b
b
( 3.
46)
( 3.
47)
( 3.
48)
(
3.
49)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Abb. 3.19: Darstellung einer Saitenbegrenzung durch eine ‚driving-point‘-Impedanz
zweiter Ordnung als simples Masse-Feder-System, wobei m die Masse, k
die Federkonstante und μ der Widerstand des Dämpfungszylinders ist.
Betrachtet man die Kopplung der Saite an den Steg als ein wie in Abb. 3.19 dargestelltes
einfaches Masse-Feder-System, so ist die ‚driving-point‘-Impedanz von zweiter Ordnung
und errechnet sich wie folgt:
wobei m die Masse und k die Federkonstante darstellt. μ ist der Widerstand des
Dämpfungszylinders. Die obige allgemeine Impedanz zweiter Ordnung kann man als die
Summe der Einzelimpedanzen von Masse, Feder und Dämpfungszylinder betrachten.
Formal scheinen diese also in Reihe geschaltet zu sein und die Regeln der
Stromkreistheorie zu befolgen. Es sind dann m⋅s der Scheinwiderstand der Masse m, k/s
der Scheinwiderstand der Feder und μ ist ein realer Widerstand. Da sich die
Scheinwiderstände so verhalten, als seien sie in Reihe geschaltet, ist es gleichgültig, wie
kompliziert eine beliebige Kombination von MFD 24 -Schwingern für eine optimierte
Simulation der Stegeigenschaften wird – eine einfache ‚Widerstandsnetzwerkanalyse‘ ergibt
die ‚driving-point‘-Impedanz des Steges. Die Admittanz 25 des Steges verhält sich hingegen
wie parallelgeschaltete Elemente [Smith, 2000].
Natürlich sind die komplizierten mechanischen Konstruktionen der Musikinstrumente nicht
mit einfachen Masse-Feder-Schwingern zu vergleichen. Diese einfach zu berechnenden
Systeme werden aber oft verwendet, um mit Teilsystemen zweiter Ordnung wichtige
Resonanzbereiche im Instrumentenkörper zu modellieren.
24 MFD = Masse-Feder-Dämpfer
25 Die Admittanz ist die reziproke Impedanz.
Online-Version 1.0
R b
k
( s)
= m ⋅ s + μ +
(
3.
50)
s
57

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3.5.8 Die Reflexions-Transferfunktion
Benutzt man die Bilinear-Transformation zur digitalen Implementierung der ‚driving-point‘-
Impedanz in den Wellenleiter [Smith, 1983], erhält man für die digitale Impedanz-
Transferfunktion _ b(z):
wobei F b(z) die z-Transformierte, auf den Steg wirkende Kraft darstellt und V b(z) die
z-Transformierte vertikale Geschwindigkeit des Steges ist. _ b(z) nennt man auch
Reflektanz. Da Steg und Saite sich in dieselbe Richtung bewegen, ist V b(z)= V(z). Die auf
die Brücke wirkende Kraft ist gegeben durch f l(0,t). Da aber die nach rechts wirkende Kraft
zur Wellenvariablen f erklärt wurde (siehe auch Abschnitt 3.3.1), gilt F b(z) = - F(0,z). Nun
kann die Impedanz der Saitenbegrenzung durch den Steg in den Größen ausgedrückt
werden, die den Zustand der Saitenbewegung beschreiben:
Im Kontext der Simulation sind die Werte für die Reflektanz _ b(z), die Wellenimpedanz der
Saite R und die Wellenvariablen, die auf die Brücke einwirken (in diesem Fall F - (z) wie in
obiger Gleichung) bekannt. Dies führt zur Reflexions-Transferfunktion an der Stelle des
Steges:
(
−1
⎛ 2 1−
z ⎞ Fb
( z)
Rb
( z)
≡ Rb
⎜ ⋅ = 1
T 1 z
⎟ −
⎝ + ⎠ Vb
( z)
(
−
+
−
F(
z)
F ( z)
+ F ( z)
F ( z)
+ F ( z)
( z)
= − = −
= −R
⋅
−
+
V ( z)
V ( z)
+ V ( z)
F ( z)
− F ( z)
Rb +
+
−
(
+
F ( z)
Rb
( z)
− R
Sb
( z)
≡ = (
−
F ( z)
R ( z)
+ R
Da _ b(z) positiv-reell ist, ist S b(z) eine Schur-Funktion 26 [Smith, 2000]: |S b(z)| ≤ 1 für |z| ≤ 1.
Schur-Funktionen werden zu Allpaßfiltern, wenn die Dämpfung gegen Null geht. Sie
verstärken keine Frequenzbereiche, so daß die Stabilität der Rückkopplungsschleife nicht
gefährdet wird. Reflexionsfilter haben immer eine gerade Anzahl an Polen und Nullstellen,
was man auch aus obiger Gleichung herauslesen kann.
Die Reflexions-Transferfunktion S b(z) wurde für Kraftwellen definiert. Wächst die
Impedanzfunktion des Steges gegen unendlich, wird die Verbindung zwischen Saite und
Steg starr und S b(z) erreicht den Wert 1 - ein Ergebnis, das mit der Analyse steifer
26 Eine Schur-Funktion S(z) ist definiert als eine komplexe analytische Funktion, wobei z beschränkt
ist auf |z| ≤ 1. Die Funktion S(z) ≡ (1-R(z)) / (1+R(z)) ist eine Schur-Funktion, wenn und nur wenn
R(z) positiv real ist.
Online-Version 1.0 58
b
( 3.
51)
(
3.
52)
( 3.
53)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Endpunkte übereinstimmt. Da die typischen Instrumentenbrücken sehr fest sind, ist der
Wert der Reflexions-Transferfunktion in praktischen Anwendungen meist S b(z) ≈ 1.
Ähnliches gilt für den Fall, wenn die Brückenimpedanz gegen Null geht. S b(z) geht dann
gegen –1, was mit der Physik einer Saite mit einem freien Ende übereinstimmt. In allen
Fällen gilt: |S b(e jωT )| ≤ 1 für alle ω.
Die Geschwindigkeitswellen-Version der Brückenreflexions-Transferfunktion folgt aus der
Kraftwellen-Reflektanz wie folgt:
ist also einfach die negative Kraftwellen-Brückenreflexions-Transferfunktion.
Die Reflexions-Transferfunktion S b(z) spezifiziert die Reflexionsanteile der einzelnen
Frequenzen am Steg Die Transmissions-Transferfunktion oder auch ‚Transmittanz‘ ist das
Komplement zu S b(z). Es gilt V b(z) / V + (z) = 1 - S b(z) für Geschwindigkeitswellen und
F b(z) / F + (z) = 1 + S b(z) für Kraftwellen. Addiert man die reflektierte und transmittierte
Leistung, so erhält man entsprechend der Energieerhaltung den Wert 1 [Smith, 2000].
3.6 Kopplungserscheinungen
In einer realistischen digitalen Implementierung eines Saiteninstrumentes darf das
Phänomen der Kopplung nicht ignoriert werden. Kopplungseffekte beinhalten hörbare
Erscheinungen im Klangspektrum, wie die Modulation der Amplitudenhüllkurven einzelner
Obertöne, die sich auf Schwebungen zwischen zwei oder mehreren gekoppelten
Schwingungsmoden zurückführen lassen, Zwei-Phasen-Abklingverhalten (two-stage decay,
s.u.) und sogenanntes ‚Nachklingen‘ [Weinreich, 1977]. Kopplung kann zwischen zwei oder
mehreren Saiten, aber auch zwischen den Polarisationsebenen einer einzigen Saite
stattfinden.
Implementiert man nur einen einzigen Wellenleiter zur digitalen Synthese des Klanges einer
Saitenschwingung, erhält man ein qualitativ noch recht schlechtes Klangbild, da hier die
verschiedenen Kopplungsmechanismen der natürlichen Saiteninstrumente noch nicht
berücksichtigt werden. Die Obertöne im Klang gekoppelter Saiten bilden mit ihren
interssanteren Amplitudenhüllkurven ein lebendiges Klangbild. In einer realen Saite
existieren im allgemeinen zwei orthogonale transversale Schwingungsebenen, die
gegenseitig intrinsisch miteinander gekoppelt sind [Hanson, 1994]. Ebenso besteht auch
eine intrinsische Kopplung zwischen transversalen Schwingungswellen und longitudinalen
Online-Version 1.0
V
V
+
−
( z)
( z)
+
F ( z)
/ R
= −Sb
( z)
− F ( z)
/ R
= −
59
(
3.
54)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Wellen [Elmore&Heald, 1969]. Die bisher betrachteten transversalen Wellen repräsentierten
nur Schwingungen in der x-y-Ebene – die vertikale Polarisation transversaler
Saitenschwingungen. Um eine reale Saite zu modellieren, benötigt man zusätzlich noch
transversale Wellen in der x-z-Ebene, also horizontale Polarisation. Jede Polarisation
transversaler Wanderwellen kann durch eine Linearkombination horizontaler und vertikaler
Polarisationen dargestellt werden.
Sind die Saitenenden starr, so ist die horizontale Polarisation unabhängig von der vertikalen
Polarisation. In diesem Fall wird für die horizontale Schwingungsebene eine eigene
Rückkopplungsschleife implementiert, die identisch ist mit der für die Simulation vertikaler
Wellen. Der kleine Grad der nichtlinearen Kopplung zwischen den horizontalen und
vertikalen Wanderwellen, der auftritt, wenn die Ortsableitung der Saitenauslenkung sehr viel
kleiner als Eins ist, wird vernachlässigt [Elmore&Heald, 1969]. In akustischen
Saiteninstrumenten ist allerdings keine schwingende Saite absolut starr eingespannt, da
eine solche Konstruktion den Klangkörper nicht zur Klangabstrahlung bringen würde 27 .
Hinzu kommt, daß vertikale und horizontale transversale Wellen unterschiedlich stark über
den Steg übertragen werden.
Die Brückenadmittanz eines Pianos zum Beispiel ist in vertikaler Richtung wesentlich
größer als in horizontaler Richtung, was die Horizontalkomponente langsamer abklingen
läßt, als die vertikale Schwingungskomponente. Dies erhöht die Energietransferrate der
vertikalen Schwingungsmoden der Saite auf den Steg [Weinreich, 1977]. Die hörbare
Konsequenz dieser ungleichen Abklingraten ist eine zweiphasige Amplitudenhüllkurve des
Ausklangbereiches eines Tones (two-stage decay, siehe Abb. 3.20). Das anfänglich
schnelle Abklingen gibt der gespielten Note einen starken Ansatz, während der langsame
späte Abfall den anhaltenden Nachklang unterstützt [Askenfelt, 1990; Kapitel Weinreich].
Die Kopplung der horizontalen und vertikalen Moden geschieht über den Steg. Das
natürliche Modell der über den Steg gekoppelten orthogonalen Polarisationen ist dasselbe,
wie das für zwei vertikale Polarisationen der Schwingungen auf zwei verschiedenen Saiten
(siehe Abschnitt 3.7).
27 Elektrische Gitarren mit magnetischen Tonabnehmern haben fast starre Saitenenden, aber selbst
in solche Fällen können Kopplungsphänomene beobachtet werden, besonders oberhalb der
sechsten Harmonischen [Smith, 2000].
Online-Version 1.0 60

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Abb. 3.20: Teilabbildung a) zeigt das typisches Abklingverhalten eines Klaviertones
(Eb3 = 311 Hz). Der Abklingprozeß wird in zwei Teile unterteilt: Der sogenannte
‚Attack‘ mit einem schnellen Abklingen (‚prompt sound‘) gefolgt von einem
anhaltenden Teil mit langsamem Abklingen (‚aftersound‘). In Teilabbildung b) sieht
man den Schalldruckpegelabfall des gleichen Tones wie in a) bei einer anderen Mikrofonposition.
Ein Vergleich mit a) läßt das Vorhandensein von zwei Klangkomponenten
erkennen, die durch die vertikalen und horizontalen Stegbewegungen abgestrahlt
werden. Die Schnittpunkte der Teilsteigungen beider Komponenten haben
die gleichen Schalldruckpegel; in diesem Bereich variiert der resultierende Schalldruck
stark mit der Mikrofonposition (Abb. aus [Weinreich, 1977])
3.6.1 Longitudinale Wellen
Zusätzlich zu transversalen Wellen sind auf einer schwingenden Saite auch longitudinale
Wellen vorhanden. Diese beinhalten die gesamte potentielle Energie der transversalen
Wellen und tragen den Impuls in Richtung der Ausbreitung der transversalen Wanderwellen
[Elmore&Heald, 1969]. Longitudinale Wellen in Saiten besitzen eine um Größenordnungen
höhere Ausbreitungsgeschwindigkeit, als transversale Wellen auf derselben Saite, die sich
auch bei Variation der Saitenspannung nur wenig ändert. Sie sind gegenüber den
longitudinalen Wellen verstimmt. Diesem Umstand müßte man in einer digitalen
Implementierung durch eine Verkürzung der Verzögerungszeiten in den jeweiligen
Rückkopplungsschleifen Rechnung tragen.
Longitudinale Wellen werden in der Violinenakustik häufig vernachlässigt, da ihre Kopplung
mit dem Korpus über den Steg sehr leistungsschwach ist. Beim Piano sind die
longitudinalen Wellen sogar hörbar [Askenfelt, 1990; Kapitel Conklin].
Online-Version 1.0
61

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
3.6.2 Torsionswellen
Geht man davon aus, daß die Saite eine endliche Ausdehnung (einen Radius a) hat, so
muß man einen weiteren Freiheitsgrad der Wellenpolarität berücksichtigen. Beim
Anstreichen einer Saite tritt die Reibungskraft des Bogens auf die Saite am Kontaktpunkt
zwischen Bogen und Saite auf. Die Kraft der Massenelemente der Saite wirkt aber auf die
Saitenachse, also auf den Massenmittelpunkt. Dadurch entsteht ein von der Kraft
abhängiges Drehmoment M, das einen Teil der Energie in Torsionswellen überführt (Abb.
3.21). Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit dieser Wellen ist - abhängig von Material und
Stärke der Saite - ungefähr um den Faktor vier größer als die der transversalen Wellen
[Schelleng, 1973]. Auch die Impedanz der Saite für Torsionswellen unterscheidet sich von
der transversaler Wellen.
Abb. 3.21: Darstellung des Querschnitts einer mit der Kraft F B angestrichenen
Violinensaite zur Veranschaulichung des Entstehungsprozesses des
zu Torsionsschwingungen führenden Drehmoments M.
Die Einbeziehung der Torsionswellen in das Instrumentenmodell erfordert eigentlich eine
Implementierung weiterer Verzögerungsleitungen, deren Verzögerungszeiten entsprechend
der größeren Wellenausbreitungsgeschwindigkeit kürzer sein müßten als die der
transversalen Verzögerungsleiter. Auch ihr Reflexionsverhalten unterscheidet sich; der
Reflexionsfilter im Torsionswellenleiter würde eine eigene Reflexionsfunktion
beanspruchen.
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die Torsionswellen als für den Klangverlauf
unwesentlich angenommen und vernachlässigt.
3.7 Die Kopplung mehrerer Saiten über den Steg
Alle Saiten eines Saiteninstrumentes (Gitarre, Violine, Piano usw.) sind über denselben
Steg an einen Resonanzkörper gekoppelt. Diese gemeinsame Verbindung führt zu einer
Kopplung der Saiten untereinander. Die Kopplung der Saiten über den Steg erzeugt eine
Online-Version 1.0 62

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Modulation der partialen Amplitudenhüllkurven und einen zweistufigen Ausklang (two-stage
decay, siehe Abb. 3.20) [Weinreich, 1977]. Physikalisch resultiert dies aus der Kopplung
zwischen der horizontalen und vertikalen Polarisation der Schwingungen innerhalb
derselben Saite und der Kopplung zwischen den verschiedenen Saiten des betreffenden
Instrumentes (siehe auch Abschnitt 3.6).
Die Bewegung des Steges, die aus der Saitenschwingung resultiert, erzeugt Wanderwellen
in allen anderen Saiten, die mit dem Steg in Verbindung stehen. Im einfachsten Fall der
Implementierung des Steges sind diese Wellen in allen angekoppelten Saiten identisch.
Eine einfache Simulation von gekoppelten Saiten erhält man durch Summation zweier oder
mehrerer leicht gegeneinander verstimmter Saiten-Implementierungen. Eine bessere
Simulation erreicht man nur durch einen Signalfluß zwischen allen gekoppelten Saiten.
3.7.1 Kopplung zweier Saiten
Abb. 3.23 zeigt die Kopplung zweier Saiten, implementiert als Verbindung zweier
Wellenleiter. Am Verbindungspunkt besitzt der durch die Saite bewegte Steg die
transversale ‚driving-point‘-Impedanz R b(s) (siehe auch Abschnitt 3.5.7); er stellt die
Verbindung zwischen den Saiten her.
Abb. 3.23: Darstellung zweier Saiten, die über eine gemeinsame Brückenimpedanz
miteinander verbunden sind (Abb. aus [Smith, 2000]).
Für eine direkte Ableitung muß man nur sicherstellen, daß die Saitengeschwindigkeiten an
den jeweiligen Endpunkten der Saiten identisch mit der Geschwindigkeit der Brücke sind
(v 1 = v 2 = v b) und daß die Summe der Kräfte beider Saiten der Gesamtkraft gleicht, die auf
die Brücke wirkt (f b = f 1 + f 2). Die Stegimpedanz steht in Beziehung zu Kraft und
Geschwindigkeit über die Relation F b(s) = R b(s)⋅V b(s). Transformiert man die
Wanderwellenvariablen in den Laplace-Raum, so erhält man
Online-Version 1.0
63

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oder
Rb b
Vb b
( s)
V ( s)
= F ( s)
= F ( s)
+ F ( s)
= [ F
+
1
= R [ V
( s)
+ F
( s)]
+ [ F
( s)
− ( V ( s)
− V ( s))]
+ R [ V
Online-Version 1.0 64
b
1
( s)
+ F
mit
wobei R i (i = 1,2) die Wellenimpedanz der i-ten Saite ist.
Um die Geschwindigkeit v b(t) des Steges in der Zeitebene zu ermitteln, werden die
eingehenden Geschwindigkeitswellen durch ihre jeweiligen Impedanzen skaliert, addiert
und entsprechend der Transferfunktion H b = 2 / (R b(s)+R 1+R 2) gefiltert 28 . Die ausgegebenen
Geschwindigkeitswanderwellen sind dann gegeben durch
+
1
( s)
= H ( s)[
R1V
1 ( s)
+ R2V2
+
Letztendlich wird von den eingehenden Geschwindigkeitswellen die
Brückengeschwindigkeit subtrahiert, um die ausgehenden Wellen zu erhalten. Die
Kopplung von mehr als zwei Saiten wird im Anhang A8 behandelt.
1
v
v
+
−
1
b
( s)]
−
1
−
2
2
+
2
+
1
( t)
= v ( t)
− v
b
( t)
= v ( t)
− v
b
( s)
− ( V ( s)
−V
( s))]
28
Da V2 - + + +
(s) = H b(s)R1V1 (s) = Hb(s)F1 (s) ist, wenn V1 (s) = 0 und umgekehrt bei Vertauschung der
Saiten 1 und 2, läßt sich Hb(s) als zur Brückenkopplung gehörigen Transmissions-Admittanzfilter
interpretieren oder als Brücken-Admittanz-Transferfunktion von jeder Saite, da der Ausgabewert die
Brückengeschwindigkeit ist, die aus der Summe der auftreffenden Kraftwanderwellen resultiert.
+
1
+
2
( t)
−
2
( t)
( s)]
2
+
2
b
+
2
2
H b(
s)
≡
R ( s)
+ R + R
b
1
2
( 3.
55)
( 3.
56)
(
3.
57)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
4. Analogien zu optischen Systemen
Nicht nur in der Elektronik und der Akustik ist die gezielte Wellenformgestaltung durch
Einflußnahme auf das Signalspektrum möglich. Auch in der Optik gibt es Möglichkeiten zur
Signalformgestaltung. Ein Beispiel hierfür ist das sogenannte ‚Puls Shaping‘.
4.1 Wellenformsynthese in der Optik durch ‚Puls Shaping‘ ultrakurzer Laserpulse
Neben den fortlaufenden Weiterentwicklungen zur Verkürzung von Laserpulsen in den
Pico- und Femtosekundenbereich ist es für viele Anwendungen interessant, die Pulse nicht
nur in ihrer zeitlichen Dauer, sondern auch in ihrem zeitlichen Intensitätsverlauf zu steuern.
Beim ‚Puls Shaping‘ handelt es sich um ein Verfahren, mit dessen Hilfe die
Intensitätshüllkurve von Ultrakurzzeit-Laserpulsen gezielt verformt werden kann. Hierzu
wurden in den letzten Jahren verschiedene Techniken entwickelt. Einige dieser Techniken
modulieren die Wellenform direkt im Zeitbereich [Haner&Warren, 1988], andere wenden
holographische Filterkonzepte an [Hill&Brady, 1993]. Die meistgenutzte Methode zur
gezielten Pulsverformung ist jedoch die passive Filterung eines Eingangspulses im
Frequenzraum [Weiner et.al., 1988; Heritage et.al., 1985; Emplit et.al., 1992]. Der
Versuchsaufbau einer möglichen Realisierung der gezielten Verformung der
Intensitätshüllkurve eines kurzen Laserpulses ist in Abb. 4.1 dargestellt und wird im
Folgenden beschrieben.
Abb. 4.1: Darstellung eines möglichen Versuchsaufbaus zur gezielten Formung
ultrakurzer Laserpulse mit Hilfe computergesteuerter passiver Frequenzfilter.
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65

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Ein ultrakurzer Laserpuls wird durch ein optisches Gitter in sein Spektrum zerlegt. Die
Strahlengänge der spektralen Anteile werden durch entsprechende Linsen parallelisiert und
durch ein optisches Filter geleitet, das z.B. aus einem computergesteuerten LC-Display
besteht. Mit Hilfe des Computers kann man im vorgestellten Fall nun spezielle Bereiche des
LCDs ‚schwärzen‘ und so bestimmte Spektralanteile um einen gewünschten Betrag
phasenverzögert passieren lassen. Nachdem das spektral aufgespaltene Licht den Filter
passiert hat, wird es wieder zu einem Strahl zusammengefügt. Der so entstandene
Ausgangsimpuls besitzt nun den nach Fourier zu erwartenden, von den
Phasenbeziehungen der Spektralanteile abhängigen, zeitlichen Intensitätsverlauf. Ein
Beispiel für den Intensitätsverlauf eines auf diese Weise verformten 80 fs TiSa Laserpulses
bei 770 nm ist in Abb. 4.2 zu sehen.
Abb. 4.2: Darstellung eines verformten ‚ungechirpten‘ 80 fs TiSa Laserpulses bei
770 nm. Die Pulsform wurde mit zeit- und wellenlängenkorrigierter Kreuz-Korrelationstechnik
gemessen. (Abb. aus [Wöste, 2001])
Der Bereich der möglichen Impulsprofile wird hauptsächlich durch die durch den
Eingangsimpuls vorgegebene spektrale Bandbreite, die Auflösung des benutzten Filters
und die Vorgabe der größten zu akzeptierenden zeitlichen Pulsverlängerung vorgegeben.
Eine mögliche Anwendung findet dieses Verfahren z.B. in der Femtochemie, die den Ablauf
chemischer Reaktionen in Zeitbereichen weniger Femtosekunden untersucht - der Zeitskala
weniger Atombewegungen [Kiefer et. al., 2000]. Hier erhoffen sich die Forscher unter
Verwendung der ‚Puls Shaping‘-Methode die Abläufe auf molekularer Ebene gezielt steuern
zu können, um eine effiziente Synthese chemischer Verbindungen unter gleichzeitiger
Reduzierung unerwünschter und eventuell schädlicher Nebenprodukte zu verwirklichen.
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5. Digitale Implementierung virtuell-elektronischer Schaltungen zur Simulation
mehrdimensionaler akustischer Systeme
Im Folgenden werden innerhalb der modularen Programmierumgebung ‚Reaktor‘ (Version
2.3) digitale Modelle der akustischen Musikinstrumente ‚Violine‘ und ‚Flöte‘ implementiert.
‚Reaktor‘ stellt signalgenerierende und –verarbeitende Module zur Verfügung, die die
Physik analoger elektronischer Schaltungen simulieren. Zur Erzeugung und Bearbeitung
der Klangsignale werden also die Eigenzustände virtuell-elektronischer Systeme genutzt.
Abschnitt 5.1 beschäftigt sich mit der Implementierung eines Wellenleitermodells zur
Simulation von Violinenklängen. In Abschnitt 5.2 werden drei unterschiedliche
Klangsynthesemethoden zur Generierung eines Flötenklanges gegenübergestellt (additive
Synthese, Synthese durch Frequenzmodulation, Wellenleitersynthese).
Abb. 5.1: Schematische Darstellung des in ‚Reaktor‘ implementierten
Wellenleitermodells einer Violine.
5.1 Implementierung des Wellenleitermodells einer Violine
In diesem Abschnitt wird ein Wellenleitermodell zur Erzeugung von Violinenklängen
konstruiert. Hierzu wird der Klangentstehungsprozeß innerhalb der Geige in einzelne
Bereiche unterteilt und diese unter idealisierten Bedingungen in der Programmierumgebung
‚Reaktor‘ als sogenannte ‚Makros' 29 implementiert. Die Makros werden dann nacheinander
zusammengefügt, um auf diese Weise eine schrittweise Annäherung an die realen
29 Makros fassen Funktionsblöcke zusammen, um eine hierarchische Struktur und damit einen
übersichtlichen Aufbau komplexer Strukturen zu ermöglichen. Die Makros beinhalten
Basisschaltungen, die das idealisierte physikalische Verhalten der Teilkomponenten des
Instrumentenmodells simulieren.
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67

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
physikalischen Prozesse zu erreichen. Eine schematische Darstellung der Grundstruktur
des konstruierten ‚Reaktor‘-Instrumentes findet sich in Abb. 5.1 Die theoretischen Grund-
lagen zu den implementierten Signalverarbeitungsalgorithmen finden sich in Kapitel 3.
5.1.1 Das Geigenmodell
Zur Funktionsweise und den Modellen der Klangentstehung bei der Violine verweise ich auf
[Cremer, 1984] und meine Studienarbeit [Hagenow, 2000], sowie auf die darin enthaltene
umfangreiche Literaturliste. Ein Modell zur Beschreibung einer gestrichenen Saite wurde
schon im 19. Jahrhundert von Hermann von Helmholtz entwickelt [Helmoltz, 1863]. 1918
formulierte Raman ein Modell für die Saite und ihre Wechselnwirkung mit dem
Geigenbogen, welches im wesentlichen für die Klangsynthese mit digitalen Wellenleitern
genutzt wird [Raman, 1918]. Eine kurze Zusammenfassung der Grundprinzipien der beiden
Geigenmodelle wird in Anhang A9 vorgestellt.
5.1.2 Die Implementierung des Modells der starr eingespannten Saite
In Abb. 5.2 ist das in ‚Reaktor‘ implementierte Modell einer eingespannten Saite, wie es in
Abschnitt 3.5.1 theoretisch beschrieben wurde, schematisch dargestellt. Die äußere
Anregung des Systems erfolgt vorerst durch die Einspeisung eines Impulses δ(n), der mit
Hilfe eines Impulsgeneratormoduls erzeugt wird.
Abb. 5.2: Schematische Darstellung der Implementierung des digitalen
bidirektionalen Wellenleitermodells. Die Position der Anregung auf der
Saite teilt diese in ein linkes und ein rechtes Saitensegment, die getrennt
voneinander modelliert werden. Als Anregung des Systems dient das Signal
eines digitalen Impulsgenerators.
Der Impuls entspricht der Anfangsgeschwindigkeit ∂y(x,t 0)/∂t beim Anzupfen der Saite. Um
die spitze Ecke der Saitenform abzuschwächen, wird dem Impulsgenerator ein Tiefpaßfilter
nachgeschaltet. Mit diesem läßt sich die Saite nun je nach Grenzfrequenz scharf (Plektrum)
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DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
oder sanft (Finger) anzupfen bzw. verschiedene Spieldynamiken simulieren (piano, forte
usw.).
In Abb. 5.3 ist das implementierte bidirektionale Wellenleitermodell detaillierter dargestellt.
Jedes Saitenelement wird durch zwei Verzögerungsleiter simuliert, wobei jeweils ein
Verzögerer für die Simulation der Teilstrecken vor und nach der invertierenden Reflexion an
den Saitenenden verantwortlich ist. Die Einzelverzögerungszeiten der
Verzögerungselemente, die die beiden Saitenelemente simulieren, entsprechen den
Laufzeiten des Impulses von der Anzupfstelle zum Steg bzw. zur Nut und wieder zurück.
Die Position β des zupfenden Fingers oder Plektrums auf der Saite kann durch die
Variation der Verzögerungszeiten t i +/- (i = 1,2) verändert werden (sieh Abb. 5.4). Dies hat
Einfluß auf den entstehenden Klang, da die Anzupfstelle zu den Randbedingungen gehört
und den Raum der möglichen Eingenzustände einschränkt: Am Ort der Anregung kann es
keine Schwingungsknoten geben. Teilwellen mit Knoten am Anregungspunkt und alle
Schwingungen, deren Frequenz einem natürlichen Vielfachen derselben entsprechen, sind
im Spektrum des enstehenden Tones nicht mehr vorhanden.
Bei der Variation der Anzupfstelle ist darauf zu achten, daß die Gesamtverzögerungszeit
konstant bleibt: t F = t 1 - + t2 - . Hierbei entspricht die Gesamtverzögerungszeit tF der halben
Periodendauer des entstehenden Tones. t 1,2 - sind die Einzelverzögerungszeiten der durch
die Anzupfstelle in zwei Bereiche aufgeteilten Saite. Die Indizes +/- entsprechen den
Laufrichtungen des Impulses auf der Saite, wobei ein Minus ‚aus der Anregung hinaus‘ und
ein Plus ‚in die Anregung hinein‘ bedeutet. Es gilt t 1 -/+ = t2 +/- . Die ‚Anregung‘ kann je nach
Vorgabe der Anregungsfunktion, ein Finger, ein Plektrum oder auch ein Geigenbogen sein.
Die Implementierung der Variation der Anregungsstelle wird in Abb. 5.4 veranschaulicht.
Durch die Wahl des Parameters β ∈ [0,1] werden die einzelnen Verzögerungszeiten t 1,2 -/+
der in Abb. 5.3 dargestellten Verzögerungselemente berechnet. ß läßt sich sowohl über
virtuelle Schieberegler variieren, als auch über extern an die MIDI 30 -Schnittstelle des
Computers angeschlossene Eingabegeräte.
Die beiden Reflexionsstellen (Nut, Steg) invertieren die Amplituden der Teilwellen und
absorbieren einen gewissen Energieanteil bei jeder Reflexion. Die Beträge der beiden
Absorptionsparameter α 1,2 ∈ [0,1] bestimmen die Abklingdauer des Tones. Sie sollten
immer kleiner als eins bleiben, um die Systemstabilität zu gewährleisten.
30 MIDI bedeutet ‚Musical Instrument Digital Interface‘ und ist der derzeitige Standard zur Steuerung
elektronischer Musikinstrumente.
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69

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Diese Nachbildung der Reflexionseigenschaften an der Nut und am Steg wurden idealisiert
dargestellt. Genauer ist eine frequenzabhängige Reflexion, die eine Impulsverbreiterung
bewirkt. Eine realistischere Behandlung des Reflexionsverhaltens der Geige ist Abschnitt
5.1.5 zu finden.
Abb. 5.3: Detaillierte schematische Darstellung der Wellenleiterimplementierung
- +
einer fest eingespannten Saite. Die Verzögerungszeit tF = t1,2 + t1,2 bestimmt die
Saitenlänge und somit die Tonhöhe des synthetisierten Signals. An den Saitenenden
wird das Signal invertiert reflektiert und erfährt eine Dämpfung α1,2 < 1. An der
Anregungsstelle ß = x/L wird ein Dirac-Impuls in das System eingespeist; ß beein+/flußt
die einzelnen Verzögerungszeiten t1,2 wie in Abb. 5.4 veranschaulicht.
Die Schaltung aus Abb. 5.3 läßt sich, vor allem zur einfachen Simulation angezupfter oder
angeschlagener Saiteninstrumente (Gitarre, Chembalo), auf die in Abb. 5.5 dargestellte
Anordnung reduzieren. Die Position des Plektrums wird dann durch die Einbindung eines
nachgeschalteten Kammfilters (siehe rechte Teilabbildung) simuliert. Durch die um t ß
verzögerte Rückführung des Klangsignals löschen sich alle Frequenzanteile aus, deren
Phasenverzögerung t ß der halben Wellenlänge entsprechen. Der mittlere Teil der Schaltung
ist als ‚Karplus-Strong‘-Algorithmus bekannt.
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Abb. 5.4: Dargestellt ist das in ‚Reaktor‘ implementierte Makro ‚[t→t1,2]‘, das aus
der zu einer bestimmten Saitenlänge gehörenden Verzögerungszeit t zwei über
die Beziehung t = t 1 + t 2 zusammenhängende Einzelverzögerungszeiten t 1 = (ß⋅t)
und t 2 = (1-ß)⋅t generiert. Durch Variation des Parameters ß (Schieberegler) simuliert
man eine Veränderung der Anregungsstelle der Saite.
Abb. 5.5: Dargestellt ist die reduzierte Schaltung aus Abb. 5.3. Die Anregung
erfolgt in diesem Falle durch einen Dirac-Impuls, der das Anzupfen der Saite
simuliert. Ein nachgeschalteter Tiefpaß simuliert die Abrundung der Zupfstelle
auf der Saite. Die Verzögerungszeit t F bestimmt die Tonhöhe des synthetisierten
Klanges. Die Reflexionskonstante α ist aufgrund der Zusammenfassung
der einzelnen Teilwellenleiter nicht mehr negativ; für die Systemstabilität muß
gelten α < 1; t ß bestimmt die Anregungsstelle auf der Saite, da alle um die halbe
Wellenlänge verzögerten Frequenzanteile ausgelöscht werden.
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Die Auskopplung der Saitenschwingung erfolgt jeweils ohne weitere Signalbewertung durch
einen virtuellen idealen Tonabnehmer, der ohne weiterfolgende Signalbeeinflussung sofort
zur Schallabstrahlung führt. Das gesamte System, das in Abb. 5.3 nur schematisch
dargestellt wird, ist in Abb. 5.6 nochmals so abgebildet, wie es in ‚Reaktor‘ implementiert
wurde. Abb. 5.7 zeigt die Implementierung des reduzierten Wellenleiters aus Abb. 5.5.
Die Ansteuerung des Modells erfolgt über ein Tastaturinstrument oder ein sonstiges
Eingabegerät (im Folgenden als ‚Masterkeyboard‘ bezeichnet), das über das
Datentransferprotokoll MIDI mit dem Computer kommuniziert. Wird eine Taste des
Keyboards gedrückt, übermittelt dieses MIDI-Signale an den MIDI-Eingang von ‚Reaktor‘.
Diese Signale beinhalten die Informationen über Tönhöhe, Anschlaggeschwindigkeit,
Haltedauer usw.. Innerhalb von Reaktor wird daraus mit dem ‚Gate‘-Modul ein Steuersignal
generiert. Dieses startet wiederum den Impulsgenerator, was einem Anzupfen der virtuellen
Saite gleichkommt. Die Tonhöhe des erzeugten Tones ist über die Saitenlänge L definiert,
die durch die Verzögerungszeit t F simuliert wird: f T = 1/t F. Für die Umrechnung der durch
den Spieler angeschlagenen Taste des Masterkeyboards in die entsprechende
Verzögerungszeit ist das Makro ‚[P->t]‘ verantwortlich (siehe Abschnitt 5.1.4).
Abb. 5.6: Implementierung des bidirektionalen Wellenleitermodells für eine
beidseitig eingespannte Saite der Länge 2L mit variabler Anregungsstelle ß.
Die einzelnen Makros werden in den entsprechenden Abschnitten näher beschrieben.
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Abb. 5.7: Implementierung des reduzierten Wellenleitermodells aus Abb. 5.5
für eine beidseitig eingespannte Saite der Länge L mit variabler Anregungsstelle
ß, simuliert durch einen einfachen Kammfilter.
5.1.3 Das Makro ‚Lagrange-Interpolat.‘
Prinzipiell erlauben digitale Signalverzögerer keine Verzögerungszeiten, die nicht ein
ganzzahliges Vielfaches des Samplingintervalls T s sind. Für einen Wellenleiter der Länge L
und eine zeitdiskrete Verzögerungsleitung der Länge N = L/X s = L⋅(T s⋅c) -1 sind mit
ganzzahligen Verzögerungen nur äquidistante Frequenzen f N möglich (L = λ/2, c = λ⋅f):
Die kleinsten Frequenzabstände f 0 = f N=1 werden durch die Größe des Samplingintervalls T s
bestimmt. Um diese Einschränkung zu umgehen, wurde das Makro ‚Lagrange-Interpolat.‘
konstruiert, das dem von Välimäki vorgestellten ‚Fractional Delay‘ entspricht [Välimäki,
1995; Välimäki&Laakso, 2000]. Das ‚Fractional Delay‘ approximiert die Samplewerte, die
durch einen zeitkontinuierlichen Signalverzögerer generiert werden würden, dessen Verzö-
gerungszeit also ein nicht-ganzzahliges Vielfaches der Samplingdauer T s wäre. Die
Transferfunktion der FIR-Filterapproximation eines ‚Fractional Delays‘ ist gegeben durch
wobei N die Filterordnung darstellt und h(n) die die Impulsantwort formenden reellen Filter-
koeffizienten sind. Für die Verzögerungszeit N Frac werden die Samplewerte
generiert, wobei für h(n) gilt:
Online-Version 1.0
f
x
N −1
1
( N,
Ts
) =
N ⋅T
H ( z)
=
app
( n)
=
h(
n)
=
N
∑
n=
0
N
∑
n=
0
N
∏
k = 0
k ≠n
73
s
h(
n)
⋅ z
− n
h(
n)
⋅ x(
n)
N Frac − k
n - k
( 5.
1)
( 5.
2)
( 5.
3)
(
5.
4)

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mit n = 0,1,2,...,N. Eine detaillierte Diskussion der ‚Fractional Delay‘-Approximation findet
sich in [Laakso et. al., 1996]. [Cain et.al., 1994] vergleicht vier verschiedene FIR-Filter zur
Erzeugung von ‚Fractional Delay‘.
Innerhalb des implementierten Wellenleiters wurde das Makro ‚Lagrange-Interpolat.‘
konstruiert, das einen FIR-Filter dritter Ordnung mit den Filterkoeffizienten
h(0) = -1/6 ⋅ (N Frac - 1) ⋅ ( N Frac - 2) ⋅ ( N Frac - 3)
h(1) = 1/2 ⋅ N Frac ⋅ ( N Frac - 2) ⋅ ( N Frac - 3)
h(2) = -1/2 ⋅ N Frac ⋅ ( N Frac - 1) ⋅ ( N Frac - 3)
h(3) = 1/6 ⋅ N Frac ⋅ ( N Frac - 1) ⋅ ( N Frac - 2)
enthält. Die im Tonhöhen-Makro ‚[P->t]‘ (siehe Abschnitt 5.1.4) generierte Verzögerungszeit
t wird hierfür mit Hilfe des Makros ‚Fraction-a-lator‘ in Samplewerte N umgerechnet und in
einen ganzzahligen Teil N Int und einen Restteil N Frac aufgeteilt: N = N Int + N Frac , wobei
N Frac ∈ [0,1]. Daraufhin werden die Samplewerte wieder in Zeitwerte umgerechnet. Der
ganzzahlige Teil t Int steuert die Verzögerungszeit des Wellenleiterverzögerers und der
Restteil t Frac wird in das Interpolationsmakro ‚Lagrange-Interpolat.‘ geleitet. Beide Makros
sind in Abb. 5.8 bzw. Abb. 5.9 dargestellt.
Da der quadratische Fehler bei der Interpolation durch ein Lagrange-Filter dritter Ordnung
im Bereich zwischen den Werten 1 und 2 am geringsten ist (siehe Abb. 5.11), wird zu t Frac
noch der Wert 1 addiert. Die Phasenverzögerung und der Betragsfrequenzgang des Inter-
polationsfilters (siehe Abb. 5.10) besitzen Tiefpaßcharakteristik und ergänzen somit die
Reflexionsfilter im Makro ‚Steg‘ (siehe Abschnitt 5.1.5). Der Betrag der Übertragungs-
funktion bleibt immer kleiner oder gleich Eins, so daß die Systemstabilität gewährleistet
bleibt.
Im bidirektionalen Wellenleiter mit Lagrange-Interpolation kommt es zu Frequenz-
schwankungen des erzeugten Klanges, wenn man den Bogenpositionsparameter ß variiert.
Dies ist auf die Ungenauigkeit der implementierten Interpolation zurückzuführen. Für jede
Position ß wird im Makro ‘Fraction-a-lator‘ ein neuer Wert für t Frac berechnet, was die
Frequenzabstände zwischen den Teiltönen verändert. Die Phasenlaufzeit und der
Betragsfrequenzgang des Lagrange-Interpolationsfilters ‚ Lagrange-Interpolat.‘ variiert mit
den Werten der fraktionalen Verzögerung (Abb. 5.10). Im Prinzip kann man ein solches
‚Fractional Delay‘ also auch zur Feinstimmung eines Wellenleiters benutzen.
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Abb.5.8: Aufbau der Makros ‚Fraction-a-lator‘ , ‚[P->t]‘ und ‚[t->t1,2]‘. Das Modell aus
Abb. 5.6 wird um die Makros ‚Fraction-a-lator‘ und ‚Lagrange-Interpolat.‘ erweitert,
dessen Aufbau in Abb. 5.9 dargestellt ist.
Abb.5.9: Aufbau des Makros ‚Lagrange-Interpolat.‘ Der ‚Frac‘-Eingang erhält
die fraktionalen Verzögerungswerte aus dem Makro ‚Fraction-a-lator‘, dessen
Aufbau in Abb. 5.8 dargestellt ist. Der Eingang ‚In‘ ist mit dem Signalausgang
eines der Verzögerungsmodule des Wellenleiters verbunden.
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Abb.5.10: Phasenverzögerung und Betragsfrequenzgang des implementierten
FIR-Filters dritter Ordnung zur linearen Interpolation von Verzögerungszeiten
zwischen zwei Abtastwerten (Lagrange-Interpolation) (Abb. aus [Rank, 1996]).
Abb.5.11: Quadratische Fehler von Lagrange-Interpolatoren der Ordnungen 1,
3 und 5 (Abb. aus [Välimäki, 1995])
5.1.4 Das Tonhöhen-Makro
Um das Saitenmodell über eine Keyboardtastatur oder ein sonstiges MIDI-Eingabegerät
ansteuern zu können, muß ein eintreffendes Notensignal in die entsprechenden
Steuerwerte umgesetzt werden. Im Falle des Wellenleiters benötigt man zur Festlegung der
Tonhöhe die entsprechenden Verzögerungszeiten für die klangerzeugenden
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rückgekoppelten Verzögerungsmodule. Zu diesem Zweck wurde das Tonhöhen-Makro ‚[P-
>t]‘ implementiert, das in Abb.5.12 schematisch dargestellt ist und dessen Position
innerhalb des Violinen-modells in Abb. 5.6 veranschaulicht wird.
Abb.5.12: Das Tonhöhen-Makro ‚[P→t]‘ wandelt die in Reaktor eingehenden
MIDI-NotePitch-Daten in die entsprechenden Verzögerungszeiten der im
Wellenleiter für die Tonhöhe verantwortlichen Signalverzögerungsmodule
um.
Das im Makro enthaltene NotePitch-Modul überträgt die Tonhöhenwerte der am MIDI-
Eingang eingehenden MIDI-Note-On Events. Ein Note-On Event setzt den Ausgang des
Moduls auf einen Wert zwischen 0 und 127, der der Notennummer der gedrückten
Masterkeyboard-Taste entspricht. Jede Notennummer entspricht in der MIDI-Norm einem
Halbtonschritt. Nach Art der wohltemperierten Stimmung entspricht dies einer
logarithmischen Skala der Form
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f
= 2
( P −69)
/ 12
⋅ 440Hz
bzw.
Das mittlere C besitzt den Wert P = 60, das A mit f = 440 Hz entspricht dann P = 69.
Die in das Tonhöhenmodul [P→t] eingehenden, logarithmisch skalierten Notennummern
werden mittels des Moduls [Exp] in lineare Daten umgerechnet und in den Nenner-Eingang
eines Teiler-Moduls geleitet, an dessen Zähler der konstante Wert 1000 anliegt. Dadurch
werden alle eingehenden NotePitch-Werte 31 P in die Zeitwerte t (in [ms]) umgerechnet.
5.1.5 Frequenzabhängige Dämpfung und Dispersion
Bei der Ausbreitung der Geschwindigkeitswelle auf der Saite und der Reflexion an den
eingespannten Saitenenden erfährt das Wanderwellensignal, wie in Abschnitt 3.2
31 Pitch-Daten sind innerhalb Reaktors Steuerdaten, die von den Audio-Daten zu unterscheiden sind
und an den Modulein- und -ausgängen mit einem ° gekennzeichnet werden.
77
f
log( )
P =
69 + 12⋅
440Hz
log( 2)

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beschrieben, frequenzabhängige Verluste und Verzögerungen (Dispersion). Um diese
Erscheinungen getrennt voneinander simulieren zu können, müßten digitale Filter
implementiert werden, die innerhalb der Modulbibliothek von ‚Reaktor‘ nicht zur Verfügung
stehen. Zur Simulation der frequenzabhängigen Dämpfung benötigt man einen
linearphasigen Tiefpaß, der nur als symmetrischer frequenzabhängiger FIR-Filter
realisierbar ist. Zur Nachbildung des Dispersionsverhaltens der Saite ist ein Allpaßfilter mit
frequenzabhängiger Verzögerung notwendig (IIR-Filter). Die zur Konstruktion solcher Filter
notwendigen Einheitsverzögerer waren in der Version 2.3 von ‚Reaktor‘ noch nicht
vorhanden. Erst kurz vor der Fertigstellung dieser Arbeit erschien die Version 3.0, die
Einheitsverzögerer-Module beinhaltet.
Die Dämpfungs- und Dispersionserscheinungen werden im vorliegenden Modell beide
durch einen Tiefpaß erster Ordnung im ‚Steg‘-Makro simuliert. Die Reflexion an der Nut wird
durch einen einfachen Multiplizierer realisiert, dessen Multiplikationsfaktor ‚Gain‘ im Bereich
[-0,900; -0,999] variiert werden kann. In Abb. 5.13 ist der Aufbau des Makros ‚Steg‘
dargestellt.
Abb.5.13: Schematische Darstellung des Makros ‚Steg‘. Der Tiefpaß simuliert
die Dämpfungs- und Dispersionserscheinungen, die bei der Wellenausbreitung
und den Reflexionen zu beobachten sind. Die über den Steg erfolgende Auskopplung
der Saitenschwingungen wird mit der im Untermakro ‚AusKplng‘ dargestellten
Schaltung realisiert (siehe Abschnitt 5.1.8).
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5.1.6 Die stetige äußere Anregung durch das Makro ‚Bogen‘
Um das bisher erstellte Saitenmodell dem einer gestrichenen Geige anzupassen, muß der
Anregungsmechanismus ausgetauscht werden. Anstelle des Impulsgenerators, der bisher
nur ein Anzupfen der Saite simulierte, wird ein sogenanntes ‚Geiger-Oszillator‘-Modul
implementiert, dessen Ausgangssignal aus einer Folge von Einzelimpulsen besteht, die in
zufälligen Abständen ausgelöst werden. Die durchschnittliche Rate der Impulsevents, also
die Impulsdichte, wird am ‚P‘-Eingang des Moduls eingestellt, der logarithmisch skaliert ist.
Die ‚Zufälligkeit‘ der zeitlichen Verteilung der Events wird am ‚Rnd‘-Eingang bestimmt,
wobei sich der Wert 0 mit ‚völlig zufällig‘ und der Wert 1 mit ‚völlig periodisch‘ b eschreiben
läßt.
Das Geiger-Modul befindet sich innerhalb des Makros ‚Bogen‘ im Untermakro ‚Anregung‘
(siehe Abb. 5.14). Die Anregung der Saite durch den Bogen kann man sich als
andauerndes, statistisch gleichverteiltes Anzupfen der Saite durch den stetigen
Reibungskontakt zwischen Saite und dem mit Kolophonium bestrichenen Bogen vorstellen.
Die Vorstellung von kleinen Haken auf den Bogenhaaren, die dieses Anzupfen
verursachen, veranschaulicht diesen Vorgang bildlich. Für die Simulation der Geige
betrachten wir die vom Geigeroszillator ausgegebene stochastische Impulsfolge als
statistisch gleichverteilte Aneinanderreihung von Geschwindigkeitsimpulsen.
Abb.5.14: Schematische Darstellung des Makros ‚Bogen‘ und der Untermakros
‚Bogenreflexion‘ und ‚Anregung Streich‘.
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79

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Mit Hilfe des Makros ‚Anregung’ wird eine Funktion generiert, die die Anregung durch den
Bogen ausreichend simuliert. Zur Zeit wird noch daran gearbeitet, die Bogenfunktion soweit
zu modellieren, daß sie gemäß dem Schelleng-Diagramm [Schelleng 1974] auf die
Variation der Bogennormalkraft f B durch den Spieler reagiert. Das Schelleng-Diagramm
stellt innerhalb des von den Parametern f B und ß aufgespannten Raumes den Bereich
graphisch dar, in dem es zur Entstehung eines stabilen Tones bei konstanter
Bogengeschwindigkeit v B kommt.
Eine teilweise Reflexion der Geschwindigkeitsimpulse am Bogen wird mit Hilfe des
Untermakros ‚Bogenreflexion‘ simuliert (siehe Abb. 5.14). Um das zeitvariable und von der
Bogennormalkraft abhängige Reflexionsverhalten am Bogen zufriedenstellend zu
implementieren, muß noch ein passendes digitales Filter konstruiert werden. Am besten
geeignet scheint die Konstruktion einer Streuverbindung (scattering junction), wie sie auch
bei der Simulation der Kopplungserscheinungen zur Anwendung kommt (siehe Abschnitt
3.7 und Anhang A6).
Da die Anregungstelle ß des Bogens auf der Saite nicht ohne Frequenzschwankungen
simuliert werden kann und daher eher als Feinstimmungs-Regler fungiert (siehe Abschnitt
5.1.3 ), wird dem Violinenmodel ein weiteres Makro hinzugefügt, das die spektralen
Veränderungen bei Variation der Anstrichstelle realisieren soll. Innerhalb dieses in Abb.5.1
dargestellten Makros ‘Anregungsstelle‘ befindet sich die auch in Abb. 5.7 verwirklichte
Schaltung, die die Bogenposition ß durch einen einfachen Kammfilter simuliert. Die
Steuerzeiten des Kammfilter-Verzögerungsmoduls werden auf den Bereich t ß ∈ [0;T/2]
eingeschränkt, wobei der Wert T/2 einer Anregung auf der Mitte der Saite entspricht.
5.1.7 Kopplungserscheinungen
Eine Kopplung zwischen den Schwingungsmoden der Saiten und den Saiten untereinander
mit Hilfe eines entsprechenden Kopplungsmatrix-Filters wurde noch nicht realisiert. Die
Gesamtauswirkung aller Kopplungserscheinungen auf den Klang wurde simuliert, indem
parallel zum bidirektionalen Wellenleiter zwei weitere Verzögerungsleitungen implementiert
wurden, die durch abweichende Verzögerungszeiten leicht gegen den Hauptwellenleiter
verstimmt wurden. Durch eine Variation der fraktionalen Verzögerungszeiten der beiden
Kopplungswellenleiter läßt sich eine subjektive Feinstimmung durchführen, bei der die
Teiltöne der drei Wellenleiteroszillatoren verschieden stark gegeneinander verstimmt
werden können.
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5.1.8 Das Resonanzsystem
Da der Klang einer Geige zum größten Teil vom Geigenkorpus bestimmt wird, muß ein
Resonanzsystem konstruiert werden, dessen Frequenzgang dem eines Geigenkorpus nahe
kommt. Für die Unterscheidung verschiedener Violinen anhand ihres Klanges sind u.a. die
Positionen und Formen ihrer Resonanzgebiete verantwortlich. Vor allem die beiden tiefsten
Resonanzen, die sogenannte Hohlraum- oder Helmholtzresonanz ‚A 0‘ (260-300 Hz), auch
Luftton genannt, und die erste Korpusresonanz ‚T 1‘ (440-570 Hz), die auch als Holzton
bezeichnet wird, charakterisieren den Klang einer Geige [Beldie, 1974; Cremer 1984]. Es
folgen die zweite und dritte Korpusresonanz C 3 und C 4 und ein schneller Anstieg im Bereich
1,3 - 3 kHz. Charakteristsich ist auch ein Minimum um 1,6 kHz und starke Schwankungen
zwischen 400 und 800 Hz. In Abb. 5.15 ist die Eingangs-Admittanzkurve einer auf der
Baßbalkenseite des Steges angeregten Guarneri Violine abgebildet.
Abb.5.15: Eingangs-Admittanz einer Guarneri-Violine, die für die Messung auf
der Baßbalkenseite des Steges angeregt wurde. Die Buchstaben über den Signalspitzen
bezeichnen die verschiedenen Hauptschwingungsmoden des Korpus
und werden im Text genauer erläutert (Abb. aus [Alonso&Jansson, 1982]).
Auf der Basis der Meßdaten von Beldie [Beldie, 1974] wurde ein Resonanzkörper
konstruiert, dessen Frequenzgang in Abb. 5.16 dargestellt ist.
Im vorliegenden Geigenmodell wird der Resonanzkörper als linearer Filter angesehen,
wobei die Stegkraft als Eingangsgröße und der Körperschall als Ausgangsgröße
angesehen wird, die den Audioausgängen von ‚Reaktor‘ zugeführt wird. Zur Konstruktion
des Resonanzkörpers in ‚Reaktor‘ wurde für jedes Resonanzgebiet ein ‚PeakEQ‘-Modul
implementiert und auf die jeweilige Mittenfrequenz, Güte und Verstärkung eingestellt. Die
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einzelnen ‚PeakEQ‘-Module wurden in Reihe geschaltet und befinden sich innerhalb des
Untermakros ‚Korpus‘; die Modulstruktur ist in Abb. 5.17 dargestellt.
Abb.5.16: Dargestellt ist der Frequenzgang des in Abb. 5.17 abgebildeten
Makros ‚Korpus‘. Für die Messung wurde das Ausgangssignal des Makros
mit Hilfe einer FFT analysiert. Als Eingangssignal wurde ein Sinuston verwendet,
der linear in der Frequenz im Bereich [20 Hz, 10 kHz] durchfahren
wurde.
Leider sind die in der Literatur aufgefundenen Daten nicht eindeutig, da die
Verstärkungsfaktoren der Resonanzfrequenzen nicht als Absolutwerte angegeben wurden
oder meist eine Beschriftung der Admittanz- oder Verstärkungsachse in der
Meßdatendarstellung fehlt. Daher mußten die zur Verfügung stehenden Admittanzkurven
von Hand ausgemessen werden um wenigstens die Relationen zwischen den
Korpusresonanzen bestimmen zu können. Eine genaue Positionierung der Resonanzen mit
vorausgehender Bestimmung der Mittenfrequenzen, Güten und Verstärkungsfaktoren ist für
einen realistischen Klangeindruck sehr wichtig. Ein zufriedenstellender Resonanzkörper ist
bisher noch nicht konstruiert worden – Arbeiten sind hierzu in Planung.
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Abb.5.17: Dargestellt ist die Modulstruktur des Makros ‚Korpus‘. Es besteht
aus einer großen Anzahl von in Reihe geschalteter ‚PeakEQ‘-Module, sowie
weiterer Frequenzfilter-Module, die die Eigenschaften des Geigenkorpus
nachbilden.
Abb.5.18: Signalflußdiagramm der Auskopplung der Geschwindigkeitsimpulse
über den Steg. Um das Ausgangssignal des Saitenmodells zu
erhalten, werden die Geschwindigkeitswellen der Saite in Kraftwellen
umgerechnet. Die Stegkraft wird erzeugt durch a) Subtraktion der Geschwindigkeitswellen
vor und nach der Reflexion am Steg mit nachfolgender
Skalierung durch den Wellenwiderstand Z = K/c (Realisierung
siehe Abb. 5.13) oder b) mit Hilfe eines Stegauskopplungs-Filters H Steg(z).
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Die Auskopplung der im Wellenleiter zirkulierenden Geschwindigkeitsimpulse auf den
Geigenkorpus erfolgt über den Steg. Die Signalübertragung über den Hals auf den Korpus
wird als gering angenommen und vernachlässigt. Die Kraft am Kontaktpunkt ‚Saite-Steg‘,
die durch die Geschwindigkeitsimpulse verursacht wird, kann durch Subtraktion der
reflektierten Welle von der am Steg eintreffenden Welle berechnet werden. Die Differenz
der Geschwindigkeitsimpulse wird durch Multiplikation mit dem Wellenwiderstand Z = K/c in
Kraftwellen umgerechnet. Dies wird im Untermakro ‚Auskopplung‘ innerhalb des Makros
‚Steg‘ realisiert, dessen Signalfluß in Abb. 5.18 a) schematisch dargestellt und in Abb. 5.13
in ‚Reaktor‘ implementiert abgebildet ist. Alternativ könnte man ein Auskopplungsfilter
H Steg(z) konstruieren, wie es in Abb. 5.13 b) veranschaulicht wird.
5.1.9 Zusammenfassende Betrachtung
Die hier vorgestellte digitale Modellierung eines Geigenmodells mit Hilfe der
Wellenleitersynthese führte zu zufriedenstellenden Ergebnissen. Die synthetisierten Töne
klingen noch sehr metallisch und obertonreich, jedoch deutlich nach einer angestrichenen
Saite. Hohe Oktaven lassen sich schlechter synthetisieren, als tiefere, was an den
Frequenz- und Phasengängen der benutzten Tiefpaßfilter erster Ordnung liegen dürfte, die
nach dem Erregerfunktionsgenerator im Makro ‚Bogen‘ und zur Nachbildung der
Impulsverbreiterung bei der Reflexion bzw. der Dämpfungs- und Dispersionseigenschaften
der Saite im Makro ‚Steg‘ implementiert wurden. Sie bilden die theoretisch erforderlichen
Frequenz- und Phasengänge der steifen Saite noch nicht optimal nach.
Da innerhalb ‚Reaktors‘ (Version 2.3) weder linearphasige FIR-Filter noch Allpaßfilter mit
frequenzabhängiger Verzögerung vorhanden sind, um die frequenzabhängige Dämpfung
bei der Reflexion an den Saitenenden getrennt von den Dispersionserscheinungen
simulieren zu können, ist eine Anpassung der jeweiligen Makros an die theoretisch
notwendigen Frequenz- und Phasengänge kaum zu realisieren. Das Fehlen eines
Einheitsverzögerer machte es bisher auch unmöglich, selbstständig FIR- und IIR-Filter zu
konstruieren, die ein solches Verhalten simulieren würden. Erst kurz vor Fertigstellung
dieser Arbeit wurde die Version 3.0 veröffenlicht, die Einheitsverzögerer bereitstellt, doch
reichte die Zeit vor der Fertigstellung dieser Arbeit nicht mehr aus, um eine
zufriedenstellende Lösung präsentieren zu können.
Zu beachten ist auch, daß die verschiedenen Oktaven auf einer realen Geige auf vier
unterschiedlichen Saiten gespielt werden. Im vorgestellten Modell wird jedoch jeder Ton auf
nur einer Saite generiert, deren Länge virtuell verändert wird. Diese Saite behält ihre
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voreingestellten klangbeeinflussenden Eigenschaften (Saitenspannung, Massendichte
usw.) und klingt daher nur in einem begrenzten Frequenzbereich einer angestrichenen
Saite sehr ähnlich.
Für ein realistischeres physikalisches Saitenmodell sollten mindestens drei gekoppelte
Wellenleitermodelle veranschlagt werden, die den horizontalen und transversalen
Wellenpolarisationen entsprechen (siehe auch Abschnitt 3.6). Zusätzlich könnten Torsions-
wellen berücksichtigt werden, die die Bogen-Saiten-Interaktion beeinflussen [McIntyre et al.,
1983]. Zieht man noch die Kopplung der Saiten untereinander in Betracht, steigt die Anzahl
der benötigten Wellenleiter auf bis zu 16.
Die Nachbildung der Korpusresonanzen durch in Reihe geschaltete parametrische
Equalizer ist ebenso noch zu verbessern. Eigene Messungen der einzelnen
Resonanzgebiete realer Violinen scheinen erforderlich. Die Nachbildung des
Frequenzganges des gesamten Korpusfilters scheint zwar im Groben mit den aus der
Literatur entnommenen Messungen übereinzustimmen, doch der erzeugte Klang erfüllt
noch nicht die Erwartungen.
Mit Hilfe der Integrierung der Samplingsynthese in das Wellenleitermodell könnte man
einen Violinenklang synthetisieren, ohne den Steg und den Geigenkorpus modellieren zu
müssen. Dies könnte geschehen, indem ein Samplermodul die zuvor gemessene und
gespeicherte Impulsantwort des Resonanzsystems ‚Geige‘ beim Eintreffen eines Impulses
am Makro ‚Steg‘ abspielt. J.O. Smith nennt diese Art der Synthese ‚Commuted Synthesis‘
[Smith, 2000_b]. Durch die Nutzung von gemessenen Impulsantworten des gesamten
Resonanzsystems ließen sich auf schnelle und einfache Art und Weise gute Ergebnisse
erzielen. Diese Methode ist allerdings keine Simulation eines physikalischen Modells und
besitzt nicht dessen umfangreiche Parametrisierung. Vor allem wäre der so erzeugte Klang
auf den speziellen Klang der zur Messung der Impulsantwort herangezogenen Geige
beschränkt und würde nur deren Reaktion bei Anregung eines Impulses an der zur
Messung erregten Stelle repräsentieren. Da bei Anfertigung dieser Arbeit keine Aufnahmen
von Geigen-Impulsantworten zur Verfügung standen, konnte diese Methode der
Klangerzeugung nicht implementiert werden.
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5.2 Implementierung verschiedener Modelle zur digitalen Synthese eines Flötentones
In diesem Abschnitt soll versucht werden, die komplexen Klangabstrahlungen des durch
äußere Anregung in Resonanz geratenden, mehrdimensionalen physikalischen Systems
einer Holzflöte zu synthetisieren. Hierzu werden verschiedene Synthesemethoden auf ihre
Effektivität hin untersucht. Zur Anwendung kommen die Methoden der additiven Synthese,
die FM-Synthese und die Wellenleitersynthese, die sich jeweils in Kapitel 2 beschrieben
finden.
5.2.1 Simulation eines Flötenklanges mit den Methoden der additiven Synthese
Die Theorie der additiven Synthese wird in Abschnitt 2.3.1 näher beschrieben. Im folgenden
kommt sie für die Simulation eines Flötentones zur Anwendung. Der zu resynthetisierende
Flötenton liegt als Klangdatei sus_c3_f.wav in der Auflösung (44,1 kHz; 16 Bit) vor; es
handelt sich hierbei um den anhaltend forte gespielten Ton c3 mit einer Dauer von ca. 3,2
Sekunden.
5.2.1.1 Die Analyse des realen Flötentones
Bevor der Ton mit den Mitteln der additiven Synthese rekonstruiert werden kann, muß seine
spektrale Zusammensetzung und dessen zeitlicher Verlauf ausreichend genau analysiert
werden.
Zur Analyse wurde das Programm ‚Cool Edit Pro‘ der Firma ‚Syntrillium‘ verwendet, das
eine Vielzahl von Analyse- und Signalverarbeitungsprozessen für Audiodateien bereitstellt.
Neben der Analyse und Bearbeitung von Klangdateien stellt das Programm auch einen
Mehrspurmodus zur Verfügung, der es ermöglicht, mehrere Klangdateien in parallelen
Spuren anzuordnen und gleichzeitig abzuspielen.
Die Analyse zur Bestimmung des zeitlich gemittelten Spektrums erfolgt durch eine FFT 32 .
Mit den FFT-Einstellungen [Hamming Window, 1024 pts] wurde für die Klangdatei
sus_c3_f.wav im quasistationären Klangbereich eine mittlere Frequenz von 262,23 Hz
bestimmt. Dies entspricht im Vergleich zur theoretischen Frequenz der Note c3 von
261,6256 Hz einem Unterschied von +3 Cents 33 . Weiterhin werden Spektogramme erstellt,
die den zeitlichen Verlauf des Klangspektrums darstellen und die aus sich überlappenden
32 FFT = Fast Fourier Transformation
33 Ein ‚Cent‘ enstpricht einem hundertstel Halbtonschritt.
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Kurzzeitspektren erstellt werden. In Abb. 5.19 ist die analysierte Klangdatei und ihr
spektraler zeitlicher Verlauf dargestellt.
Abb. 5.19: a) Darstellung der Wellenform des Flötenklanges sus_c3_f.wav. Aufgetragen
sind die Amplitude [Samplewerte] über die Zeit [s]. In Teilabbildung b) ist
der zeitliche Verlauf des Frequenzspektrums dargestellt. Hohe Amplitudenwerte
werden hier durch dunklere Farbwerte gekennzeichnet. Die äquidistanten Eigenzustände
(Obertöne) des schwingenden Systems sind gut zu erkennen. In Teilabbildung
c) ist das über den gesamten Zeitbereich gemittelte Frequenzspektrum des
Klanges dargestellt
Mittels des von ‚Cool Edit Pro‘ zur Verfügung gestellten FFT-Filters werden die einzelnen
Obertöne aus der Klangdatei isoliert und getrennt als neue Klangdateien abgespeichert
(GT: Grundton, n.OT: n-ter Oberton). Das FFT-Filter filtert ein beliebig wählbares
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Frequenzband vollständig aus einer Klangdatei heraus (Bandpaß). Der Vorgang wird in
Abb. 5.20 illustriert. Hierbei ist darauf zu achten, daß die Bandbreite nicht so eng gewählt
wird, daß der Algorithmus das Spektrum im interessierenden Frequenzbereich verfälscht.
Die Datei sus_c3_f.wav wurde unter Verwendung dieses Filters in zehn Einzeldateien
aufgespalten: Eine der Dateien enthält die Grundschwingung und acht weitere die Obertöne
1-8 (1.OT – 8.OT). Die letzte Klangdatei enthält die restlichen Obertöne und den residualen
Rest mit dem Rauschanteil des Klanges. Diese Teiltondateien wurden im Weiteren mittels
FFT einzeln analysiert, um die mittlere Grundfrequenz der Teiltöne und deren zeitliche
Amplituden- und Frequenzschwankungen zu bestimmen. Eine zusammenfassende
Darstellung findet sich in Abb. 5.21. Die aus der Analyse erhaltenen Dateien der einzelnen
Obertöne und ihre Abbildungen sind im Datenteil der beiliegenden CD im Verzeichnis
(./Analyse/Teiltöne/) zu finden.
Abb. 5.20: Darstellung des Filterungsprozesses zur Isolation der einzelnen Teiltöne
des Flötenklanges mit Hilfe eines schmalbandigen, digitalen Bandpaßfilters (FFT-
Filter) am Beispiel des zweiten Obertones. Die Einstellungen des Filterbandes in der
Abbildung entsprechen nicht dem Frequenzbereich des zweiten Obertones und dienen
nur zur Veranschaulichung des Filtervorganges.
Zur Bestimmung der Amplitudenhüllkurve wurden alle Schwingungsmaxima mittels eines
(Unixshell)-Programmes aus der Klangdatei isoliert. Hierbei wird jeder Samplewert A(n) zu
einem Maximum erklärt, dessen Betrag n folgende Bedingungen erfüllt: A(n) := Max, wenn
A(n-1) < A(n) > A(n+1). Die ermittelten Maxima bilden den Hüllkurvenverlauf der
analysierten Klangdatei und werden zur Konstruktion der Hüllkurve des additiven
Flötenmodells herangezogen.
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Die mittels FFT-Filter voneinander getrennten Teiltöne wurden als Mehrspur-Session ‚Flute
Sus c3f_splitted.ses‘ wieder zum Gesamtklang zusammengefügt. Durch Addition aller
Teiltöne läßt sich überprüfen, ob das Gesamtspektrum des Klanges durch den FFT-Filter
verändert wurde. Durch Stummschalten einzelner Obertöne kann man sich einen Eindruck
von der subjektiven ‚Wichtigkeit‘ der einzelnen Teiltöne verschaffen. Versuche ergaben,
daß sechs Teiltöne ausreichen, um den Klang einer Flöte zuzuschreiben.
Abb. 5.21: Ausschnitt aus der Mehrspursession ‚Flute Sus c3f_splitted.ses‘ mit
Darstellung des Grundtones (GT) und der ersten drei Obertöne (OT1-3) des
analysierten Flötenklanges. Im rechten Teil der Abbildung ist der Tonhöhenverlauf
des zweiten Obertones über die Zeit dargestellt. Man erkennt hier den Einfluß
der Kopplung von Anblasdruck, Amplitude und Frequenz und die Frequenzschwankungen
am Klangbeginn.
Vier der separierten Teiltöne sind in Abb. 5.21 als Mehrspursession dargestellt.
Der Zeitpunkt des Klangbeginns ist bei allen Dateien der gleiche, so daß die Teiltondateien
untereinander synchron bleiben und einen einheitlichen Zeitnullpunkt für die samplegenaue
Bestimmung der Hüllkurvenstützpunkte besitzen.
5.2.1.2 Implementierung einer ‚additiven Flöte‘ auf Basis der Analysedaten
Die ‚additive Flöte‘ besteht aus sieben verschiedenen Teilton-Makros, die jeweils für sich
die einzelnen Teiltöne (Grundton, Obertöne) und den Rauschanteil erzeugen und in ihrem
zeitlichen Frequenz- und Amplitudenverlauf steuern.
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5.2.1.2.1 Die Teilton-Makros
Die ‚additive Flöte‘ wird in sechs Teilton-Untermakros und ein Rauschgenerator-Makro
aufgeteilt, die jeweils aus einem Oszillator-Makro und einem Hüllkurven-Makro bestehen
(siehe Abb. 5.22). Das Oszillatormodul der sechs Teiltonmodule erzeugt ein in Frequenz
und Amplitude steuerbares Sinussignal, dessen Amplitudenwert vom Hüllkurvenmodul
bestimmt wird. Das Makro für die Erzeugung des Rauschanteils besitzt anstelle eines
Sinusgenerators ein Rauschgeneratormodul. Alle Teilton-Makros sind mit dem Steuermodul
‚Ansteuerung‘ verbunden, das die Daten des vom Instrumentalisten zu bedienenden
Instrumenten-kontrollers, wie etwa einem Masterkeyboard oder einem Windcontroller,
empfängt, bearbeitet und weiterleitet. Seine Struktur ist in Abb. 5.35 dargestellt und wird in
Abschnitt 5.2.1.2.9 beschrieben.
Abb. 5.22: Grundstruktur der Modells der ‚additiven Flöte‘. Das Modell besteht aus
sechs verschiedenen Untermodulen (GT und OT1-OT5), die jeweils einen Teilton
des Flötenklanges erzeugen (linke Modulreihe). Ein weiteres Untermodul erzeugt
tonales Rauschen zur Simulation der nichtlinearen Anblasgeräusche (Noiz). In den
Signalweg der einzelnen Teiltonmodule sind ‚Switch‘-Module geschaltet, die durch
eine Unterbrechung des Signalweges die Abschaltung einzelner Teiltöne gestatten
(rechte Modulreihe). Das Modul ‚Ansteuerung‘ sendet die eintreffenden Notenwerte
und Gatesignale und regelt den Datenaustausch der Teiltonmodule mit dem Eingabegerät
des Instrumentalisten.
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Abb. 5.23: Grundstruktur der Makros ‚OT2‘ als Beispiel für den prinzipiellen Aufbau der
in Abb. 5.22 dargestellten Teiltongeneratoren. ‚HK‘ generiert die Steuerwerte für die Amplitude
des im ‚Sine‘-Makro enthaltenen Sinusgenerators. ‚Modulator‘ und ‚SimpleMod‘
prägen der in ‚HK‘ generierten Hüllkurve statistische Schwankungen auf, deren Stärke
und zeitlicher Verlauf steuerbar sind. ‚FM-Ramp‘ steuert die Frequenzschwankungen
im Klangbeginn des Flötentones, um den Klang realistischer und lebendiger klingen zu
lassen. Das ‚Amp‘-Modul ist ein Verstärker, der die Gesamtsignalamplitude bestimmt.
Teilweise unterscheiden sich die verschiedenen Teilton-Makros im Detail voneinander, da
sie auf das in der Analyse bestimmte, individuelle Verhalten der Teiltöne angepaßt wurden.
Das Grundprinzip ist jedoch in allen Teilton-Makros das gleiche. Als Beispiel für die Struktur
eines Teilton-Makros ist in Abb. 5.23 die Grundstruktur des ‚OT2‘-Makros dargestellt, das
den Signalverlauf des zweiten Obertones des Flötenklanges simuliert.
5.2.1.2.2 Das Amplitudenhüllkurven-Makro ‚HK‘
Die Amplitudenhüllkurve der Teiltöne des analysierten Flötentones wird mittels Line-
Segment Approximation nachgebildet (siehe Abschnitt 2.3.1, Abb. 2.6). Die aus der Analyse
erhaltenen Amplitudenhüllkurven werden durch eine minimale Anzahl von stückweise
linearen Kurvensegmenten nachgebildet (siehe Abb. 5.24). Der Amplitudenverlauf des
jeweiligen Teiltons wurde in die drei Teilbereiche ‚Einschwingvorgang‘, ‚quasistationärer
Klangbereich‘ und ‚Ausklingen‘ unterteilt und getrennt voneinander nachgebildet. Da die
Anzahl der Stützstellen des benötigten Hüllkurvenmoduls die maximale Anzahl der
Stützstellen in den in ‚Reaktor‘ vorhandenen Hüllkurvenmodulen übersteigt, mußte zu
diesem Zweck ein erweitertes Hüllkurven-Makro konstruiert werden. Je nach Teilton waren
bis zu 15–stufige Hüllkurvengeneratoren notwendig, um den Amplitudenverlauf des
jeweiligen Teiltons nachzubilden. Vor allem der Hüllkurvenverlauf der für einen realistischen
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Klangeindruck wichtigen Einschwingphase 34 wurde entsprechend der Analysedaten
möglichst genau nachgebildet; hierfür wurden am meisten Hüllkurven-Stützstellen benötigt.
Abb. 5.24: Line-Segment-Approximation der Amplitudenhüllkurve des zweiten
Obertones aus dem Spektrum des analysierten Flötentons sus_c3_f.wav. Die
realistische Nachbildung des Einschwingvorgangs (0-300 ms) benötigt die meisten
Hüllkurvenstützstellen.
Die aus der Analyse erhaltenen Amplituden/Zeit-Paare (a n;t n) i wurden entsprechen der
Formeln
an
A m =
32768
auf die modulspezifischen Wertepaare (A m;t m) i umgerechnet. Hierbei steht der Index ‚n‘ für
die aus der digitalen Klangdatei entnommenen Amplituden- und Zeitwerte der Stützstellen
und ‚m‘ für die entsprechenden Steuerwerte der in Reaktor enthaltenen Hüllkurvenmodule.
Die Amplitudenauflösung der 16-Bit-Klangdateien erlaubt eine Unterscheidung von 32768
verschiedenen Amplitudenwerten in jeweils positiver oder negativer Auslenkung. Die
zeitliche Auflösung ist über die Samplingfrequenz F s = 44100 Hz festgelegt.
Die Grundstruktur des Hüllkurvenmakros ‚HK‘ zur Steuerung des Amplitudenverlaufs ist bei
allen Teiltonmodulen gleich: Drei Untermodule steuern jeweils die Hüllkurven der einzelnen
Klangphasen (Makros: ‚Einschwingen‘, ‚Sustain‘, ‚Release‘), wobei das Untermakro
‚Einschwingen‘ wiederum in zwei weitere Untermakros (‚Ramp1, ‚Ramp2‘) unterteilt ist.
Insgesamt beinhaltet das ‚HK‘-Makro drei verschiedene ‚Ramp–Env‘-Generatoren 35 , die in
34 Bei Flöten liegt die Dauer der Einschwingphase im zeitlichen Bereich von ca. 40 - 300 ms [Reuter,
1995].
35 ‚Ramp-Env‘: Mehrphasiges Hüllkurvengenerator-Modul.
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t
m
t n =
20⋅
log( )
[ ms]

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den einzelnen Untermakros ‚Einschwingen‘ und ‚Sustain‘ verteilt sind. Das ‚Release‘-
Untermakro steuert das Abklingverhalten nach dem Eintreffen eines Gate-Null Signals
mittels eines ‚AR-Env 36 ‘-Moduls . Verdeutlicht wird die beschriebene Modulstruktur in Abb
5.25.
Abb. 5.25: Grundstruktur der Hüllkurvenmakros ‚HK‘ zur Steuerung der Teiltonamplituden
des mittels additiver Synthese resynthetisierten Flötentons.
Die einzelnen Teilhüllkurven ‚Ramp1‘, ‚Ramp2- und ‚Sustain‘ unterscheiden sich zwar in
einigen Details, das Arbeitsprinzip ist jedoch bei allen das gleiche: Das zur Konstruktion der
Makros verwendete Hüllkurvenmodul ist ein meist 6-stufiger Rampengenerator mit linearen
Übergängen zwischen den einzelnen Stützstellen (Modul ‚6-Ramp-Env‘). Das Modul wird
durch ein Gate-Signal gestartet. Der Ausgabewert steigt während der ersten eingestellten
Zeit ‚T1‘ linear auf den ersten Pegel ‚L1‘, dann innerhalb der zweiten Zeit ‚T2‘ auf den Pegel
‚L2‘ usw.. Der fünfte Pegel ‚LS‘ ist der Sustain-Pegel, auf dessen Wert das Ausgabesignal
solange gehalten wird, bis ein Gate-Event mit Wert Null eintrifft, wonach der Ausgabewert
innerhalb der letzten Zeit ‚TR‘ linear auf Null abklingt.
36 ‚AR-Env‘ ist ein Hüllkurvengenerator mit Attack-Release Charakteristik. Ein eintreffendes Gate-
Signal löst die Hüllkurve aus, die dann innerhalb der Attack-Zeit (Eingang ‚A‘) auf den Wert des am
‚G‘-Eingang eingetroffenen Gate-Signals ansteigt. Dieser Wert bleibt am Signalausgang erhalten, bis
ein Gate-Null Signal am Eingang ‚G‘ eintrifft und den Ausgabewert innerhalb der an ‚R‘ anliegenden
‚Release-Zeit‘ exponentiell auf Null absinken läßt.
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Da die fünf Hüllkurvenstufen des von ‚Reaktor zur Verfügung gestellten ‚6-Ramp-Env‘-
Moduls nicht ausreichen, um den komplexen Amplitudenverlauf der Teiltöne nachzubilden,
mußte ein Makro erstellt werden, das die Steuerung von weit mehr als 5 Stützstellen
ermöglicht. Dies wird durch eine Hintereinanderschaltung von mehreren ‚Ramp-Env‘-
Hüllkurven erreicht. Die Schwierigkeit hierbei ist die samplegenaue Ablösung der einzelnen
nacheinander folgenden Rampengeneratoren untereinander, ohne daß im erzeugten
Steuersignal ein Sprung auftritt, die zu einem Knacken im synthetisierten Klang führen
würde. Die Funktionsweise dieses ‚HK‘-Makros und der Signalwertübergabe zwischen den
einzelnen Rampengeneratoren wird anhand der Implementierung zur Steuerung des
zweiten Obertones veranschaulicht. Die Modulstruktur ist in Abb. 5.26 dargestellt.
Das Makro ‚Ramp1‘ steuert die erste Hälfte des Einschwingvorgangs mittels des oben
beschriebenen ‚6-Ramp-Env‘-Moduls. Zeitgleich mit diesem Rampengenerator wird durch
das entsprechende Gate-Signal auch ein ‚H-Env‘-Modul 37 gestartet (in Abb. 5.26 wird
dieses Modul mit ‚LS-Rmp1/2 Hold‘ bezeichnet), das innerhalb der am ‚H‘-Eingang des ‚H-
Env‘-Moduls festgelegten Zeit nach Erreichen der ‚LS‘-Phase das Ausgangssignal des
‚Ramp1‘-Rampengenerators durch Deaktivierung eines ‚Relay‘-Moduls 38 abschaltet. Zum
gleichen Zeitpunkt, an dem das Ausgangssignal des ersten Hüllkurvenmoduls
abgeschnitten wird, startet das mittels Verzögerungsmodul (‚Delay‘, in Abb. 5.26 als ‚Start
Ramp2/3‘ bezeichnet) entsprechend lange zurückgehaltene Gate-Signal den
Rampgenerator im ‚Ramp2‘-Makro. Hierbei ist darauf zu achten, daß der zweite
Rampengenerator sofort nach dem Starten auf den Wert L1 springt, der dem Wert der ‚LS‘-
Phase aus dem im ‚Ramp1‘-Makro enthaltenen ersten Rampengenerator entsprechen muß.
Der Amplitudenverlauf darf keine Sprungstellen
37 Das ‚H-Env‘-Modul leitet den am ‚A‘-Eingang anliegenden Wert für die Dauer des am ‚H‘-Eingang
anliegenden Zeitwertes an den Ausgang weiter, sobald am ‚T‘-Eingang ein Audiosignal anliegt, das
sich von Null auf einen positiven Wert verändert.
38 Das ‚Relais‘-Modul schaltet die Weiterleitung des am ‚In‘-Eingang anliegenden Signals an den
Modulausgang ab, sobald am ‚Crtl‘-Eingang der Wert Null anliegt. Ein Wert größer als Null schaltet
den Eingang wieder auf den Ausgang.
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Abb. 5.26: Struktur der Untermakros ‚Einschwingen‘ und ‚Sustain‘ am Beispiel des
‚HK‘-Makros zur Steuerung der Amplitude des zweiten Obertons des resynthetisierten
Flötenklanges. Die Struktur des Makros ‚Release‘ findet sich in Abb. 5.25.
Abb. 5.27: Dargestellt sind durch falsche Abstimmung der Steuerzeiten der ‚H-Env‘und
‚Delay‘-Module entstehende Amplitudenfehler, die im Signalverlauf des angesteuerten
Sinusoszillators zu Unstetigkeiten und somit zu Knacksern im Klangbild
führen. Die Werte der Ablösezeiten müssen auf die Dauer eines Samplingintervalls
T s genau sein.
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enthalten, die durch sich unterscheidende Werte LS Ramp1 und L1 Ramp2 oder durch nicht
samplegenau aufeinander abgestimmte Ablösezeiten zwischen dem ‚H-Env‘-Modul aus
‚Ramp1‘ und dem ‚Delay‘-Modul aus ‚Ramp2‘ entstehen. Bricht z.B. das ‚H-Env‘-Modul den
ersten Rampengenerator zu schnell ab, springt das Steuersignal auf Null und die
Signalamplitude des angesteuerten Sinusoszillators wird sofort auf Null gesetzt. Startet
dann das im ‚Delay‘-Modul gehaltene Gate-Signal den zweiten Rampengenerator mit dem
Wert L1 Ramp2, so springt die Oszillatoramplitude unmittelbar auf diesen Wert und es entsteht
eine Unstetigkeit im Signalverlauf, was sich als knackendes Störgeräusch bemerkbar
macht. Die Steuerzeiten der beiden Module müssen exakt aufeinander abgestimmt sein.
Beispiele für sich ergebende Fehler im Signalverlauf des angesteuerten Sinusgenerators
sind in Abb. 5.27 zu finden.
Die Steuerwerte der TR-Phasen der beschriebenen Rampengeneratoren haben in diesen
Makros keine Funktionen und sollten sehr kurze Abklingzeiten zugewiesen bekommen.
Auf die Stützstellen der beiden Einschwinghüllkurven folgen die Stützstellen der
quasistationären Klangphase, die im Makro ‚Sustain‘ generiert werden. Dieser Teil des
Amplitudenverlaufs benötigt weniger Rampenpunkte als der Einschwingvorgang, so daß
hier ein einziger Rampengenerator ausreicht. Das ‚Sustain‘-Makro gleicht in Funktion und
Aufbau dem ‚Ramp2‘-Makro, die Verzögerungszeit des enthaltenen Delay-Moduls speichert
das Gate-Signal um die Dauer des Einschwingvorganges und startet erst dann die
Hüllkurve des letzten Rampengenerators.
Die Abklingphase des Tones wird eingeleitet, wenn das Eingabegerät des Spielers ein
Gate-Off Signal sendet, also z.B. beim Loslassen der Masterkeyboardtaste. Da das Gate-
Off Signal im Speicher des ‚Delay‘-Module verweilt und daher die Release-Phase des im
‚Sustain‘-Makro enthaltenen Hüllkurvenmoduls verspätet startet, muß ein weiteres Makro
konstruiert werden, das die Abklingphase des Tones generiert, sobald ein Gate-Off Signal
gesendet wird. Der Aufbau dieses ‚Release‘-Makros ist in Abb. 5.25 dargestellt. Es läßt sich
in einen unteren und einen oberen Signalweg unterteilen und besitzt zwei Signaleingänge:
einen Eingang für das Gate-Signal und einen für das Hüllkurvensignal aus den Makros
‚Einschwingen‘ und ‚Sustain‘. Das eintreffende Gatesignal wird in beide Signalwege geleitet.
Im unteren Signalweg wird es durch ein ‚Not‘-Modul geleitet, das das logische
Komplement 39 des eintreffenden Signals generiert. Hierauf folgt ein ‚H-Env‘-Modul, dessen
39 Der Ausgangswert des ‚Not‘-Moduls ist 0, wenn der Eingangswert positiv ist. Ansonsten ist der
Ausgangswert 1.
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Ausgang in ein ‚A to Gate‘-Modul 40 geleitet wird. Trifft am ‚Not‘-Modul nun ein Gate-Off 41
Signal ein, so gibt dieses den Wert 1 aus, welcher am Triggereingang des ‚H-Env‘-Moduls
die Hüllkurve auslöst, die kurz danach sofort wieder auf Null abfällt. Hierdurch wird die
Amplitude des am ‚In‘-Eingang eintreffenden Hüllkurvensignals, das in den ‚A‘-Eingang des
‚A to Gate‘-Moduls geleitet wird, gemessen und als Gate-Signal an den Triggereingang des
folgenden ‚AR-Env‘-Moduls 42 gesendet. Das Gate-Off Signal startet auf diese Weise die
Abkling-Hüllkurve (das ‚AR-Env‘-Modul) mit der Amplitude des zu diesem Zeitpunkt
aktuellen, am ‚In‘-Eingang anliegenden Hüllkurvenwertes.
Damit sich die am ‚In‘-Eingang eintreffenden Hüllkurvenwerte nicht mit den im ‚AR-Env‘-
Modul generierten Werten überlagern, wird der obere Signalweg über das ‚Relais‘-Modul
‚Attack On‘ abgeschaltet, sobald ein Gate-Off Signal gesendet wird. Gleichzeitig wird das
‚Relais‘-Modul ‚Release On‘ geöffnet, das während der ‚Einschwing‘- und ‚Sustain‘-Phasen
geschlossen bleibt. Das ‚Event-Delay‘-Modul im oberen Signalweg dient zur Verzögerung
des Gate-Signals um die Zeit, die die untere Modulreihe für die Verarbeitung und
Weiterleitung des modifizierten Gate-Signals benötigt.
Innerhalb der Sustainphase sollte das Hüllkurvensignal zur Steuerung der
Teiltonamplituden und die Modulationstiefe der Teiltonfrequenzmodulation mit den
Eingabeparametern zur Steuerung des Anblasdruckes verknüpft werden, damit der Spieler
des virtuellen Instru-mentes in dieser andauernden Klangphase ausreichend Einfluß auf
den Klang nehmen kann.
Nachteilig an der Kombination der Hüllkurvengeneratoren zur Erweiterung der Stützstellen-
anzahl ist, daß die Generierung kurzzeitig nacheinander gespielter Töne nicht möglich ist.
Da das Gate-Off Signal innerhalb der ‚Delay‘-Module gehalten wird, läuft die Hüllkurve um
die Dauer der eingestellten Verzögerungszeit weiter, bevor sie gestoppt wird. Wird eine
Hüllkurve erneut ausgelöst, solange das Gate-Off Signal nicht alle Hüllkurven gestoppt hat,
so wird das neu getriggerte Hüllkurvensignal zu dem noch ausgegebenen Signal addiert
und es kommt zu einem Amplitudensprung im Klangbeginn, was sich durch ein lautes
Knacken äußert (‚Gate-Off Problem‘).
40 Das ‚A to Gate‘-Modul ist ein Audio-zu-Gate-Konverter. Steigt ein Signal am ‚T‘-Eingang von Null
in positive Richtung, so gibt das Modul den am ‚A‘-Eingang anliegenden Wert als Gate-Impuls aus.
Bei Werten kleiner-gleich Null wird der Ausgang wieder abgeschaltet.
41 Ein Gate-Off Signal besitzt den Wert 0.
42 Das ‚AR-Env‘-Modul ist ein zweiphasiger Hüllkurvengenerator. Trifft ein Gatesignal mit Wert N am
‚G‘-Eingang ein, so steigt der Ausgabewert innerhalb der am ‚A‘-Eingang angegbenen Zeit von Null
auf den Wert N linear an. Das Ausgangssignal wird auf diesem Wert gehalten, bis ein Gate-Off
Signal (Gate Signal mit Amplitude 0) die Abklingphase auslöst, die in der am ‚R‘-Eingang
angegebenen Zeit den Ausgabewert des Moduls exponentiell auf Null abklingen läßt.
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5.2.1.2.3 Die stochastische Variation der Amplitudenhüllkurve
In realen Flötenklängen unterliegt die Signalamplitude chaotischen Schwankungen, die das
Klangbild lebendig machen und ohne die der Ton statisch und unnatürlich klingen würde.
Um ein solches stochastisches Verhalten zu simulieren, werden dem Hüllkurven-Makro ‚HK‘
weitere Makros nachgeschaltet, die die linearen Signalsegmente modulieren und ihnen in
vorgegebenen Grenzen ein stochastisches Verhalten aufprägen. Die Grenzen werden aus
den Analysedaten ermittelt.
Zuständig für diese statistischen Amplitudenschwankungen sind die Makros ‚Modulator‘ und
‚SimpleMod‘. Ihre Funktionsprinzipien werden im Folgenden beschrieben.
5.2.1.2.4 Das Makro ‚Modulator‘
Das Makro ‚Modulator‘ setzt sich aus einer Vielzahl von Untermakros zusammen, die hier
nicht bis ins Detail beschrieben werden sollen. Die Struktur des Makros ist in Abb. 5.28
dargestellt. Zum genauen Verständnis der Schaltung ist es von Vorteil, den Signalweg
rückwärts, also vom Ausgang zum Eingang, nachzuvollziehen.
Im Hauptfenster des Makros ‚Modulator‘ befindet sich das Untermakro ‚HK-Modulator‘ und
eine Schaltung, die es ermöglicht, auszuwählen, ob das vom ‚HK-Modulator‘-Makro
ausgegebene Signal das in den ‚In‘-Eingang eintreffende Hüllkurvensignal modulieren soll,
oder diesem hinzuaddiert wird.
Das Untermakro ‚HK-Modulator‘ unterteilt sich in die Makros ‚StochasticVari‘, ‚Deterministic‘
und ‚ModValue-HK‘. ‚StochasticVari‘ erzeugt mittels eines ‚Random‘-Moduls 43 ein
stufenförmiges Zufallssignal (Rauschen), dessen Ausgangssignal durch einen Tiefpaßfilter
abgerundet wird. Diesem wird das aus dem Makro ‚Deterministic‘ stammende Signal
hinzuaddiert. Dort erzeugt ein zeitabhängig frequenzmodulierter Sinusgenerator ein in der
Amplitude modulierbares Signal.
Der zeitliche Verlauf der Amplitude der in den Makros ‚StochasticVari‘ und ‚Deterministic‘
erzeugten quasistochastischen Signale wird durch das Makro ‚ModValue-HK‘ gesteuert.
43 Das ‚Random‘-Modul ist ein Zufallswert-Generator, der eine Stufenwellenform erzeugt, deren
Stufenhöhen gleichverteilt sind.
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Abb. 5.28: Detaillierte Darstellung des Makros ‚Modulator‘, das dem im Makro ‚HK‘
generierten Steuersignal ein in Grenzen einstellbares stochastisches Verhalten aufprägt.
Die Modultiefe nimmt von oben nach unten zu; ganz oben ist das Makro ‚OT2‘,
welches den zweiten Oberton generiert, dargestellt.
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5.2.1.2.5 Das Makro ‚SimpleMod‘
Das Makro ‚SimpleMod‘ erzeugt eine weitere Variation der eintreffenden Hüllkurvensignale.
Diese Modulation ist allerdings um einiges überschaubarer, als die im ‚Modulator‘-Makro
erzeugten Modulationen. Hier erfolgt nur eine einfache Addition des Eingangssignals mit
dem Signal eines synchronisierbaren Sinusgenerators, dessen Amplitude durch eine
Hüllkurve gesteuert wird. Synchronisierbar bedeutet in diesem Fall, daß die Phase der vom
Sinusgenerator ausgegebenen Sinusschwingung auf einen einstellbaren Wert gesetzt wird,
sobald ein Triggersignal am ‚Sync‘-Eingang des Generators anliegt. Die
Amplitudenhüllkurve wird im Makro ‚Ampl.-HK‘ generiert. Der Einsatzzeitpunkt kann mittels
des ‚Event Delay‘-Moduls ve rzögert werden. Die Modulstruktur ist in Abb. 5.29
veranschaulicht.
Abb. 5.29: Detaillierte Darstellung des Makros ‚SimpleMod‘. Es besteht aus einem
synchronisierbaren Sinusoszillator, dessen Amplitude durch eine Hüllkurve zeitlich
regelbar ist. Das Modul ‚Event Delay‘ ermöglicht ein verzögertes Einsetzen der Amplitudenhüllkurve.
5.2.1.2.6 Die erweiterte Line-Segment Approximation
Die im Makro ‚HK‘ erzeugte Hüllkurve der Teiltöne bildet den aus der Analyse bekannten
Amplitudenverlauf durch Line-Segment Approximation nach (siehe Abschnitt 2.3.2, Abb.
2.6). Durch die nachfolgende stochastische Variation der linearen Hüllkurvensegmente
mittels der Makros ‚Modulator‘ und ‚SimpleMod‘ erhält der Hüllkurvenverlauf die Komplexität
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der Teiltöne des originalen Flötentons. Die Steuerdaten dieser Module erhält man aus den
in der Analyse festgestellten maximalen und minimalen mittleren Abweichungen des realen
Amplitudenverlaufes von den approximierten linearen Verläufen. Die Line-Segment-
Hüllkurve dient demnach nur als statistischer Mittelwert. In Abb. 5.30 ist die
Originalhüllkurve der Teiltonamplitude des zweiten Obertones und der Verlauf der Line-
Segment Approximation mit bzw. ohne stochastischer Variation dargestellt. Die starken
Amplituden-schwankungen im quasistationären Klangbereich des Originalteiltons werden in
der Simulation durch eine Variation des Anblasdrucks mittels des vom Spieler bedienten
Eingabegerätes erzeugt. Hierzu muß nur der Sustain-Level im Hüllkurvenmakro ‚HK‘ an ein
Dateneingangsmodul gekoppelt werden, an das das Eingabegerät des Spielers (z.B.
Windcontroller oder Masterkeyboard) die jeweiligen Parameteränderungen sendet (z.B. die
MIDI-Daten ‚Channel Pressure‘ oder ‚PitchBend‘). Neben des Sustain-Levels kann
zusätzlich eine leichte Frequenzvariation an den Anblasdruck gekoppelt werden, da bei
Blasinstrumenten neben der Amplitude auch die Frequenz vom Anblasdruck abhängt
[Fletcher&Rossing, 1998], was man in Abb. 5.21 erkennen kann.
Abb. 5.30: Gegenüberstellung der Amplitudenhüllkurven des zweiten Obertones
des analysierten Flötenklanges: a) Originalamplitudenverlauf; b) Mittels
‚HK‘-Makro erzeugte Line-Segment Approximation; c) stochastisch variierte
Line-Segment Approximation durch Hinzunahme der Makros ‚Modulator‘
und ‚SimpleMod‘. Aufgetragen ist die Schwingungsamplitude [Samplewerte]
über die Zeit [s].
5.2.1.2.7 Das Teilton-Oszillatormakro ‚Sine‘
Die Oszillatoren der Teilton-Makros sind - bis auf die Ausnahme des Rauschgenerators -
durchgehend Sinusoszillatoren, deren Amplituden durch die oben beschriebenen
Hüllkurven-Makros gesteuert werden. Innerhalb der Teilton-Makros befinden sich die
Oszillatormodule in den Untermakros ‚Sine‘. Die Struktur eines solchen ‚Sine‘-Makros ist in
Abb. 5.31 dargestellt.
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Abb. 5.31: Darstellung der Modulstruktur des ‚Sine‘-Makros zur Erzeugung
der amplituden- und frequenzmodulierten Sinusschwingung eines Teiltones
zur Simulation eines Flötenklanges mittels additiver Synthese.
Der eingesetzte Sinusoszillator ist synchronisierbar und in seiner Phase variierbar. Die aus
der Analyse erhaltenen Phasenbeziehungen können so für jeden Teilton eingestellt werden.
An seinem ‚P‘-Eingang erhält das Oszillatormodul die Tonhöheninformation in Form von
MIDI-Notennummern, am ‚F‘-Eingang in Form einer Frequenzangabe in [Hz]. Die Signale
an den beiden Eingängen werden modulintern addiert. Das Frequenzverhältnis der
einzelnen Sinusoszillatoren zu den übrigen Teiltongeneratoren wird durch Addition
konstanter Werte zu den eintreffenden MIDI-Pitch-Werten erreicht. Ein Pitch-Wert von 1
entspricht hierbei einem Halbton, der Wert 12 also einer Oktave. Der Grundton stellt die
Basis für die Frequenzverhältnisse aller Teiltöne dar. Die einzelnen zu addierenden Werte
sind GT:0, OT1: 12, OT2: 19, OT3: 24, OT4: 28, OT5: 31. In der Analyse wurde festgestellt,
daß die Obertöne 4 und 5 gegenüber ihren theoretischen ganzzahligen Verhältnissen zur
Basis GT leicht verstimmt sind. Um diese Verstimmung auf die ‚Sine‘-Makros der beiden
Obertongeneratoren zu übertragen, wurden entsprechende Module implementiert, die in
Abb. 5.32 dargestellt sind.
Abb. 5.32: Abwandlung der Struktur des makros ‚Sine‘ zur Erzeugung der in
der Analyse festgestellten leichten Verstimmung der Obertöne OT4 und OT5
in Bezug auf ihr theoretisch ganzzahliges Verhältnis zur Grundtonhöhe. Die
dargestellte Schaltung ermöglicht über den ‚Cent‘-Regler die Einstellung der
prozentualen Abweichung des ‚P‘-Steuerwertes von der gespielten Tonhöhe.
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5.2.1.2.8 Das Makro ‚FM-Ramp‘
Die Simulation des Frequenzverlaufes während des Einschwingvorganges des Flötentones
ist sehr einfach gehalten und orientiert sich an den Messungen des Frequenzverlaufes der
Teiltöne, wie sie für den zweiten Oberton im rechten Teil von Abb. 5.21 als Beispiel
dargestellt ist. Dort erkennt man zum Klangbeginn eine kurzzeitige Überhöhung des
Frequenzverlaufes. Die Simulation dieses Verhaltens wird erreicht, indem den
Frequenzeingängen ‚F‘ der Teiltongeneratoren sofort nach dem Klangbeginn eine schnell
abfallende Wertefolge zugeführt wird, die durch ein ‚D-Env‘-Hüllkurvenmodul 44 generiert
wird und deren Abfallzeiten individuell auf die jeweiligen Teiltöne angepaßt werden können.
Hierbei ist darauf zu achten, daß das Tonhöhenänderungs-empfinden des menschlichen
Gehörs 45 nicht dem Betrag der Frequenzänderung, sondern dem Änderungsverhältnis
proportional ist. Die Abweichungen werden in Prozentanteilen von der Grundtonhöhe
eingegeben. Diese Simulation ist stark vereinfacht und soll nur den subjektiven
Klangeindruck des beobachteten Teiltonverhaltens nachbilden.
Der in Abb. 5.34 dargestellte direkte Vergleich zwischen dem Original und dem
synthetisierten Grundton verschafft einen Eindruck über die erzielbare Genauigkeit der
Frequenz- und Amplitudenmodulation des Teilton-Sinussignals.
Abb. 5.33: Darstellung der Modulstruktur des Makros ‚FM-Ramp.
44 Das ‚D-Env‘-Modul ist ein Hüllkurvengenerator mit Decay-Charakteristik. Die Hüllkurve wird durch
ein positives Signal am ‚T‘-Eingang ausgelöst und startet mit dem am ‚A‘-Eingang anliegenden
Signalwert. Dieser Wert fällt dann mit der am ‚D‘-Eingang eingestellten Zeit exponentiell auf Null ab.
45 Die physiologische Einschwingzeit des Ohres beträgt ca. 0,25 ms. Im Frequenzbereich zwischen 1
und 4 kHz ist bereits eine Änderung der Tonhöhe um 2% bei unmittelbar aufeinanderfolgendem
Vergleich wahrnehmbar [Weber, 1994].
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Original
Nachbildung
Original
Nachbildung
Abb. 5.34: Vergleich des originalen und des synthetisierten Amplitudenverlaufes des
Grundtones des analysierten Flötenklanges.
5.2.1.2.9 Das Dateneingabemakro ‚Ansteuerung‘
Das Makro ‚ Ansteuerung ‘ stellt die Verbindung zwischen dem vom Instrumentenspieler
bedienten Eingabegerät und der angesteuerten virtuellen ‚additiven Flöte‘ her und
ermöglicht die gezielte Variation des synthetisierten Klangbildes. Die wichtigste Information,
die dieses Makro generiert, ist der MIDI-Pitch-Wert, mit dem die Information der vom
Eingabegerät gesendeten Grundtonhöhe (Pitch) an die einzelnen Teiltongeneratoren
übermittelt wird. Da dieser MIDI Pitch-Wert von den meisten Eingabegeräten allerdings als
konstanter Wert gesendet wird, die Tonhöhe bei Blasinstrumenten aber nie über längere
Zeiten konstant bleibt, wird der gesendeten Pitch-Wert mittels des Makros ‚FM‘ innerhalb
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der in der Analyse bestimmten Grenzen variiert. Der Gesamteinfluß dieser Variation kann
über den ‚Cent‘-Regler eingestellt werden. In Abb. 5.35 ist die Struktur des Makros
‚Ansteuerung‘ dargestellt.
Abb. 5.35: Darstellung der Modulstruktur des Makros ‚Ansteuerung‘.
Die erste Frequenzvariationsmöglichkeit innerhalb des Makros ‚FM‘ ist durch eine Kopplung
des Eingabeparameters ‚Chan.AT‘ gegeben. ‚Chan.AT‘ bedeutet ‚Channel Aftertouch‘ und
ist ein in der MIDI-Norm enthaltener 128-stufiger Parameter 46 , der von den meisten
Masterkeyboards gesendet wird, wenn man Druck auf eine schon gehaltene Taste ausübt.
Durch die Variation der Druckstärke kann man auf diese Weise die ‚Sustain‘-Phase des
Klanges beeinflussen.
Die zweite implementierte Form der Frequenzvariation innerhalb des ‚FM‘-Makros wird im
Untermakro ‚TH-Vari‘ generiert. Dessen Anteil an der Gesamtvariation ist über den Regler
‚StchVar‘ regelbar. Innerhalb dieses Untermakros sendet eine durch ein Zufallssignal
getriggerte ‚AR-Env‘-Hüllkurve ein kurzeitig ansteigendes und sofort wieder abfallendes
Ausgangssignal, das die durch den Spieler unkontrolliert verursachte und scheinbar zufällig
auftretende Frequenzvariation aufgrund des nicht konstanten Anblasdruckes simulieren
46 Prinzipiell ist es möglich, alle in der MIDI-Norm enthaltenen Steuerparameter innerhalb der Makros
zu verarbeiten und zur Klanggestaltung via Steuergerät zu benutzen.
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soll. Desweiteren wird als dritte Variationsmöglichkeit ein ‚LFO‘-Modul 47 implementiert, das
bei Aktivierung ein in Frequenz und Amplitude einstellbares Vibrato erzeugt.
5.2.1.2.10 Das Rauschgenerator-Makro ‚Noiz‘
Der am schwierigsten zu simulierende Klangbereich des Flötentones ist der stochastische
Klanganteil. Da Rauschanteile zwischen den einzelnen Obertönen auftreten und mit den zur
Verfügung stehenden Analysemethoden nur schwer zu messen waren, wurde die
Implementierung des Rauschanteils im Flötenklang nur sekundär behandelt. Ein weiterer
Grund für die Implementierung eines einfachen Rauschgenerators war die begrenzte
Rechnerleistung des zur Verfügung stehenden Computers. Um die in der Analyse
festgestellte Tonalität des Rauschens zu simulieren, müßte man mindestens so viele
Bandpaßfilter implementieren, wie Teiltongeneratoren vorhanden sind. Aus Zeitgründen
wurde sowohl auf die genaue Analyse, als auch auf die realistische Resynthese dieses
Klangbereichs verzichtet. Mit einer Erweiterung durch mehrere parallelgeschaltete
Bandpaßfilter ließe sich ein tonales Rauschen generieren, welches einen realistischeren
Klangeindruck erzeugen würde.
Das Makro ‚Noiz‘ erzeugt den Rauschanteil des Flötenklanges. Es besteht aus einem
hüllkurvengesteuerten Rauschgenerator, der ein Weißes Rauschen erzeugt. Das Rauschen
läßt sich mittels des im Hüllkurvenmakro ‚Ampl.-HK‘ enthaltenen ‚Event Delay‘-Moduls im
Einsatzzeitpunkt gegenüber dem Tonbeginn der Teiltongeneratoren verzögern. Es wird
dann durch das Makro ‚allpole‘ geleitet, innerhalb dessen es mittels Bandpaßfilter auf ein
enges Frequenzband (Q=0,99) reduziert wird. Die Mittenfrequenz des Bandpaßfilters
verschiebt sich durch die Verknüpfung des ‚P‘-Eingangs des Filters und dem ‚NotePitch‘-
Modul mit der durch das Eingabegerät bestimmten Grundfrequenz. Die beschriebene
Modulstruktur findet sich in Abb. 5.36.
47 ‚LFO‘ bedeutet Low Frequency Oscillator. Ein ‚LFO‘-Modul ist ein Funktionsgenerator, dessen
Signalfrequenz unterhalb des hörbaren Bereichs, also unterhalb von 20 Hz, liegt.
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Abb. 5.36: Darstellung der Modulstruktur des Rauschgenerator-Makros ‚Noiz‘.
5.2.1.2.11 Ansteuerung und Spielbarkeit
Das implementierte additive Modell der Flöte soll von einem Instrumentalisten über ein
entsprechendes Dateneingabegerät (Tastatur, Blasdruckwandler, etc.) ausdrucksstark
spielbar sein. Aufgrund der mit der Anzahl der implementierten Obertöne schnell
anwachsenden Größe des ‚Reaktor‘-Instrumentes ist das generierte Modell schwer zu
überschauen. Einfache, vom Spieler ausgeführte Eingabeparameteränderungen sollten
vom Modell schnell in die entsprechenden Klanparameteränderungen überführbar sein. So
sollte die Erhöhung des Anblasdrucks sowohl die Lautstärke, als auch die Frequenz und
das Amplitudenverhältnis der einzelnen Obertöne beeinflussen. Die Hüllkurvenstützstellen
müßten - vor allem in der ‚Sustain‘-Phase - auf die Eingabegrößen reagieren. Zudem
unterscheiden sich die Einschwingvorgänge realer Flötentöne bei unterschiedlicher
Spieldynamik. Auch dieses Verhalten müßte noch durch eine entsprechende Steuerung der
hierfür verantwortlichen Parameter simuliert werden.
Zur Realisierung eines solchen Verhaltens müßten nichtlineare Steuerfunktionen
implementiert werden, die auf die Eingabegrößen des Spielerinterfaces reagieren und die
Steuerdaten der Hüllkurven für Amplitude und Frequenz so verändern, daß die
Ausgabewerte mit den zu den Messungen passenden Daten übereinstimmen.
Aufgrund der kompliziert konstruierten Hüllkurvensteuerung (‚Gate-Off Problem‘, siehe
Abschnitt 6.1.2.1.1) ist eine Simulation des Klangverhaltens bei aufeinanderfolgend
gespielten Tönen, so wie es im Kontext eines Musikstückes der Fall ist (verändertes
Einschwingverhalten usw.), nicht möglich.
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5.2.1.2.12 Zusammenfassende Betrachtungen
Es ist zu bedenken, daß es sich bei der analysierten Klangdatei um die Aufnahme eines
einzigen Tones einer bestimmten Flöte handelt, die von einem bestimmten
Instrumentalisten mit bestimmter Dynamik gespielt wurde. Der Spieler hat also das
Spektrum des durch Anblasen der Flöte entstehenden Tones durch die Wahl bestimmter
Spielparameter entscheidend mitbestimmt. Das vorliegende additive Modell bildet nur
diesen einzigen Zustand nach. Eine Variation der Spielparameter (Tonhöhe, Blasdruck
usw.) verändert das Spektrum des entstehenden Tones. Eine realistische Nachbildung
erfordert eine weitere Analyse des entstandenen Tones und eine Anpassung der in den
Teiltongeneratoren erzeugten Einzelamplitudenverläufe. Eine Analyse ‚von Hand‘ ist zu
ungenau und arbeitsaufwendig. Die Methode der additiven Synthese ist zur Simulation
einer Flöte nur geeignet, wenn die Analyse- und die Resyntheseprozesse automatisiert
werden, so wie es in den im Abschnitt 2.3.1 bzw. 2.3.2 genannten Instituten bereits
verwirklicht wurde.
Die physikalischen Prozesse, die zu dem Obertonverhalten führen, sind aus dem
beobachteten zeitlichen Verhalten derselben nicht ersichtlich. Da hier nicht das
physikalische System selbst, sondern nur die Auswirkungen von Veränderungen am
System auf das ausgegebene Signal simuliert werden, ist es schwer, die Verhaltenmuster
der Klang-parameter im zeitlichen Obertonverhalten zu entdecken oder beobachtete Muster
bestimmten Parametern zuzuschreiben, um diese im Modell zu implementieren.
Es läßt sich kein nutzbares Instrumentenmodell erstellen, das die übersichtliche Steuerung
der Klangparameter durch den Instrumentalisten ermöglicht. Eine Verknüpfung der
Steuerparametervariationen des Eingabegerätes mit den Klangeigenschaften des
simulierten Instruments und die darauf zurückzuführenden Auswirkungen auf die einzelnen
Teiltöne des synthetisierten Klanges läßt sich mit den von ‚Reaktor‘ zur Verfügung
gestellten Modulen nur sehr umständlich realisieren.
5.2.2 Generierung eines Flötenklanges mit den Methoden der FM-Synthese
Im Folgenden wird ein Modell zur Erzeugung eines Flötenklanges mit zeitvariabel
frequenzmodulierten Sinusschwingungen vorgestellt. Die Theorie der Wellenformsynthese
durch Frequenzmodulation (FM-Synthese) wird in Abschnitt 2.2.1 näher beschrieben.
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5.2.2.1 Die Modulstruktur des FM-Modells zur Erzeugung eines Flötenklanges
Die Grundstruktur des vorgestellten FM-Instruments ist in Abb. 5.37 dargestellt. Das FM-
Modell wird in Träger- und Modulator-Makros aufgeteilt. In Abb. 5.37 ist der Träger der
tonerzeugende ‚Master‘-Oszillator. Der Modulator läßt sich in die fünf frequenzmodu-
lierenden ‚Slave‘-Oszillatoren unterteilen. Hierbei haben die ‚Slave‘-Oszillatoren 1, 2 und 4
die Aufgabe, die Frequenz des Master-Oszillators zu modulieren. Ihre Ausgangswerte
werden addiert und dem ‚F‘-Eingang des Sinusoszillatormoduls im ‚Master Osc.‘-Makro
zugeführt. Die ‚Slave‘-Oszillatoren 3 und 5 modulieren wiederum die Oszillatoren 2 und 4.
‚Slave‘-Oszillator 5 besitzt eine Feedback-Schaltung und moduliert sich selbst.
Abb. 5.37: Darstellung der Grundstruktur des FM-Modells zur Erzeugung eines
Flötenklanges. Die Frequenz des Master-Oszillators wird durch die Summe der
Ausgangssignale von drei Slave-Oszillatoren (Osc.1,2 & 4) gesteuert. Zwei weitere
Oszillatoren (Osc. 3 & 5) modulieren wiederum die Frequenzen der Slave-
Oszillatoren. Alle Oszillatoren besitzen eigene Amplitudenhüllkurven. Auf diese
Weise wird ein zeitvariantes Spektrum erzeugt.
In Abb. 5.38 ist die beschriebene, in ‚Reaktor‘ implementierte Schaltung abgebildet. Jedes
Oszillator-Makro besitzt zur Steuerung seiner Signalamplitude ein ‚4-Ramp‘-Hüll-
kurvenmodul. Dem Signal des ‚Master‘-Oszillators wird ein Rauschsignal hinzugefügt.
Dieses wird im Makro ‚Rausch‘ generiert und durch eine ‚D-Env‘-Hüllkurve zeitlich auf den
Bereich des Einschwingens beschränkt, um das Anblasgeräusch realistischer zu gestalten.
Prinzipiell sind alle fünf ‚Slave‘-Oszillator-Makros gleich aufgebaut; als Beispiel ist die
Struktur des ‚Slave‘-Oszillators 1 dargestellt.
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Abb. 5.38: Darstellung der Grundstruktur des in ‚Reaktor‘ implementierten FM-Modells
zur Erzeugung eines Flötenklanges. Als Beispiel für den prinzipiellen Aufbau
der Slave-Oszillatoren ist die Struktur des Makros ‚Slave Osc.1‘ abgebildet.
Durch eine zeitliche Variation der Modulationsindizes der ‚Slave‘-Oszillatoren über ihre
Hüllkurvenmakros läßt sich das Frequenzspektrum des entstehenden Klanges zeitlich
steuern und dessen Obertonverhalten festlegen. Ein gezieltes Vorgehen zur Erzeugung
eines speziellen Klangverlaufes ist aber – wie bereits aufgezeigt – weitgehend unmöglich
(siehe Abschnitt 2.2.1). Der Aufbau und die Parameter-Einstellungen des vorgestellten
Modells entstanden daher mehr durch Versuch und Irrtum als durch die Anlehnung an die
Analysedaten aus Abschnitt 5.2.1.1. Die Erfahrungen mit dem Klangspektrum einer Flöte
aus dem Konstruktionsprozeß der ‚additiven Flöte‘ (siehe Abschnitt 5.2.1.2) erleichterten die
Klanggestaltung jedoch erheblich.
Großen Wert wurde auf eine realistische Nachbildung des Anblasgeräusches gelegt, was
duch die kurzzeitige Modulation der Masterfrequenz von ‚Slave‘-Oszillator 2 und 3 realisiert
wurde. Das Spektrums eines mit dem beschriebenen Modell erzeugten Flötentones wird in
Abb. 5.39 mit dem Spektrum des in Abschnitt 5.2.1.1 analysierten Flötentones verglichen.
Beide Spektren werden in Abb. 5.40 nochmals einzeln gegenübergestellt.
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a)
b)
Abb. 5.39: Vergleichende Darstellung der über den gesamten Klangverlauf gemittelten
Spektren des original Flötenklanges Sus_c3_f.wav (gestrichelte Linie)
und des mit dem in ‚Reaktor‘ implementierten FM-Flötenmodells, bei C3 gespielten
Tones (durchgehende Linie). Man erkennt, daß ab dem dritten Teilton das
Spektrum des echten Flötenklanges sehr gut durch die FM-Flöte approximiert wird.
Der Grundton des FM-Flötenklanges ist zu stark vertreten, im Gegensatz zum ersten
Oberton, der zu schwach synthetisiert wird. Ab 3 kHz flacht das FM-Spektrum
ab, wobei im original Flötenklang in diesem Bereich die tonalen Rauschkomponenten
vorherrschen. Beide Spektren sind in Abb. 5.40 noch einmal einzeln abgebildet.
Abb. 5.40: Darstellung der in Abb. 5.39 überlagerten Einzelspektren: a) Spektrum
des originalen Flötenklanges Sus_3c_f.wav; b) Spektrum des mit der FM-Flöte erzeugten
Klanges der gleichen Tonhöhe.
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5.2.2.2 Zusammenfassende Betrachtungen
Um ein FM-Instrument zu konstruieren, das die Klänge eines akustischen Instrumentes
realistisch nachbildet, ist viel Erfahrung mit dieser Synthesemethode Voraussetzung. Die
Methode der Klangsynthese durch Frequenzmodulation ist hochgradig nichtlinear. Der
Modulationsindex I ist direkt mit der Bandbreite des produzierten Signals verknüpft. Gezielte
Klanggestaltung ist vor allem bei Implementierungen mit vielen Modulatoren fast unmöglich,
da die Auswirkungen der Parameteränderungen auf den entstehenden Klang schwer zu
überschauen sind.
Die klangbestimmenden Parameter sind weder intuitiv zu bedienen, noch als musikalisch
Sinnvoll zu bezeichnen. Die Modulationsparameter müssen sehr vorsichtig variiert werden,
da jede Parameteränderung sofort hörbare Ergebnisse liefert.
Um Parameter im musikalischen Kontext gezielt zu verändern, ist diese Klangsynthese-
methode äußerst ungeeignet. Vor allem bei der Simulation der Klänge akustischer
Musikinstrumente, mit ihrer variierenden Dynamik und den geforderten, intuitiv bedienbaren
Klangparametern für ausdrucksstarkes Spiel, ist die FM-Synthese nicht zu gebrauchen. Die
Parameter dieser Methode müssen sehr vorsichtig verändert werden, um nicht den
charakteristischen Klangbereich des nachgebildeten Instrumentes zu verlassen.
Diese Eigenschaft erweist sich beim Gestalten neuartiger synthetischer Klänge (Sound-
Design) allerdings als Vorteil, da bei kleinen Parameteränderungen völlig unterschiedliche
Klänge entstehen können und FM-Synthesizer dadurch im Gegensatz zu anderen
Synthesesystemen ein äußerst breites Klangspektrum abdecken können.
5.2.3 Simulation der Flöte als digitaler Wellenleiter
Im Folgenden wird ein einfaches digitales Wellenleitermodell zur Generierung von
Flötentönen nach dem Prinzip von Perry Cooks ‚Slide-Flute‘ implementiert [Cook, 1992].
5.2.3.1 Das physikalische Modell der Flöte
Die Flöte ist ein einfaches Holzblasinstrument, das aus einem zylindrischen Rohr mit
gebohrten Tonlöchern besteht. Die effektive Länge L der schwingenden Luftsäule im Rohr
läßt sich durch Öffnen und Schließen der seitlichen Grifflöcher verändern. Die
Schwingungsfrequenz ergibt sich aus der Frequenz der angeregten Druckschwankungen in
der Luftsäule. Das Luftventil im Mundstück ist ein dünner Luftstrahl, der auf die Kante der
Anblasöffnung trifft (‚Luftblatt‘). Die schwingende Luftsäule lenkt das Luftblatt abwechselnd
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in die Bohrung hinein und wieder heraus; die Frequenz dieses periodischen Wechsels
richtet sich nach den Bohrungsmaßen und der Lage der Grifflöcher [Benade, 1960]. Die
Flöte kann im Prinzip als eindimensionales akustisches Rohr betrachtet werden, was die
Gültigkeit der eindimensionalen Wellengleichung rechtfertigt; die Wellengleichung (3.1) gilt
hier für den Idealfall der dünnen zylindrischen Luftsäule. Das zylindrische Rohr wirkt als
Wellenleiter. Als Wellengöße wird die akustische Volumenverschiebung q durch den
Röhrenquerschnitt der Fläche A verwendet (in [m 3 ]), wobei bei der Reflexion am offenen
Ende der Flöte die Vorzeicheninversion entfällt. Da auch das Anblasloch offen ist, besitzt
die Grunschwingung (ähnlich wie beim Laser-Resonator) die Frequenz f 0= c/2L. Als zweite
Wellengröße wird der akustische Volumenstrom 48 φ (in [m 3 /s]) angenommen. Für
verlustfreie Medien kann man auch den Schalldruck p verwenden, der dann proportional zur
Schallschnelle ist.
5.2.3.2 Implementierung der akustischen Röhre
Das in ‚Reaktor‘ implementierte Wellenleitermodell ist eine Nachbildung des ‚Slide-Flute‘-
Modells von Perry Cook [Cook, 1992]. Ein Signalflußdiagramm ist in Abb. 5.41 dargestellt,
die in ‚Reaktor‘ implementierte Struktur in Abb. 4.42.
Es besteht aus einem Anregungsmechanismus (innerhalb des Makros ‚Flow‘), einer
nichtlinearen Formungsfunktion (innerhalb des Makros ‚Embouchure‘) und der Simulation
der akustischen Röhre (innerhalb des Makro ‚Bore‘).
Die äußere Anregung des Wellenleiters erfolgt mit Hilfe eines ‚ADSR‘-Hüllkurvenmoduls 49 ,
dessen Ausgangssignal einen stetigen Luftstrom nachbildet. Dieses Modul erzeugt eine
vierstufige Hüllkurve mit linearen Teilsegmenten, die die Klangbereiche ‚Einschwingen‘
(Attack, Decay), ‚quasistationärer Klangbereich‘ (Sustain) und ‚Ausklingen‘ (Release)
simuliert.
Der stetige Strom wird mit einem Rauschsignal moduliert, dessen Signalanteil regelbar ist.
Hierdurch werden das Anblasgeräusche und die im Flötenton enthaltenen
Rauschkomponenten generiert.
Das Anregungssignal wird einer Verzögerungsleitung der Länge T/2 zugeführt und dann
durch die kubische Funktion x-x 3 geformt (siehe Abb. 5.41 und Abb. 5.42).
48 Der akustische Volumenstrom φ ist gleich dem gesamten Volumenstrom abzüglich des
Mittelwertes des die Flöte durchströmenden Luftstromes, also Schallschnelle mal Querschnittsfläche:
φ = v s ⋅ A.
49 ‚ADSR‘: Attack-Decay-Sustain-Release
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Abb. 5.41: Signalflußdiagramm des von Perry Cook vorgestellten ‚Slide-Flute‘-Modells
zur Simulation von Flötenklängen.
Abb. 5.42: Modulstruktur des innerhalb von ‚Reaktor‘ implementierten ‚Slide-Flute‘-
Wellenleitermodells aus Abb. 5.42. Das Makro ‚Lagrange Interpolat.‘ findet sich in
Abschnitt 5.1.3 näher beschrieben, das Makro ‚[P->T]‘ in Abschnitt 5.1.4.
Die kubische Funktion simuliert die Interaktion zwischen der am Ende des Rohres
reflektierten Energie und dem am Mundstück eintreffenden Luftstrom. Der nachgeschaltete
Tiefpaßfilter modelliert die Reflexionseigenschaften am offenen Ende. Dann erst durchläuft
der Signalstrom die das Rohr simulierende Verzögerungsleitung der Länge T.
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5.2.3.3 Implementierung eines Registerloches
Die Simulation eines in das akustische Rohr geborten Registerloches erreicht man durch
die Skalierung der Verzögerungszeit des ‚Delay‘-Moduls innerhalb des Makros
‚Embouchure‘. Die Verzögerungszeit wird durch den Wert des Reglers ‚Hole‘ ∈ [1;6]
dividiert, um eine Verkürzung des Wellenleiters zu bewirken (siehe Abb. 5.42). Hierbei
lassen sich mit Reglereinstellungen in Bereichen zwischen ganzen Zahlen Klangzustände
erzeugen, die den Geräuschen realer Flöten bei ‚teilweise‘ geöffneten Registerlöchern bzw.
überblasenem Zustand nahe kommen.
5.2.3.4 Implementierung von Tonlöchern
Anstatt die Tonhöhe durch die Variation der Länge des Wellenleiters zu verändern, könnte
man auch – wie bei einer realen Flöte üblich – Tonlöcher implementieren und die Tonhöhe
durch Öffnen und Schließen dieser ‚Fingerlöcher‘ bestimmen. Hierbei ist es wichtig, die
Tonlöcher entlang des Wellenleiters genau zu positionieren, was mit Hilfe der Lagrange-
Interpolatoren (siehe Abschnitt 5.1.3) möglich ist. Eine gute Annäherung an das Verhalten
echter Tonlöcher erreicht man bei der Implementierung von ‚Drei-Port-Streuverbindungen‘
(Three-Port Scattering Junctions, siehe Abb. 5.43). Auch das Registerloch kann durch eine
solche Schaltung realistischer gestaltet werden [Scavone&Cook, 1998].
Abb. 5.43: Schematische Darstellung einer ‚Three Port Scattering Junction‘
in ‚One-Multiply‘-Form zur Simulation von Tonlöchern in der Wellenleitersimulation
eines Holzblasinstrumentes (Abb. aus [Scavone&Smith, 1997]).
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Es ist geplant, das oben beschriebene ‚Slide-Flute‘-Modell um Tonlöcher zu erweitern.
Hierzu müssen die Positionen und Ausmaße sämtlicher Tonlöcher einer realen Flöte
vermessen und in die Parameter der Fingerloch-Filter konvertiert werden. Dies wird durch
die Tatsache erschwert, daß - wie bei einer echten Flöte - bei bestimmten Fingerloch-
Konfigurationenen überhaupt kein Ton erzeugt wird. Die Feinstimmung der vielen
Parameter eines solchen erweiterten Flötenmodells ist eine schwierige Aufgabe und läßt
sich mit der komplizierten Konstruktion einer echten Flöte durch einen Instrumentenbauer
vergleichen.
5.2.3.5 Zusammenfassende Betrachtungen
Vor allem im mittleren Frequenzbereich erzeugt das konstruierte Flötenmodell Töne, die
denen realer Flöten sehr ähnlich klingen. Die Paramer der digitalen Wellenleitersynthese
sind intuitiv zu bedienen und entsprechen in weiten Bereichen den modellierten
physikalischen Parametern. Zudem sind Parameterveränderungen sofort hörbar und
ermöglichen ein realistisches und ausdrucksstarkes Spiel durch einen Instrumentalisten.
Die Identität des modellierten Instrumentes bleibt weitestgehend erhalten.
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5.2.4 Vergleich der drei benutzten Synthesemethoden zur Generierung des Flötentones
Die drei zur Nachbildung eines Flötentones benutzten Klangsynthesemethoden (additive
Synthese, FM-Synthese, Wellenleitersynthese) unterscheiden sich in ihren Funktions-
prinzipien erheblich. Während die additive Synthese durch die exakte Nachbildung des
Obertonverlaufes zu guten klanglichen Ergebnissen bei hohem Arbeitsaufwand gelangt, ist
die FM-Synthese kaum zu einer realistischen Nachbildung eines Flötentones zu
gebrauchen. Vor allem unter dem Aspekt der Parametrisierug und Spielbarkeit durch einen
Instrumentalisten muß die FM-Synthese als zur Klangnachbildung ‚eindimensionaler‘
akustischer Instrumente ungeeignet eingestuft werden.
Die besten Ergebnisse wurden mit der physikalischen Modellierung der Flöte als digitalen
Wellenleiter erzielt. Sowohl die klangliche Güte der erzeugten Töne, als auch die
Parametrisierung und Spielbarkeit durch einen Instrumentalisten überzeugen und
qualifizieren diese Klangerzeugungsmethode zur geeignetsten unter den drei verglichenen
Synthesemöglichkeiten.
Es ist noch anzumerken, daß es bei der Konstruktion der Instrumente innerhalb ‚Reaktors‘
wichtig ist, die Module möglichst in der Reihenfolge des gewünschten Signalflußes zu
implementieren, da es sonst aufgrund der programmintern erzeugten Skriptabfolge zu
Verzögerungszeiten während der Signalverarbeitung kommen kann, die innerhalb des
Bereiches einer Samplingperiode T s liegen können. Es ist also darauf zu achten, daß die
Synchronität parallel ausgeführter Signalverarbeitungsprozesse samplegenau erhalten
bleibt.
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6. Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurden die meisten der gegenwärtig zur Anwendung kommenden
Klangsynthesetechniken diskutiert, die das Klangbild akustischer Systeme zu simulieren
versuchen. Diese akustischen Systeme wurden mit Hilfe von softwarebasierter, virtuell-
analoger Schaltungstechnik unter Verwendung ausgewählter Synthesetechniken modelliert.
Speziell die Wellenleitersynthese wurde wegen ihrer physikalischen Anschaulichkeit und
ihrer Nähe zu realen Systemen genauer betrachtet und zur Anwendung gebracht.
Es wurden verschiedene Techniken der digitalen Wellenformsynthese vorgestellt und
diskutiert. Analogien zu optischen Systemen wurden besprochen.
Die verwendeten virtuellen elektrischen Schaltkreise bilden Eigenzustände elektronischer
Systeme nach, die wiederum die Moden akustischer Systeme modellieren.
Bei der Erstellung der virtuell-analogen Klangsynthesemechanismen wurde versucht, sich
weitestgehend an den physikalischen Vorgängen der natürlichen, akustischen Instrumente
zu orientieren. Instrumentemodelle aus der Saiteninstrumentenfamilie (Gitarre, Geige) und
der Holzblasinstrumente (Flöte) wurden besprochen und digital simuliert. Der auf mehrere
Einzelbereiche reduzierte Klangentstehungsprozeß (äußere Anregung des Systems,
Schwingungszustände, Dämpfung, Dispersion, Kopplung an einen Resonanzkörper,
Rückkopplungserscheinungen, Klangabstrahlung) wurde idealisiert dargestellt.
Es wurden die Methoden der additiven Klangsynthese, der Frequenzmodulation und der
Wellenleitersynthese zur Anwendung gebracht und mit Hinblick auf einen realistischen
Klangeindruck bewertet.
Akustische Musikinstrumente kann man als resonanzfähige, mehrdimensionale Systeme
betrachten, deren Obertonspektren Energiebänder darstellen, die den im Resonanzzustand
eingeschwungenen Eigenzuständen dieser Sytsteme entsprechen. Die Eigenmoden eines
Musikinstrumentes finden sich in ihrem Klangbild wieder.
Werden geeignete Parameter gewählt, lassen sich mit der digitalen Wellenleitersimulation
Signale erzeugen, deren Klangeigenschaften denen echter Musikinstrumente sehr ähnlich
sind.
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[Weber, 1994] J. Weber, Poing 1994: Handbuch der Tonstudiotechnik
(Franzis Verlag)
[Weiner et.al., 1988] A. Weiner, J. Heritage, J. Salehi; 1988: Encoding and decoding
of femtosecond pulses (Opt. Lett. 13, p.: 300-302)
[Weinreich, 1977] G. Weinreich, 1977: Coupled piano strings (Journal of the
Acoustical Society of America, 62(6), p. 1474-1484)
[Wenzel, 1999] M. Wenzel, Furtwangen 1999: Entwurf eines Signalprozessors
zur Klangsynthese mit Methoden der physikalischen Modellierung
(Diplomarbeit, Fachhochschule Furtwangen im Schwarzwald,
Fachbereich Mikrosystemtechnik)
[Wöste, 2001] L. Wöste; FU-Berlin, Physik, AG-Wöste; 2001: Femtosecond
Pulse-Shaping for Cluster Dynamic Studies (www.physik.fuberlin.de/~ag-woeste/shape.html)
Online-Version 1.0 126

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Anhang:
A1 Die Finite Differenzenapproximation
Eine häufig angewandte Methode in der Literatur der musikalischen Akustik, ein auf einer
Differentialgleichung basierendes Computermodell zu implementieren, ist die sogenannte
Finite Differenzenapproximation (FDA), in der die Differentiation durch eine endliche
Differenz ersetzt wird:
∂ y(
x,
t)
− y(
x,
t − Ts
)
y(
x,
t)
≈
∂t
T
Online-Version 1.0
∂
∂x
2
2
und
mit T s als zeitlichem Samplingintervall und X s als räumlichem Samplingintervall.
Diese Approximation läßt sich interpretieren als direkte Folge der Definition der partiellen
Ableitungen nach x und t. Die Approximation wird exakt, wenn T s und X s gegen Null gehen.
Um einen Verzögerungsfehler zu vermeiden, werden die finiten Differenzen zweiter
Ordnung mit einem kompensierenden Zeitversatz definiert:
und
y(
x + X s , t)
− 2y
( x,
t)
+ y(
x − X s,
t)
y(
x,
t)
≈
X
Die Approximation der Ableitungen mit ungerader Ordnung beinhalten einen Verzugsfehler
von der Hälfte des Samplingintervalls T s, während die Fehler aller geraden Ordnungen wie
obenstehend minimiert werden.
Substituiert man die FDA (A1.1) in der Wellengleichung (3.1),
so ergibt sich für die Saitenauslenkung y:
2
s
∂
∂t
2
2
y(
x,
t)
− y(
x − X , t)
y(
x,
t)
≈
∂x
X
127
2
s
X =
s
K
T
å s
In praktischen Implementierungen setzt man meist T s = 1 und und wertet bei
t = nT s, x = mX s = m aus. Man erhält damit die Differenzengleichung
∂ s (A1
. 1)
y(
x,
t + Ts
) − 2y
( x,
t)
+ y(
x,
t −Ts
)
y(
x,
t)
≈
T
K ⋅Ts
y( x,
t + Ts
) ≈ [ y(
x + X , ) 2 ( , ) ( , )] 2 ( , ) ( ,
2
s t − y x t + y x − X s t + y x t − y x t − T
ε ⋅ X
s
2
s
y(
m,
n + 1)
= y(
m + 1,
n)
+ y(
m −1,
n)
− y(
m,
n − 1)
s
2
2
∂ y ∂ y
K ⋅ = ε
⋅ 2
2
∂x
∂t
s
)
(A1
. 2)
(A1
. 3)
(A1
. 4)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Zur Berechnung der Saitenauslenkung an einem Punkt m für zukünftige Zeitpunkte (n+1),
werden also vergangene Werte n und n-1 um den betrachteten Punkt herum benötigt.
Möchte man realistischere Modelle von schwingenden Saiten erstellen, so bezieht man die
komplexere Verlaufsfunktionen und das Dispersionsverhalten in die Modellimplementierung
ein, was obiger Formel weitere Terme höherer Ordnung der Form y(n-l,m-k) hinzufügt.
Diese stellen dann frequenzabhängige Verluste und/oder Dispersionscharakteristiken dar.
Die linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten ermöglichen die
Erstellung linearer zeitinvarianter und zeitdiskreter Systeme mittels FDA. Hieraus läßt sich
eine Unterklasse linearer zeitinvarianter ‚gefilterter Wellenleiter‘ erstellen:
Der allgemeine lineare zeitinvariante zweidimensionale Fall wird dargestellt durch
Ein Beispiel für einen nichtlinearen Fall wäre
A2 Vergleich der digitalen Wellenleitersimulation mit der finiten Differenzen-
approximation
Aus der FDA (siehe Anhang A1) erhielt man die Beziehung
Im Vergleicht zur Methode der digitalen Wellenleitersimulation
⇒
erkennt man, daß nach einer Substitution der Gleichung (A2.2) in Gleichung (A2.1) und
Vergleich mit Gleichung (A2.3) gilt:
Online-Version 1.0
∞
∞
∑∑
k = 0 l = 0
∞
∑
k = 0
α
k
k
∂ y(
x,
t)
= k
∂t
∞
∑
l=
0
β
l
m = 0 n=
0
l
∂ y(
x,
t)
l
∂x
(A1
. 5)
k l
∞ ∞
m n
∂ ∂ y(
x,
t)
∂ ∂ y(
x,
t)
α k , l =
k l ∑∑ β m,
n m n
(A1
. 6)
∂t
∂x
∂x
∂x
∂y(
x,
t)
⎛ ∂y(
x,
t)
⎞
= ⎜ ⎟
∂t
⎝ ∂x
⎠
y( n + 1,
m)
= y(
n,
m + 1)
+ y(
n,
m −1)
− y(
n −1,
m)
+
−
y ( n,
m)
= y ( n − m)
+ y ( n + m)
+
−
y ( n + 1,
m)
= y ( n + 1−
m)
+ y ( n + 1+
m)
y ( n + 1,
m)
= y(
n,
m+
1)
+ y(
n,
m − 1)
− y(
n − 1,
m)
2
(A1
. 7)
(A2.
1)
(A2.
2)
(A2.
3)
+
−
+
−
= y ( n − m −1)
+ y ( n + m + 1)
+ y ( n − m + 1)
+ y ( n + m − 1)
+ −
− y ( n − m −1)
− y ( n + m −1)
+
−
= y ( n−
m+
1)
+ y ( n + m + 1)
+
−
= y [( n + 1)
− m]
+ y [( n + 1)
+ m]
≡ y ( n + 1,
m)
(A2.
4)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Demzufolge ist also die FDA ebenso exakt im verlustfreien Fall, was ein wenig verwundert,
denn die FDA erzeugt eine Dämpfung, wenn sie auf ein Masse-Feder-System angewendet
wird.
Aus obiger Rechnung wird ersichtlich, daß sich
beim Zeitpunkt (n+1) die Position m als Superposition der rechts- und linkslaufenden
Teilwellen der Positionen (m-1) und (m+1) zum Zeitpunkt n darstellt.
Die physikalische Wellenvariable kann also immer für den nächsten zeitlichen Schritt (n+1)
aus der Summe der rechts und links eintreffenden Teilwellen berechnet werden. Hieran
erkennt man deutlich den verlustfreien Charakter des vorgestellten Wellenleitersystems.
A3 Allpaßfilter zur Simulation von Dispersion in digitalen Wellenleitern
Der allgemeine Allpaßfilter L-ter Ordnung ist gegeben durch
wobei
ist und alle Wurzeln aus Λ(z) kleiner als eins sein müssen, da das Zählerpolynom die
Umkehrung des Nennerpolynoms ist. Dies impliziert einen Austausch jedes Poles p i durch
eine Nullstelle bei z i = 1/p i.
Da Allpaßfilter linear und zeitinvariant sind, wirken sie zusammen mit anderen linearen
zeitinvarianten Komponenten wie Verstärkungsfaktoren. Die Allpaßfilter lassen sich in
bidirektionalen Wellenleitern auch in zwei Punkten zusammenfassen. Man erhält die
Transferfunktion H T(z) = z⋅H a 3 (z) durch eine beliebige Allpaßfilter-Entwurfstechnik [Laakso
et. al., 1996; Lang & Laakso, 1994].
Im Falle einer verlustfreien, steifen Saite sollte die benutzte Filterentwurfstechnik den
Phasenverzögerungsfehler so klein wie möglich halten, wobei die Phasenverzögerung
definiert ist durch
Online-Version 1.0
y ( n + 1,
m)
+
−
≡ y [( n + 1)
− m]
+ y [( n + 1)
+ m]
+
−
≡ y [ n − ( m −1)]
+ y [ n + ( m + 1)]
H
a
129
(A2.
5)
−1
− L Λ(
z )
( z)
: = z )
(A3.
1)
Λ(
z)
z z
z
−1
−2
Λ( ) : = 1+
σ + σ + ... + σ
1
2
L
Lz −
(A3.
2)
jω
T
∠H
c(
e )
Pc
( ω)
: = (A3.
2)
ω

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
mit der Allpaßtransferfunktion H c(z) und dem Phasenwinkel ∠ [Rabiner & Gold, 1975]. Die
Minimierung der Chebyshev-Norm des Phasenverzögerungsfehlers ||P c(ω) – c o/c(ω)|| ∞
approximiert den Fehler in der Modenstimmung, also dem Frequenzverhältnis der Obertöne
einer frei schwingenden Saite [Smith, 1983].
Da die Streckung der Obertonreihe in einer steifen, vibrierenden Saite aber auch in der
Realität zu beobachten ist, sollte dieser Fehler nicht behoben werden.
A4 Weitere alternative Wellenvariablen
Zusätzlich zu zeitlichen Ableitungen kann man natürlich auch räumliche Ableitungen
beliebiger Ordnung nutzen, um weitere Wellenvariablen zu erhalten, aus denen man eine
geeignete wählen kann, um ein anfallendes Problem optimal zu lösen.
Die erste räumliche Ableitung der transversalen Saitenauslenkung ergibt die Form der
Saitenwelle:
Digitalisiert erhält man
Man kann also die Beschleunigungswanderwellen aus den Formen der Auslenkungswellen
berechnen:
Die Krümmungswellen sind dann im Falle einer idealen Saite nur noch skalierte
Beschleunigungswellen:
∂
∂x
Online-Version 1.0 130
∂
∂x
v
∂ x ∂ x
y(
x,
t)
= yr
( t − ) + yl(
t + )
∂x
c ∂x
c
1 ∂ x 1 ∂ x
= − ⋅ yr
( t − ) + ⋅ yl
( t + )
c ∂t
c c ∂t
c
( m , n ) t x y
−
∂
= c ⋅ y
∂x
∂
≡ y(
mX , nT )
s s
∂x
∂
∂
= yr[(
n −m)
Ts
] + yl[(
n + m)
Ts
]
∂x
∂x
∂ + ∂ −
= y ( n − m)
+ y ( n + m)
∂x
∂x
1 ∂ + 1 ∂ −
= − ⋅ y ( n −m)
+ ⋅ y ( n + m)
c ∂t
c ∂t
1 + 1 −
= − v ( n − m)
+ v ( n + m)
c c
1 −
+
= − [ v ( n + m)
− v ( n−
m)]
c
∂x
−
,
2
∂ −1
y = c
2
2
∂
⋅
2
∂t
∂
∂x
(A4.
1)
(A4.
2)
+
+
v = − c ⋅ y
(A4.
3)
y
(A4.
4)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
In der Akustik läßt sich der Schwingungszustand einer vibrierenden Saite zu jedem
beliebigen Zeitpunkt t 0 durch die Angabe der transversalen Saitenauslenkung y(x,t 0) und
Saitenauslenkungsgeschwindigkeit ∂y(x,t 0) /∂t darstellen.
A5 Leistungswellen im digitalen Wellenleiter
Da Energie in geschlossenen Systemen erhalten bleibt, ermöglicht die Verwendung von
Leistungswellen eine einfache, grundlegende Ansicht der Wellenphänomene (z.B. in
Implementierungen konischer akustischer Röhren). Auch zur Überwachung von
Implementierungen nichtlinearer Operationen wie Aufrundung und Sättigung ohne daß die
Signalenergie erhöht wird (limit circles, overflow oscillations; [Smith, 1986b]) kann die
Berechnung der Leistung an einem festen Punkt im Wellenleiter nützlich sein.
Leistungswanderwellen setzten sich zusammen aus
Die Summe der rechts- und linkslaufenden Teilwellen ergibt die Gesamtleistung am
betrachteten Punkt im Wellenleiter:
Nimmt man einen Wellenleiter an, dessen Wellenimpedanz langsam von links nach rechts
ansteigt (z.B. ein konvergierender Kegel als akustische Röhre), so breitet sich P + aufgrund
des Energiesatzes unverändert entlang des Wellenleiters aus. Demzufolge und aufgrund
von Gleichung (A6.1) muß also die Kraft f + entsprechend wachsen, während die
Geschwindigkeit v + sinkt; die Gesamtenergie bleibt dabei erhalten.
Online-Version 1.0
+
Ρ ( n)
≡ f
+
−
Ρ ( n)
≡ − f
( n)
v
−
+
( n)
= R[
v
−
− 2 − 2
( n)
v ( n)
= R[
v ( n)]
= [ f ( n)]
/ R
131
+
( n)]
2
= [ f
+
2
( n)]
/ R
+
−
Ρ(
, t ) ≡ Ρ ( n − m)
+ Ρ ( n + m)
xm n
(A5.
1)
(A5.
2)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
A6 Verbindungen zwischen Bereichen verschiedener Wellenimpedanz
Im Folgenden werden nur elementare Streueigenschaften für longitudinale Kraft- und
Geschwindigkeitswellen in idealen Saiten oder Stäben behandelt. In Festkörpern werden
Kraft-wellen wie Spannungswellen betrachtet [Kolsky, 1963]. Longitudinale
Kompressionswellen in Saiten und Stäben verhalten sich wie Druckwellen in akustischen
Röhren. Anwendungen zur Simulation akustischer Röhren finden sich u.a. in [Markel&Gray,
1976; Rabiner&Schafer, 1978].
Ein Wellenleiter mit drei verschiedenen Wellenimpedanzen R 0, R 1, R 2 ist in Abb. A6.1
dargestellt. Man kann sich die Konstruktion als einen Stab vorstellen, dessen drei
aufeinanderfolgende Teilbereiche aus verschiedenen Materialien unterschiedlicher Dichte
bestehen. In der i-ten Sektion befinden sich jeweils zwei Teilwellen f i ± , die mit der
Geschwindigkeit c nach rechts bzw. links wandern. Um den numerischen Aufwand zu
minimieren, sollte man für die Beschreibung des Sachverhaltes auf Geschwindigkeitswellen
ausweichen, sobald R i > 1 wird [Smith, 2000].
Abb. A6.1: Darstellung eines Wellenleiters mit drei Bereichen verschiedener Wellenimpedanz
(R 0, R 1, R 2). T entspricht in der Abb. dem Sampleintervall T s.
Teilabbildung a) zeigt eine Skizze des Signalflusses im kontinuierlichen Medium;
Teilabbildung b) zeigt die entsprechende Implementierung als digitalen Wellenleiter.
Der mittlere Bereich R 1 ist von der Länge c⋅T, wobei T die entsprechende Verzögerungszeit
des Impedanzbereiches ist. Das Verhalten der Impedanzdiskontinuität wird
durch eine verlustfreie Aufspaltung in transmittierende und reflektierte Komponenten
der eintreffenden Wellen charakterisiert. (Abb. aus [Smith, 2000])
Online-Version 1.0 132

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Im Falle von transversalen Wellen (man vergleiche die in Abschnitt 3.3.1 abgeleitete
Beziehung p ± (n) = ± R t u ± (n)) erfüllen die sich ausbreitenden ebenen Wellen in jeder der
drei Bereiche die Beziehung [Kolsky, 1963]
wobei die Wellenimpedanz nun durch R = Υρ
beschrieben wird, mit ρ als Massendichte
Online-Version 1.0
i
und Y als Elastizitätsmodul (Young-Modul) des Mediums. Wenn der Wellenwiderstand R i
konstant ist, wird die Form der sich fortpflanzenden Welle nicht geändert, während sie sich
von einem Ende einer Sektion zum anderen ausbreitet. In diesem Fall muß man f i ± an den
Begrenzungen jedes Bereiches nur als Funktion der Zeit betrachten. Wie in Abb. A6.1
gezeigt, wird f i ± (t) als Kraft am linken Rand der Sektion i definiert. Folglich finden wir dann
am rechten Rand der Sektion i die Wanderwellen f i + (t-τ) und fi - (t+τ), wobei τ die Zeit ist, die
die Teilwelle benötigt, um vom einen Ende der Sektion zum anderen zu gelangen.
Die Erhaltung von Energie und Masse erzwingt, daß die Kräfte und Geschwindigkeiten an
einer Impedanzdiskontinuität kontinuierlich sind:
Dabei sind Kraft und Geschwindigkeit links und rechts von der Verbindung als positiv
definiert sind. Zusammen mit den letzten beiden oberen Gleichungen folgen aus Gleichung
(A6.1) analog zu optischen Wellenleitern die ‚Streubeziehungen‘:
wobei
der i-te Reflektionskoeffizient genannt wird. Solange R i(t) ≥ 0 ist, bleibt k i(t) ∈ [-1,1]. Die
Streubeziehungen werden in Abb. A6.1 b) und Abb. A6.2 schematisch veranschaulicht. Im
Bereich der linearen Sprachsynthese nennt man solche Konstruktionen ‚Kelly-Lochbaum‘-
Streuverbindungen [Markel&Gray, 1976].
−
±
±
f i
i
( t)
= ± Riv
( t)
(A6.
1)
f
v
i−1
i−1
( c ⋅T
, t)
= f
( c ⋅T
, t)
= v
s
s
133
i
i
( 0,
t)
( 0,
t)
+
+
−
f i
i i − s i i
( t)
= [ 1+
k ( t)]
f 1 ( t − T ) − k ( t)
f ( t)
f i−1
( t + Ts
) = ki
( t)
f i −1
( t −Ts
) + [ 1 − k i ( t)]
f i
+
−
( t)
Ri(
t)
− Ri−1(
t)
ki
( t)
≡ (A6.
4)
R ( t)
+ R ( t)
i
i−1
(A6.
2)
(A6.
3)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Abb. A6.2: Darstellung einer Kelly-Lochbaum Streuverbindung.T entspricht
in der Abb. dem Sampleintervall T s (Abb. aus [Smith, 2000]).
Um die Rechenlast gering zu halten, stellt man die Streubeziehungen so um, daß nur noch
eine einzige Multiplikation notwendig ist, um die transmittierten und reflektierten Anteile der
eintreffenden Wellen zu berechnen. Veranschaulicht wird dies in Abb. A6.3. Diese
Verbindung zweier Wellenleiter nennt man ‚one-multiply‘-Streuverbindungen [Markel&Gray,
1976]:
mit
Abb. A6.3: Darstellung einer ‚one-multiply‘-Streuverbindung. T entspricht
in der Abb. dem Sampleintervall T s (Abb. aus [Smith, 2000]).
Online-Version 1.0 134
+
+
f i i − s Δ
( t)
= f 1 ( t − T ) + f ( t)
−
−
i Δ
f − 1 ( t + Ts
) = f i ( t)
+ f
( t)
+
−
f Δ i i−
s i
( t)
≡ k ( t)[
f 1 ( t − T ) − f ( t)]
(A6.
5)
(A6.
6)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
A7 Symmetrische FIR-Filter zur Simulation frequenzabhängiger Dämpfung
Durch geeignete Parametrisierung läßt sich ein symmetrischer FIR-Filter zweiter Ordnung
zur Simulation frequenzabhängiger Dämpfung erstellen, der durch die Eingabe der
Parameter für die Klangfarbe B (brightness) und Klangdauer S (sustain) gesteuert wird
[Smith, 2000]:
Hierbei sind P die Periode in Sekunden (total loop delay), S die erwünschte Klangdauer in
Sekunden und B der Klangfarbenparameter aus einem Intervall [0,1]. Der
Klangdauerparameter S ist als die Zeit definiert, in der die Lautstärke des Klanges um 60
dB (6,91 Zeitkonstanten) abnimmt, wenn der Klangfarbenparameter maximal ist (B=1). In
diesem Fall ist der Verstärkungsfaktor g 0 für alle Frequenzen gleich, d.h. _(e j_T s ) = g0. Wird
der Klangfarbenparameter verkleinert, so bleibt g 0 konstant und die hohen Frequenzen
klingen schneller ab. Erreicht der Klangfarbenparameter sein Minimum, so wird der
Verstärkungsfaktor der Frequenz mit der halben Samplingrate zu Null und man erhält:
A8 Die Kopplung von N Saiten
Die meisten Saiteninstrumente bestehen aus mehr als zwei Saiten. Beim Klavier wird jeder
Ton durch das Anschlagen von zumeist drei identischen Saiten erzeugt. Die Kopplung
zwischen allen im Instrument vorhandenen Saiten wird dann im Allgemeinen über eine
Kopplungsmatrix geregelt.
Eine Kopplungsmatrix besteht aus einer Filtertransferfunktion in jedem Matrixelement. Für
N Saiten überträgt jedes einzelne Matrixelement eine Welle von bestimmter Eigenart (z.B.
horizontal polarisiert usw.). Die allgemeine lineare Kopplungsmatrix enthält also N 2
Transferfunktionen. Im hier dargestellten Fall der Kopplung zweier Saiten ist allerdings nur
Online-Version 1.0
g
0
=
e
gˆ
( 0)
= g
gˆ
( 1)
= g
P
( −6
, 9⋅
)
S
0
0
( 1+
B)
2
( 1−
B)
4
135
(A7.
1)
ˆ i ω t
2
G( e ) = g 0 cos ( ωT
)
(A7.
2)
s
ˆ jωT
1+
cos( ωTs
)
2
G( e ) = g0
= g 0 cos ( ωTs
)
(A7.
2)
2

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
ein Transmissionsfilter nötig, der von allen Saiten, die an der Brücke befestigt sind, benutzt
wird.
Es läßt sich zeigen, daß sich der von beiden Saiten benutzte Transmissionsfilter für zwei
gekoppelte Saiten auf N Saiten verallgemeinern läßt, die an eine allgemeine
Brückenimpedanz gekoppelt sind. Man erhält
V ( s)
= H ( s)
⋅
b
b
N
∑
i = 1
RV
mit
V b(s) ist die laplacetransformierte Brückengeschwindigkeit. H b(s) ist der von allen Saiten
benutzte Anteil des Brückenfilters. Jeder Einzelzweig (i=1,2,....,N) wird dann nur noch
entsprechend der relativen Impedanzen R i skaliert. Smith [Smith, 2000] bezeichnet dies als
‚one-filter scattering termination‘.
Sind beide Saiten identisch, so wie es z.B. in einem Pianomodell der Fall wäre, vereinfacht
sich die Berechnung der Brückengeschwindigkeit wie folgt:
Dabei ist H b(s) ≡ 2 / (2+R b(s)/R) der Geschwindigkeitstransmissionsfilter. In diesem Fall
werden die eintreffenden Geschwindigkeitswerte einfach summiert und in den Trans-
missionsfilter geleitet, der dann die Brückengeschwindigkeitswerte ausgibt. In Abb.(A8.1)
wird eine solche Schaltung dargestellt.
Da R b(s) positiv reell ist, ist sichergestellt, daß | 2⋅H b(e jωT ) - 1| ≤ 1 ist, was die Kopplungsfilter
auf solche einschränkt, deren Werte der Frequenzantworten in der komplexen Ebene
innerhalb des um z = _ zentrierten Kreises mit Radius _ liegen.
Sind die beiden betrachteten gekoppelten Saiten verlustfrei, bestehen sie also aus zwei
einfachen Rückkopplungsschleifen, so wird die obige Einschränkung zur
Stabilitätsbedingung für das gesamte System. Werden die Amplituden- und
Phasenantworten der Filter mit G(ω) und Θ(ω) bezeichnet, so läßt sich die
Passivitätsbedingung auch in der Form
schreiben. Die Signalamplitude kann also nur bei den Frequenzen den Wert 1 erreichen,
deren Phasen den Wert Null annehmen. Weder kann die Phase bis auf 90° steigen, noch
wird die Amplitude einer Frequenz den Wert 1 übersteigen. Sobald eine Phase 90° erreicht,
Online-Version 1.0 136
i
+
i
Vb b
( s)
= H ( s)
⋅[
V1
( s)
+ V2
( s)]
+
2
H b(
s)
(A8.
1)
R
+
= N
Rb(
s)
+ ∑ i=
1
i
(A8.
2)
cos[ Θ ( ω)] ≥ G(
ω)
(A8.
3)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
fällt die Amplitude auf Null. Der Realteil der Frequenzantwort ist immer positiv und erreicht
nur den Wert Null, wenn der Imaginärteil auch auf Null fällt.
Online-Version 1.0
Abb. A8.1: Darstellung der allgemeinen Kopplung zweier Saiten
gleicher Impedanz, realisiert durch einen allgemeinen Steg-Filter
H b(z). (Abb. aus [Smith, 2000])
Wird der Transmissionsfilter H b als reell angenommen, wird die Passivitätsbedingung
einfach und entspricht der frequenzunabhängigen Amplitudenbewertung einer starren
Saitenbegrenzung:
0 ≤ H b ≡ G ≤1
Eine solche starre Brückenkopplung läßt sich auch realisieren, indem man
Bewertungsfaktoren der Form
verwendet, wobei K = 0, 1, 2, ... . Der Fall G = 1 entspricht einer Brückenimpedanz mit dem
Wert Null, bei dem man annehmen könnte, die beiden Saiten verschmelzen zu einer
einzigen idealen Saite. Im Fall G = 0 ist die Brücke starr, was einer Isolation beider Saiten
gleichkommt. Da realistische Brücken fast starr sind, setzt man G immer in der Nähe von
Null an, was mit G = 2 -K realisiert werden kann.
Einen frequenzabhängigen passiven Transmissionsfilter erhält man z.B. mit einer
Transferfunktion der Form
mit K = 1, 2,... , die einen Addierer und einen Einheitsverzögerer beinhaltet. Der Steg
scheint bei hohen Frequenzen starrer zu sein, als bei tiefen und verhält sich so wie eine
träge Masse. Federartige Stege kann man u.a. mittels Transmissionsfiltern der Form
H b(z) = 2 -K ⋅ (1-z -1 ) simulieren [Smith, 2000].
Die obigen Filterschaltungen sind sogenannte ‚one-zero‘-Filter. Die entsprechenden Ein-
Polstellen-Filter sind für masseartige Stege H b(z) = 2 -K / (1-z -1 ) und für federartige Stege
H b(z) = 2 -K / (1+z -1 ).
G
−
= 2
− K
H ( z)
= 2 ( 1+
z
b
137
K
−1
)
(A8.
4)
(A8.
5)
(A8.
6)

DIPLOMARBEIT HENRI HAGENOW
Werden die obigen passiven Transmissionsfilter kaskadiert, muß beachtet werden, daß
eine Kaskade von zwei massenartigen oder zwei federartigen Filtern zur Instabilität führen
kann. Man bedenke, daß die Phase des Filters z -1 , also die Phase des einfachen
Einheitsverzögerers, bei der halben Samplingfrequenz den Wert π erreicht, daher also kein
passiver Transmissionsfilter ist.
Physikalisch entspricht die Pol-Nullstellen-Verschachtelung der Tatsache, daß sich die
Brückenimpedanz je nach Frequenzbereich abwechselnd entsprechend einer Feder oder
einer Masse verhält. Bei Frequenzen, die zwischen Null und der ersten Resonanzfrequenz
liegen, gleicht die Brückenimpedanz der Impedanz einer Feder. Dann scheint sie sich bis
zur nächsten Resonanzfrequenz wie der Trägheitswiderstand einer Masse zu verhalten,
dann wieder wie eine Feder usw., bis die Frequenz die halbe Samplefrequenz erreicht. Dies
sind die klassischen steifigkeits- und massedominierten Regionen einer leicht gedämpften
Impedanz. Direkt auf einer Resonanzfrequenz wird die Phase zu Null und die Impedanz
gleicht der reellen Impedanz eines Dämpfungszylinders (dashpot: Zylinder mit
frequenzunabhängiger Dämpfung) [Smith, 2000].
Ein nachgiebiger Steg führt die Verluste einer schwingenden Saite in die ebenfalls mit dem
Steg verbundenen Saiten. Um eine Simulation effektiv zu halten, sollten alle Saiten-
Rückkopplungsfilter (Length 3 FIR Loop Filter) bis auf einen einzigen – den
Transmissionsfilter - reduziert werden. Dieser simuliert dann alle Verluste, die durch die
Kopplung der Saite entstehen würden.
Gerade bei kleinen Samplefrequenzen und/oder hohen Fundamentalfrequenzen sind
Saiten-Rückkopplungsfilter (Length 3 FIR Loop Filter) notwendig, wenn die
Frequenzverhältnisse der einzelnen Obertöne ganzzahlig bleiben sollen, also eine präzise
Saitenstimmung angestrebt [Jaffe&Smith, 1983] und eine natürliche Dämpfung erreicht
werden soll. Hierfür ist es notwendig, leistungsfähige Verzögerungsleiter zu haben, um die
Vorteile der ‚shared-loss‘-Implementierung mehrfach gekoppelter Saiten nutzen zu können
[Smith, 2000].
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A9 Die Geigenmodelle von Helmholtz und Raman
Im Folgenden wird nur eine kurze Zusammenfassung der Grundprinzipien der beiden
wichtigsten Geigenmodelle vorgestellt. In Abb. A9.1 ist ein Violinenmodell mit der
Benennung der wichtigsten Bauteile schematisch dargestellt.
Abb. A9.1: Schematische Darstellung einer Violine mit Bezeichnung der wichtigsten
Bauteile.
A9.1 Das Geigenmodell von Helmholtz
Hermann von Helmholtz erkannte schon im vorigen Jahrhundert, daß die Saite den Großteil
einer Schwingungsperiode an einer Stelle der Bogenhaare haften bleibt und mit dem Bogen
bewegt wird, um sich dann in einem Bruchteil der Periodendauer zu lösen und entgegen
der Bogenbewegung zu gleiten. Die Geschwindigkeit dieser Gegenbewegung wurde von
ihm als konstant angenommen. Außerdem erkannte Helmholtz, daß das Verhältnis der
Haft- und Gleitzeiten dasselbe ist, wie das Verhätnis der beiden Saitenlängen, die durch
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den Bogenkontakt entstehen. Im Falle einer stabilen Schwingung entspricht dies auch dem
Verhältnis der Bogen- zur Gleitgeschwindigkeit der Saite [Helmholtz, 1863]. Der
Bogenkontakt erzeugt auf der Saite eine relativ scharfe Kante, die sog. ‚Helmholtz-Corner‘
(Abb A9.2), die sich nach dem Ablösen der Saite vom Bogen auf einer parabelförmigen
Bahn entlang der Saite ausbreitet, an den Einspannungen der Saite invertiert reflektiert wird
und beim erneuten Passieren des Bogenkontaktes ein erneutes Abgleiten der Saite vom
Bogen auslöst. Das Vorbeilaufen der Helmholtz-Corner am Bogen löst also einerseits die
Gleitphase aus, nach der invertierenden Reflexion am Saitenende andererseits aber auch
die Phase der Bogenhaftung.
Abb. A9.2: Ideale Helmoltzbewegung: Dargestellt sind die Momentanauslenkung einer
gestrichenen Saite und der Zeitverlauf der Saitengeschwindigkeit. Die Saite besteht
zu jedem Zeitpunkt aus zwei Geradenstücken. Der Bogen befindet sich immer
an der Position βûL.
Die Saite besteht zu jedem Zeitpunkt aus zwei Geradenstücken. Der Bogen befindet sich
immer an der Position βûL.
Die Amplitude der Schwingung ist bei gegebener Bogenposition proportional zur
Bogengeschwindigkeit v B, eine der Eingabegrößen, die vom Spieler des Instrumentes
kontrolliert werden. Neben der Bogengeschwindigkeit verändert auch die Bogenposition ß
und die Bogennormalkraft f B den entstehenden Klang.
A9.2 Das Geigenmodell von Raman
Unter der vereinfachenden Annahme einer idealen Saite formulierte Raman 1918 als erster
ein Modell für die Bewegung einer gestrichenen Saite [Raman, 1918]. Rayleight definierte
die ideale Saite als unendlich dünne Saite endlicher Masse m, die an zwei Stellen x=0 und
x=L unter Zug fest eingespannt wird und dabei keine Widerstandsmomente gegen Biegung
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aufbringt [Strutt-Rayleight, 1945]. Die ideale Saite ist eine gute Näherung für eine lange,
dünne, stark gespannte Saite, wie die einer Violine [Hrsch, Krg, Wein, 1995].
Als eine Ansammlung aus infitesimalen Massen und Federn angesehen, wirkt das System
bei Auslenkung eines Massenelementes als eindimensionaler linearer Wellenleiter
(Abb.A9.3). Eine Anregung des Systems kann sich in beide Richtungen mit konstanter
Geschwindigkeit ausbreiten und wird an den Saitenenden jeweils invertiert reflektiert. Als
Wellengrößen kommen alle zeitlichen und räumlichen Ableitungen der Saitenauslenkung,
z.B. Geschwindigkeits- oder Beschleunigungswellen, in Frage (siehe auch Kapitel 3).
Abb. A9.3: Modell einer idealen Saite als linearer Wellenleiter. Die Wellengleichung (3.1)
ergibt sich für die differentiellen Massen dm aus den Grundgesetzen der Mechanik
unter der Voraussetzung, daß die Winkel α,β

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Diese Online-.pdf-Version meiner Diplomarbeit habe ich erst im August 2003 aus meiner .doc-Version
zusammengebastelt – zwei Jahre nachdem ich sie geschrieben hatte. Leider hatte ich sie damals mit ‚MS Word’
geschrieben und daher in mehrere Dateien gesplitted (wer ‚MS Word’ kennt, weiss warum...). Das Dokument
habe ich auf die Schnelle neu formatiert. Die Formatierung ist also nicht dieselbe, wie im Original. Ich hoffe,
dass ich die Arbeit wieder korrekt rekonstruieren konnte...
Kontakt:
Henri Hagenow
henri@brothers-in-music.de
Hiermit versichere ich, Henri Hagenow, daß ich die vorliegende
Diplomarbeit selbstständig verfaßt und keine anderen als die
angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
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Berlin, August 2001